Trabalho de Álgebra Linear 2

101 Seja E um espaço vetorial com produto interno Para quaisquer vetores uv E prove que uv vu e uv vu são ortogonais 104 Considere a base V v1 v2 v3 R³ formada pelos vetores v1 111 v2 1 1 1 e v3 1 1 1 Determine a matriz de passagem p de V para a base ortonormal U u1 u2 u3 obtida de V pelo método de GramSchmidt Observe que os elementos da diagonal de p são números positivos e abaixo da diagonal todos são nulos Generalize 1010 Seja u a b c R³ um vetor unitário com abc 0 Determine t de modo que pondo v bt at 0 e w act bct 1t os vetores u v w sejam unitários e dois a dois ortogonais 111 Seja A E F uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita munidos de produto interno Prove a Se A é sobrejetiva então AA F F é invertível e AAA¹ F E é uma inversa à direita de A b Se A é injetiva então AA E E é invertível e AA¹A é uma inversa à esquerda de A 112 Use o exercício anterior a fim de achar uma inversa à direita para a transformação linear A R³ R² dada por Axyz x 2y 3z 2x y z e uma inversa à esquerda para a transformação linear B R² R⁴ onde Axy x 2y 2x y x 3y 4x y 118 Se os operadores lineares A B E E comutam isto é AB BA prove que A e B também comutam 118 AB BA Como AB BA BA AB AB BA BA AB 112 a 1 2 3 2 1 1 aT 1 2 2 1 3 1 aaT 14 3 3 6 aaT¹ 175 6 3 3 34 aTaaT¹ 175 12 31 9 8 15 5 Bxy 175 12x 31y 9x 8y 15x 5y é uma inversa à direita de A A 1 2 2 1 1 3 4 1 AT 1 2 1 4 2 1 3 1 AT A 22 7 7 15 AT A¹ 1281 15 7 7 22 AT A¹ AT 1281 1 37 6 53 37 36 59 6 Bxyzt x27y 6z 53t 37x 36y 59z 6t é uma inversa à esquerda de A Ui vj wi sum from j1 to i1 of betaj wj betaj aj wi Ui vj wi sum from j1 to i1 of yj vj Matrix with 1w1 in 11 1w2 in 22 1w3 in 33 and 1wi in ii and zeros and question marks elsewhere 1010 u1v u1w vw 0 u1u1 vv ww 1 0 a2 c t b2 c t ct 0 0 a2 b2 c2 a2 b2t2 a2 b2c2 t2 1t2 1 a2 b2 c2 1 a2 b2 t2 1 t plus or minus 1sqrta2 b2 plus or minus 1sqrt1 c2 a2 b2 c2 t2 1t2 c2 1t2 c2 a2 b2 1 101 uv vu uv vu uv uv uv vu vu uv vu vu u2 vv v2 uu u2 v2 v2 u2 0 104 w1 v1 111 w2 v2 v2 w1 w1 w1 w1 v2 13 v1 23 1 43 23 w3 v3 v3 w1 w1 w1 w1 v3 w2 w2 w2 w2 w3 v3 13 v1 4132419 w2 w3 v3 12 v1 12 v2 101 u1 w1 w1 w1 sqrt3 u2 w2 w2 v2 13 v1 2 sqrt63 sqrt64 v2 sqrt612 v1 u3 w3 w3 v3 23 v1 12 v2sqrt2 sqrt22 v3 sqrt23 v1 sqrt24 v2 Matrix with sqrt33 sqrt612 sqrt23 in top row 0 sqrt64 sqrt24 in middle row 0 0 sqrt22 in bottom row wi vi sum from j1 to i1 of aji wj where aji vi wj wj wj Ui wi wi 111 AA v 0 a AA v v 0 A v A v 0 A v 0 v in NA NA ImAperp Fperp 0 A is sobrejetora AA v 0 A v 0 v 0 AA v is injectora Since AA is a linear operator and F has finite dimension concludes AA must be bijective ie invertible AAAA1 AAAA1 I AAA1 is a right inverse of A b A A v 0 A A v v 0 A v A v 0 A v 0 v 0 since A is injective A A is injective and hence bijective ie invertible A A1 A A A A1 A A I A A1 A is a left inverse of A