Operadores Autoadjuntos e Autovetores em Espaços Vetoriais - Teoremas e Provas

1 Para quaisquer uv V Tuv 0 se e somente se T T0 2 Para todo v V Tvv 0 se e somente se T T 3 Se T é um operador OAA em um REVPI e Tuv 0 para todo u V então T T0 Observe que Tuv vux tal que Tuvxy yxvu xy xy 0 com T T0 Além disso temos uma caracterização para o caso complexo 4 Sege T é um operador em um CEVPITuu 0 para todo u V se e somente se T T0 Teorema 316 Seja T um operador autoadjunto e v1 vr autovetores associados a autovalores distintos λ1 λr de T Então vi é ortogonal a vj tj 1 r i j Prova Tvivj viTvj viTvj λj Tvivj λj vivj viλj vj 0 λivivj λjvivj 0 λi λjvivj 0 Por hipótese λi λj vivj 0 Teorema 317 Seja V um Cespaço vetorial n dimensional e T um operador autoadjunto Então 1 Os autovetores de T são reais 2 T passa um autovetor nao nulo Prova 1 Considere v V v 0v um autovetor associado ao autovalor λ de T Tvv λvv λvv Tvv vTv vTv λvv λ λ λ R 2 Seja α uma base ortonormal de V e A Tα Considere W M0d11C um Cespaço vetorial com as operações usuais de matrizes com o produto interno XY YX e U W W tal que UX AX um operador autoadjunto Observe que o operador adjunto de U é o operador U W W tal que UX AX pois UX Y X UY UX Y AX Y YAX X AY AYX YA X YAX Como a adjunta é única UY AY O polinômio característico Prλ detA λI é um polinômio em C de grau n com raizes em C Então existe c C tal que Prc detA cI 0 Assim A cI é singular ou que existe um vetor X não nulo tal que AX cX Como U é OAA e pelo item anterior c R Se V for um Respaço vetorial todas as matrizes X A e A λoI são reais e A λoIX 0 tem solução real não nula 28