Análise de Estruturas Hiperestáticas - Cálculo de DEN DEC e DMF

UNISUL ENG CIVIL ANÁLISE DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS encontro 24102022 Prof Fábio Fiates Exemplo determinar DEN DEC e DMF do pórtico Considerar rigidez 𝐸𝐴 2400 103 𝑘𝑁 𝑒 𝐸𝐼 32 103 𝑘𝑁𝑚2 Deslocamentos nodais da estrutura vetor deslocamentos 𝐷 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝐷9 Ações nodais da estrutura vetor ações nodais 𝐴 𝑅1 𝑅2 𝑅3 0 0 0 𝑅7 𝑅8 𝑅9 regra de correspondência A matriz de rigidez do elemento 1 terá valores nas posições 𝐾11 a 𝐾66 A do elemento 2 de 𝐾44 a 𝐾99 e a matriz de rigidez do pórtico sera 9x9 Elemento J K e1 1 2 e2 2 3 uG 3J 2 1 4 1 3J 1 2 5 2 3J 3 6 3 3K 2 4 7 4 3K 1 5 8 5 3K 6 9 6 Já resolvemos a montagem da a matriz de rigidez global deste pórtico aula do dia 10102022 As matrizes de cada elemento são Matriz de rigidez global elemento 1 𝐾1𝐺 𝑅1 𝑇 𝐾1𝐿 𝑅1 1 2 3 4 5 6 𝐾1𝐺 103 6 0 12 6 0 12 0 600 0 0 600 0 12 0 32 12 0 16 6 0 12 6 0 12 0 600 0 0 600 0 12 0 16 12 0 32 1 2 3 4 5 6 Matriz de rigidez global elemento 2 𝐾2𝐺 𝐾2𝐿 4 5 6 7 8 9 𝐾2𝐺 103 480 0 0 480 0 0 0 3072 768 0 3072 768 0 768 256 0 768 128 480 0 0 480 0 0 0 3072 768 0 3072 768 0 768 128 0 768 256 4 5 6 7 8 9 Matriz de rigidez global 1 2 3 4 5 6 7 8 9 𝐾𝐺 103 6 0 12 6 0 12 0 0 0 0 600 0 0 600 0 0 0 0 12 0 32 12 0 16 0 0 0 6 0 12 6 480 0 0 12 0 480 0 0 0 600 0 0 0 600 3072 0 768 0 3072 768 12 0 16 12 0 0 768 32 256 0 768 128 0 0 0 480 0 0 480 0 0 0 0 0 0 3072 768 0 3072 768 0 0 0 0 768 128 0 768 256 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 𝐾𝐺 103 6 0 12 6 0 12 0 0 0 0 600 0 0 600 0 0 0 0 12 0 32 12 0 16 0 0 0 6 0 12 486 0 12 480 0 0 0 600 0 0 603072 768 0 3072 768 12 0 16 12 768 576 0 768 128 0 0 0 480 0 0 480 0 0 0 0 0 0 3072 768 0 3072 768 0 0 0 0 768 128 0 768 256 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Engastamento perfeito Elemento 1 está na vertical O cálculo do Ep é feito com o elemento na horizontal e depois é feita a rotação 𝑀𝐴 704 8 35 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵 704 8 35 𝑘𝑁𝑚 σ 𝑀𝐴 0 35 35 702 𝑅𝐵 4 0 𝑅𝐵 35 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐴 70 35 0 𝑅𝐴 35 𝑘𝑁 O vetor de engastamento perfeito no sistema local fica 𝐹𝑒𝑝1𝐿 0 35 35 0 35 35 𝑅𝐴𝑥 𝑅𝐴𝑦 𝑀𝐴 𝑅𝐵𝑥 𝑅𝐵𝑦 𝑀𝐵 no sistema global 𝐹𝑒𝑝1𝐺 𝑅1 𝑇 𝐹𝑒𝑝1𝐿 Matriz de rotação transposta do elemento 1 aula dia 1010 𝜃 90⁰ 𝑅1 𝑇 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 no sistema global 𝐹𝑒𝑝1𝐺 𝑅1 𝑇 𝐹𝑒𝑝1𝐿 𝐹𝑒𝑝1𝐺 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 35 35 0 35 35 𝐹𝑒𝑝1𝐺 35 0 35 35 0 35 1 2 3 4 5 6 Engastamento perfeito Elemento 2 𝑀𝐴 4852 12 100 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵 4852 12 100 𝑘𝑁𝑚 σ 𝑀𝐴 0 100 100 24025 𝑅𝐵 5 0 𝑅𝐵 120 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐴 240 120 0 𝑅𝐴 120 𝑘𝑁 O vetor de engastamento perfeito fica 𝐹𝑒𝑝1𝐺 35 0 35 35 0 35 1 2 3 4 5 6 𝐹𝑒𝑝2𝐺 0 120 100 0 120 100 4 5 6 7 8 9 𝐹𝑒𝑝𝐺 35 0 35 35 0 0 120 35 100 0 120 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 35 0 35 35 120 65 0 120 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Equação do método 𝐹𝑒𝑝 𝐾 𝐷 𝐴 35 0 35 35 120 65 0 120 100 103 6 0 12 6 0 12 0 0 0 0 600 0 0 600 0 0 0 0 12 0 32 12 0 16 0 0 0 6 0 12 486 0 12 480 0 0 0 600 0 0 603072 768 0 3072 768 12 0 16 12 768 576 0 768 128 0 0 0 480 0 0 480 0 0 0 0 0 0 3072 768 0 3072 768 0 0 0 0 768 128 0 768 256 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝐷9 𝑅1 𝑅2 𝑅3 0 0 0 𝑅7 𝑅8 𝑅9 Estrutura restringida 𝐷1 0 𝐷2 0 𝐷3 0 𝐷7 0 𝐷8 0 𝐷9 0 Deslocamentos não nulos 𝐷4 𝐷5 𝐷6 Sistema a ser resolvido terá as linhas e colunas 4 5 e 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 35 0 35 35 120 65 0 120 100 103 6 0 12 6 0 12 0 0 0 0 600 0 0 600 0 0 0 0 12 0 32 12 0 16 0 0 0 6 0 12 486 0 12 480 0 0 0 600 0 0 603072 768 0 3072 768 12 0 16 12 768 576 0 768 128 0 0 0 480 0 0 480 0 0 0 0 0 0 3072 768 0 3072 768 0 0 0 0 768 128 0 768 256 0 0 0 𝐷4 𝐷5 𝐷6 0 0 0 𝑅1 𝑅2 𝑅3 0 0 0 𝑅7 𝑅8 𝑅9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 35 120 65 103 486 0 12 0 603072 768 12 768 576 𝐷4 𝐷5 𝐷6 0 0 0 486 0 12 0 603072 768 12 768 576 𝐷4 𝐷5 𝐷6 35 120 65 103 486 𝐷4 12 𝐷6 35 103 𝐷4 7202 105 2469 102 𝐷6 60372 𝐷5 768 𝐷6 120 103 𝐷5 1989 105 1273 102 𝐷6 12 𝐷4 768 𝐷5 576 𝐷6 65 103 12 7202 105 2469 102 𝐷6 768 1989 105 1273 102 𝐷6 576 𝐷6 65 103 86419 105 29629 102 𝐷6 15282 105 978 102 𝐷6 576 𝐷6 65 103 57206 𝐷6 64336 103 𝑫𝟔 𝟏 𝟏𝟐𝟓 𝟏𝟎𝟑 𝒓𝒂𝒅 𝐷4 7202 105 2469 102 1125 103 𝑫𝟒 𝟎 𝟎𝟗𝟗𝟕𝟖 𝟏𝟎𝟑 𝒎 𝐷5 1989 105 1273 102 1125 103 𝑫𝟓 𝟎 𝟏𝟖𝟒𝟕 𝟏𝟎𝟑 𝒎 Retornar ao sistema e subsituir os valores dos deslocamentos 35 0 35 35 120 65 0 120 100 6 0 12 6 0 12 0 0 0 0 600 0 0 600 0 0 0 0 12 0 32 12 0 16 0 0 0 6 0 12 486 0 12 480 0 0 0 600 0 0 603072 768 0 3072 768 12 0 16 12 768 576 0 768 128 0 0 0 480 0 0 480 0 0 0 0 0 0 3072 768 0 3072 768 0 0 0 0 768 128 0 768 256 0 0 0 009978 01847 1125 0 0 0 𝑅1 𝑅2 𝑅3 0 0 0 𝑅7 𝑅8 𝑅9 Multiplicando linha a linha 35 6009978 12 1125 𝑅1 𝑅1 221 𝑘𝑁 0 600 01847 𝑅2 𝑅2 11082 𝑘𝑁 35 12009978 16 1125 𝑅3 𝑅3 182 𝑘𝑁𝑚 0 480009978 𝑅7 𝑅7 4789 𝑘𝑁 120 3072 01847 768 1125 𝑅8 𝑅8 12921 𝑘𝑁 100 768 01847 128 1125 𝑅9 𝑅9 11582 𝑘𝑁𝑚 Estrutura com as reações 48 kNm 2 m 70 kN 2 m 5 m 24n 11582 4789 12921 182 221 11082 Seções 48 kNm 2 m 70 kN 2 m 5 m 11582 4789 12921 182 221 11082 S2 S1 S3 S1 0 x 2 S2 0 x 2 S3 0 x 5 Seção 1 0 x 2 σ 𝐹𝑥 0 𝑁 11082 0 𝑁 11082 σ 𝐹𝑦 0 𝑉 221 0 𝑉 221 σ 𝑀 0 𝑀 221 𝑥 182 0 𝑀 182 221 𝑥 182 26 Seção 2 0 x 2 σ 𝐹𝑥 0 𝑁 11082 0 𝑁 11082 σ 𝐹𝑦 0 𝑉 221 70 0 𝑉 479 σ 𝑀 0 𝑀 221 2 𝑥 182 70 𝑥 0 𝑀 479 𝑥 26 26 698 Seção 3 0 x 5 σ 𝐹𝑥 0 𝑁 4789 0 𝑁 4789 σ 𝐹𝑦 0 𝑉 48 𝑥 12921 0 𝑉 48 𝑥 1291 1291 1108 𝑉 0 48 𝑥 12921 0 𝑥 2692 𝑚 σ 𝑀 0 𝑀 48 𝑥 𝑥 2 12921 𝑥 11582 0 𝑀 24 𝑥2 12921 𝑥 11582 11582 698 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝑀 2692 581 DIAGRAMA ESFORÇO NORMAL DEN 4789 11082 11082 DIAGRAMA ESFORÇO CORTANTE DEC 1108 2692 479 12921 221 DIAGRAMA MOMENTO FLETOR DMF 11582 698 698 581 2692 26 182 x2 U Exemplo Para a treliça a rigidez EA da barra BC é 4104 kN das barras AB e BD é 3104 kN e das barras AC e CD é 5104 kN Calcular as reações da estrutura Modelo com 4 nós e 5 elementos totalizando 8 deslocamentos Numeração de nós elementos e deslocamentos Ações Nodais na treliça segue a numeração dos deslocamentos O vetor de deslocamentos nodais da estrutura é 𝐷 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 O vetor de ações nodais da estrutura é 𝐴 𝑅1 𝑅2 0 50 30 60 𝑅7 𝑅8 O vetor de engastamento perfeito é nulo para treliças 𝐹𝑒𝑝 0 A equação do método fica 𝐾 𝐷 𝐴 regra de correspondência Elemento 1 e elemento 5 L 3 m EA 3104 kN Elemento 3 e elemento 4 L 5 m EA 5104 kN Elemento 2 L 4 m EA 4104 kN 𝐾 𝑡𝑟𝑒𝑙𝑖ç𝑎 𝐸𝐴 𝐿 0 𝐸𝐴 𝐿 0 0 0 0 0 𝐸𝐴 𝐿 0 𝐸𝐴 𝐿 0 0 0 0 0 Elemento J K e1 1 2 e2 2 3 e3 1 3 e4 3 4 e5 2 4 uG 2J 1 1 3 1 5 3 1 2J 2 4 2 6 4 2 2K 1 3 5 5 7 7 3 2K 4 6 6 8 8 4 As matrizes de rigidez dos 5 elementos no sistema local são iguais 𝐾𝐿 104 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 Para os elementos 1 e 5 que são horizontais 𝐾𝐺 𝐾𝐿 1 2 3 4 3 4 7 8 𝐾1𝐺 104 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 2 3 4 𝐾5𝐺 104 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 3 4 7 8 Elemento 2 tem ângulo de 90 graus antihorário A matriz de rotação é 𝑅 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 0 0 0 0 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 𝑅2 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 matriz de rigidez no sistema de coordenadas global 𝐾2𝐺 𝑅2 𝑇 𝐾2𝐿 𝑅2 𝐾2𝐺 𝑅2 𝑇 𝐾2𝐿 𝑅2 𝐾2𝐺 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 𝐾2𝐺 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 3 4 5 6 𝐾2𝐺 104 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 3 4 5 6 Elemento 3 tem ângulo 𝜃 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 Τ 4 3 5313 antihorário A matriz de rotação é 𝑅 cos 5313 𝑠𝑒𝑛 5313 0 0 𝑠𝑒𝑛 5313 cos 5313 0 0 0 0 cos 5313 𝑠𝑒𝑛 5313 0 0 𝑠𝑒𝑛 5313 cos 5313 𝑅3 06 08 0 0 08 06 0 0 0 0 06 08 0 0 08 06 𝐾3𝐺 𝑅3 𝑇 𝐾3𝐿 𝑅3 𝐾3𝐺 𝑅3 𝑇 𝐾3𝐿 𝑅3 𝐾3𝐺 06 08 0 0 08 06 0 0 0 0 06 08 0 0 08 06 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 06 08 0 0 08 06 0 0 0 0 06 08 0 0 08 06 𝐾3𝐺 06 0 06 0 08 0 08 0 06 0 06 0 08 0 08 0 06 08 0 0 08 06 0 0 0 0 06 08 0 0 08 06 1 2 5 6 𝐾3𝐺 104 036 048 036 048 048 064 048 064 036 048 036 048 048 064 048 064 1 2 5 6 Elemento 4 tem ângulo 𝜃 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 Τ 4 3 5313 horário A matriz de rotação é 𝑅 cos 5313 𝑠𝑒𝑛 5313 0 0 𝑠𝑒𝑛 5313 cos 5313 0 0 0 0 cos 5313 𝑠𝑒𝑛 5313 0 0 𝑠𝑒𝑛 5313 cos 5313 𝑅4 06 08 0 0 08 06 0 0 0 0 06 08 0 0 08 06 𝐾4𝐺 𝑅4 𝑇 𝐾4𝐿 𝑅4 𝐾4𝐺 𝑅4 𝑇 𝐾4𝐿 𝑅4 𝐾4𝐺 06 08 0 0 08 06 0 0 0 0 06 08 0 0 08 06 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 06 08 0 0 08 06 0 0 0 0 06 08 0 0 08 06 𝐾4𝐺 06 0 06 0 08 0 08 0 06 0 06 0 08 0 08 0 06 08 0 0 08 06 0 0 0 0 06 08 0 0 08 06 5 6 7 8 𝐾4𝐺 104 036 048 036 048 048 064 048 064 036 048 036 048 048 064 048 064 5 6 7 8 Matriz de rigidez global ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ 1 2 3 4 5 6 7 8 𝐾𝐺 104 1 036 0 048 1 0 036 048 0 0 0 048 0 064 0 0 048 064 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 036 048 0 0 0 036 036 0 048 048 036 048 048 064 0 1 0 048 048 1 064 064 048 064 0 0 1 0 036 048 036 1 048 0 0 0 0 0 048 064 048 0 064 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 𝐾𝐺 104 136 048 1 0 036 048 0 0 048 064 0 0 048 064 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 036 048 0 0 072 0 036 048 048 064 0 1 0 228 048 064 0 0 1 0 036 048 136 048 0 0 0 0 048 064 048 064 1 2 3 4 5 6 7 8 Equação do método 𝐹𝑒𝑝 𝐾 𝐷 𝐴 0 0 0 0 0 0 0 0 104 136 048 1 0 036 048 0 0 048 064 0 0 048 064 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 036 048 0 0 072 0 036 048 048 064 0 1 0 228 048 064 0 0 1 0 036 048 136 048 0 0 0 0 048 064 048 064 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝑅1 𝑅2 0 50 30 60 𝑅7 𝑅8 Estrutura restringida 𝐷1 0 𝐷2 0 𝐷7 0 𝐷8 0 Deslocamentos não nulos 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6 Sistema a ser resolvido terá as linhas e colunas 3 4 5 e 6 104 136 048 1 0 036 048 0 0 048 064 0 0 048 064 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 036 048 0 0 072 0 036 048 048 064 0 1 0 228 048 064 0 0 1 0 036 048 136 048 0 0 0 0 048 064 048 064 0 0 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6 0 0 𝑅1 𝑅2 0 50 30 60 𝑅7 𝑅8 104 2 0 0 0 0 1 0 1 0 0 072 0 0 1 0 228 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6 0 50 30 60 104 2 0 0 0 0 1 0 1 0 0 072 0 0 1 0 228 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6 0 50 30 60 2 𝐷3 0 𝑫𝟑 𝟎 𝐷4 𝐷6 50 104 𝐷4 50 104 𝐷6 072 𝐷5 30 104 𝑫𝟓 𝟒𝟏 𝟔𝟔𝟕 𝟏𝟎𝟒 𝒎 𝐷4 228 𝐷6 60 104 𝐷4 60 104 228 𝐷6 50 104 𝐷6 60 104 228 𝐷6 128 𝐷6 110 104 𝑫𝟔 𝟖𝟓 𝟗𝟒 𝟏𝟎𝟒 𝒎 𝐷4 50 104 8594 104 𝑫𝟒 𝟏𝟑𝟓 𝟗𝟒 𝟏𝟎𝟒 𝒎 Retornar ao sistema e subsituir os valores dos deslocamentos 136 048 1 0 036 048 0 0 048 064 0 0 048 064 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 036 048 0 0 072 0 036 048 048 064 0 1 0 228 048 064 0 0 1 0 036 048 136 048 0 0 0 0 048 064 048 064 0 0 0 13594 41667 8594 0 0 𝑅1 𝑅2 0 50 30 60 𝑅7 𝑅8 Multiplicando linha a linha 03641667 048 8594 𝑅1 𝑹𝟏 𝟐𝟔 𝟐𝟓 𝒌𝑵 04841667 064 8594 𝑅2 𝑹𝟐 𝟑𝟓 𝟎 𝒌𝑵 03641667 048 8594 𝑅7 𝑹𝟕 𝟓𝟔 𝟐𝟓 𝒌𝑵 04841667 064 8594 𝑅8 𝑹𝟖 𝟕𝟓 𝟎 𝒌𝑵