Análise de Estruturas Hiperestáticas-Cálculo de Reações DEC e DMF

UNISUL ENG CIVIL ANÁLISE DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS encontro 17102022 Prof Fábio Fiates Exemplo calcular as reações da viga e determinar DEC e DMF Considerar rigidez a flexão EI 1715 103 kNm2 Viga modelada com 5 nós e 4 elementos Elemento de viga tem os sistemas de coordenadas global e local coincidentes não necessitando da matriz de rotação Com 2 GLs por nó e 5 nós a viga tem 10 deslocamentos matriz 10x10 O vetor de deslocamentos nodais da estrutura é 𝐷 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝐷9 𝐷10 O vetor de ações nodais contêm as reações O vetor de ações nodais da estrutura é 𝐴 𝑅1 0 𝑅3 0 𝑅5 0 𝑅7 0 𝑅9 0 A matriz de rigidez para elemento de viga é 𝐾 𝑣𝑖𝑔𝑎 12𝐸𝐼 𝐿3 6𝐸𝐼 𝐿2 12𝐸𝐼 𝐿3 6𝐸𝐼 𝐿2 6𝐸𝐼 𝐿2 4𝐸𝐼 𝐿 6𝐸𝐼 𝐿2 2𝐸𝐼 𝐿 12𝐸𝐼 𝐿3 6𝐸𝐼 𝐿2 6𝐸𝐼 𝐿2 2𝐸𝐼 𝐿 12𝐸𝐼 𝐿3 6𝐸𝐼 𝐿2 6𝐸𝐼 𝐿2 4𝐸𝐼 𝐿 O elemento 1 tem L 7 m e EI 1715 103 A matriz de rigidez fica 12𝐸𝐼 𝐿3 121715 73 6 6𝐸𝐼 𝐿2 61715 72 21 4𝐸𝐼 𝐿 41715 7 98 2𝐸𝐼 𝐿 21715 7 49 𝐾1 103 6 21 6 21 21 98 21 49 6 21 6 21 21 49 21 98 O elemento 2 tem L 4 m e EI 1715 103 A matriz de rigidez fica 12𝐸𝐼 𝐿3 121715 43 32156 6𝐸𝐼 𝐿2 61715 42 64312 4𝐸𝐼 𝐿 41715 4 1715 2𝐸𝐼 𝐿 21715 4 8575 𝐾2 103 32156 64312 32156 64312 64312 1715 64312 8575 32156 64312 32156 64312 64312 8575 64312 1715 O elemento 3 tem L 5 m e EI 1715 103 A matriz de rigidez fica 12𝐸𝐼 𝐿3 121715 53 16464 6𝐸𝐼 𝐿2 61715 52 4116 4𝐸𝐼 𝐿 41715 5 1372 2𝐸𝐼 𝐿 21715 5 686 𝐾3 103 16464 4116 16464 4116 4116 1372 4116 686 16464 4116 16464 4116 4116 686 4116 1372 O elemento 4 tem L 4 m e EI 1715 103 A matriz de rigidez fica 12𝐸𝐼 𝐿3 121715 43 32156 6𝐸𝐼 𝐿2 61715 42 64312 4𝐸𝐼 𝐿 41715 4 1715 2𝐸𝐼 𝐿 21715 4 8575 𝐾4 103 32156 64312 32156 64312 64312 1715 64312 8575 32156 64312 32156 64312 64312 8575 64312 1715 Regra de correspondência e1 nós 1 e 2 e2 nós 2 e 3 e3 nós 3 e 4 e4 nós 4 e 5 Elemento J K e1 1 2 e2 2 3 e3 3 4 e4 4 5 uG 2J 1 1 3 5 7 1 2J 2 4 6 8 2 2K 1 3 5 7 9 3 2K 4 6 8 10 4 1 2 3 4 𝐾1 103 6 21 6 21 21 98 21 49 6 21 6 21 21 49 21 98 1 2 3 4 3 4 5 6 𝐾2 103 32156 64312 32156 64312 64312 1715 64312 8575 32156 64312 32156 64312 64312 8575 64312 1715 3 4 5 6 5 6 7 8 𝐾3 103 16464 4116 16464 4116 4116 1372 4116 686 16464 4116 16464 4116 4116 686 4116 1372 5 6 7 8 7 8 9 10 𝐾4 103 32156 64312 32156 64312 64312 1715 64312 8575 32156 64312 32156 64312 64312 8575 64312 1715 7 8 9 10 A matriz de rigidez da viga é 10x10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝐾 103 6 21 6 21 21 98 21 49 6 21 6 32156 21 64312 32156 64312 21 49 21 64312 98 1715 64312 8575 32156 64312 32156 16464 64312 4116 16464 4116 64312 8575 64312 4116 1715 1372 4116 686 16464 4116 16464 32156 4116 64312 32156 64312 4116 686 4116 64312 1372 1715 64312 8575 32156 64312 32156 64312 64312 8575 64312 1715 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝐾 103 6 21 6 21 0 0 0 0 0 0 21 98 21 49 0 0 0 0 0 0 6 21 38156 43312 32156 64312 0 0 0 0 21 49 43312 2695 64312 8575 0 0 0 0 0 0 32156 64312 4862 23152 16464 4116 0 0 0 0 64312 8575 23152 3087 4116 686 0 0 0 0 0 0 16464 4116 4862 23152 32156 64312 0 0 0 0 4116 686 23152 3087 64312 8575 0 0 0 0 0 0 32156 64312 32156 64312 0 0 0 0 0 0 64312 8575 64312 1715 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO CARREGAMENTO MBA MCD MDC MEF e4 e1 e3 e2 Engastamento perfeito Elemento 1 a 2 c 3 l 7 p 80 𝑀𝐴 803 247 372 32 19714 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐷 803 247 372 32 19714 𝑘𝑁𝑚 σ 𝑀𝐴 0 19714 19714 24035 𝑅𝐷 7 0 𝑅𝐷 120 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐴 240 120 0 𝑅𝐴 120 𝑘𝑁 Engastamento perfeito Elemento 2 a b 2 l 4 M 60 𝑀𝐷 602 42 32 24 15 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐹 602 42 24 32 15 𝑘𝑁𝑚 σ 𝑀𝐷 0 15 15 60 𝑅𝐹 4 0 𝑅𝐹 225 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐷 225 0 𝑅𝐷 225 𝑘𝑁 Engastamento perfeito Elemento 3 b 3 c 2 l 5 p 90 𝑀𝐹 9022 1252 632 432 22 984 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐻 9022 1252 432 22 336 𝑘𝑁𝑚 σ 𝑀𝐹 0 984 336 1801 𝑅𝐻 5 0 𝑅𝐻 2304 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐹 180 2304 0 𝑅𝐹 15696 𝑘𝑁 Engastamento perfeito Elemento 4 l 4 p 24 𝑀𝐻 2442 12 32 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐼 2442 12 32 𝑘𝑁𝑚 σ 𝑀𝐻 0 32 32 962 𝑅𝐼 4 0 𝑅𝐼 48 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐻 96 48 0 𝑅𝐻 48 𝑘𝑁 O vetor de engastamento perfeito fica 𝐹𝑒𝑝1 120 19714 120 19714 1 2 3 4 𝐹𝑒𝑝2 225 15 225 15 3 4 5 6 𝐹𝑒𝑝3 15696 984 2304 336 5 6 7 8 𝐹𝑒𝑝4 48 32 48 32 7 8 9 10 O vetor de engastamento perfeito fica 𝐹𝑒𝑝 120 19714 120 225 19714 15 225 15696 15 984 2304 48 336 32 48 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 120 19714 975 21214 17946 834 7104 16 48 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Equação do método 𝐹𝑒𝑝 𝐾 𝐷 𝐴 120 19714 975 21214 17946 834 7104 16 48 32 103 6 21 6 21 0 0 0 0 0 0 21 98 21 49 0 0 0 0 0 0 6 21 38156 43312 32156 64312 0 0 0 0 21 49 43312 2695 64312 8575 0 0 0 0 0 0 32156 64312 4862 23152 16464 4116 0 0 0 0 64312 8575 23152 3087 4116 686 0 0 0 0 0 0 16464 4116 4862 23152 32156 64312 0 0 0 0 4116 686 23152 3087 64312 8575 0 0 0 0 0 0 32156 64312 32156 64312 0 0 0 0 0 0 64312 8575 64312 1715 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝐷9 𝐷10 𝑅1 0 𝑅3 0 𝑅5 0 𝑅7 0 𝑅9 0 Estrutura restringida 𝐷1 0 𝐷3 0 𝐷5 0 𝐷7 0 𝐷9 0 Deslocamentos não nulos 𝐷2 𝐷4 𝐷6 𝐷8 𝐷10 Sistema a ser resolvido terá as linhas e colunas 2 4 6 8 e 10 120 19714 975 21214 17946 834 7104 16 48 32 103 6 21 6 21 0 0 0 0 0 0 21 98 21 49 0 0 0 0 0 0 6 21 38156 43312 32156 64312 0 0 0 0 21 49 43312 2695 64312 8575 0 0 0 0 0 0 32156 64312 4862 23152 16464 4116 0 0 0 0 64312 8575 23152 3087 4116 686 0 0 0 0 0 0 16464 4116 4862 23152 32156 64312 0 0 0 0 4116 686 23152 3087 64312 8575 0 0 0 0 0 0 32156 64312 32156 64312 0 0 0 0 0 0 64312 8575 64312 1715 0 𝐷2 0 𝐷4 0 𝐷6 0 𝐷8 0 𝐷10 𝑅1 0 𝑅3 0 𝑅5 0 𝑅7 0 𝑅9 0 19714 21214 834 16 32 103 98 49 0 0 0 49 2695 8575 0 0 0 8575 3087 686 0 0 0 686 3087 8575 0 0 0 8575 1715 𝐷2 𝐷4 𝐷6 𝐷8 𝐷10 0 0 0 0 0 103 98 49 0 0 0 49 2695 8575 0 0 0 8575 3087 686 0 0 0 686 3087 8575 0 0 0 8575 1715 𝐷2 𝐷4 𝐷6 𝐷8 𝐷10 19714 21214 834 16 32 98 𝐷2 49 𝐷4 19714 103 1 49 𝐷2 2695 𝐷4 8575 𝐷6 21214 103 2 8575 𝐷4 3087 𝐷6 686 𝐷8 834 103 3 686 𝐷6 3087 𝐷8 8575 𝐷10 16 103 4 8575 𝐷8 1715 𝐷10 32 103 5 1 𝐷2 201 103 05 𝐷4 6 5 𝐷10 019 103 05 𝐷8 7 6 2 49 201 103 05 𝐷4 2695 𝐷4 8575 𝐷6 21214 103 245 𝐷4 8575 𝐷6 31063 103 𝐷4 127 103 035 𝐷6 8 7 4 686 𝐷6 3087 𝐷8 8575 019 103 05 𝐷8 16 103 686 𝐷6 265825 𝐷8 1469 103 𝐷8 553 105 026 𝐷6 9 3 8575 𝐷4 3087 𝐷6 686 𝐷8 834 103 8 e 9 3 8575 127 103 035 𝐷6 3087 𝐷6 686 553 105 026 𝐷6 834 103 1089 103 3001 𝐷6 3087 𝐷6 38 103 1784 𝐷6 834 103 26085 𝐷6 1885 103 𝑫𝟔 𝟎 𝟕𝟐 𝟏𝟎𝟑 𝒓𝒂𝒅 𝐷4 127 103 035 𝐷6 127 103 035072 103 𝟏 𝟓𝟐 𝟏𝟎𝟑 𝒓𝒂𝒅 𝐷8 553 105 026 𝐷6 553 105 026072 103 𝟎 𝟏𝟑 𝟏𝟎𝟑 𝒓𝒂𝒅 𝐷2 201 103 05 𝐷4 201 103 05152 103 𝟐 𝟕𝟕 𝟏𝟎𝟑 𝒓𝒂𝒅 𝐷10 019 103 05 𝐷8 019 103 05013 103 𝟎 𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟑 𝒓𝒂𝒅 103 98 49 0 0 0 49 2695 8575 0 0 0 8575 3087 686 0 0 0 686 3087 8575 0 0 0 8575 1715 𝐷2 𝐷4 𝐷6 𝐷8 𝐷10 19714 21214 834 16 32 𝐷2 𝐷4 𝐷6 𝐷8 𝐷10 98 49 0 0 0 49 2695 8575 0 0 0 8575 3087 686 0 0 0 686 3087 8575 0 0 0 8575 1715 1 19714 21214 834 16 32 103 𝐷2 𝐷4 𝐷6 𝐷8 𝐷10 103 1134 2276 0671 0173 00865 276 4551 1341 0346 0173 0671 1341 3832 0989 0494 0173 0346 0989 4017 2009 00865 0173 0494 2009 6835 19714 21214 834 16 32 103 𝐷2 𝐷4 𝐷6 𝐷8 𝐷10 277 152 072 013 012 103 𝑟𝑎𝑑 Retornar ao sistema e subsituir os valores dos deslocamentos 120 19714 975 21214 17946 834 7104 16 48 32 6 21 6 21 0 0 0 0 0 0 21 98 21 49 0 0 0 0 0 0 6 21 38156 43312 32156 64312 0 0 0 0 21 49 43312 2695 64312 8575 0 0 0 0 0 0 32156 64312 4862 23152 16464 4116 0 0 0 0 64312 8575 23152 3087 4116 686 0 0 0 0 0 0 16464 4116 4862 23152 32156 64312 0 0 0 0 4116 686 23152 3087 64312 8575 0 0 0 0 0 0 32156 64312 32156 64312 0 0 0 0 0 0 64312 8575 64312 1715 0 277 0 152 0 072 0 013 0 012 𝑅1 0 𝑅3 0 𝑅5 0 𝑅7 0 𝑅9 0 Multiplicando linha a linha calculase as reações 2 4 6 8 e 10 120 21 277 21152 𝑅1 𝑅1 9375 𝑘𝑁 975 21 277 43312152 64312 072 𝑅3 𝑅3 1752 𝑘𝑁 17946 64312152 23152 072 4116013 𝑅5 𝑅5 103 73𝑘𝑁 7104 4116 072 23152013 64312012 𝑅7 𝑅7 1114 𝑘𝑁 48 64312013 64312012 𝑅9 𝑅9 3192 𝑘𝑁 Estrutura com as reações VB VA área W carreg distr VA 9375 MB MA área DEC MA 0 DEC VA 9375 apoio VB VA 0 VB 9375 VC VB 240 VC 14625 VD VC 0 VD 14625 VD 14625 1752 2895 VD 2895 VE VD 0 VE 2895 VF VE 0 VF 2895 VF 2895 10373 13268 VF 13268 VG VF 180 VG 4732 VH VG 0 VH 4732 VH 4732 1114 6408 VH 6408 VI VH 96 VI 3192 VI 3192 3192 0 VI 0 DEC A B C D E F G H I Vmax 13268 kN No DEC temos 11 áreas e o eixo x é cortado 3 vezes 240 3 9375 𝑥1 𝑥1 1172 𝑚 180 2 13268 𝑥2 𝑥2 1474 𝑚 96 4 6408 𝑥3 𝑥3 267 𝑚 No DEC temos 11 áreas e o eixo x é cortado 3 vezes 𝐴1 93752 𝐴1 1875 𝐴2 93751172 2 𝐴2 5494 𝐴3 146251828 2 𝐴3 13367 𝐴4 146252 𝐴4 2925 𝐴5 28952 𝐴5 579 𝐴6 28952 𝐴6 579 𝐴7 132681474 2 𝐴7 9778 𝐴8 47320526 2 𝐴8 1244 𝐴9 47323 𝐴9 14196 𝐴10 6408267 2 𝐴10 8555 𝐴11 3192133 2 𝐴11 2123 DMF MA 0 apoio MB MA 1875 MB 1875 MX1 MB 5494 MX1 24244 MC MX1 13367 MC 10877 MD MC 2925 MD 18373 ME MD 579 ME 12583 ME 12583 60 6583 ME 6583 MF ME 579 MF 793 MX2 MF 9778 MX2 8985 MG MX2 1244 MG 7741 MH MG 14196 MH 6455 MX3 MH 8555 MX3 21 MI MX3 2123 MI 023 0 DMF A B X1 C D E B1 F X2 G H X3 I Mmax 24244 kN m