Analise de Estruturas Hiperestaticas Metodo dos Deslocamentos

UNISUL ENG CIVIL ANÁLISE DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS encontro 03102022 Prof Fábio Fiates MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS Regra de Correspondência A regra de correspondência relaciona a numeração dos deslocamentos dos nós 𝑢𝐺 com a numeração dos deslocamentos nodais da estrutura 𝐷 É dada por Elemento de treliçaviga elemento de pórtico Elemento J K 3J 2 3J 1 3J 3K 2 3K 1 3K Elemento J K 2J 1 2J 2K 1 2K Considerar o pórtico abaixo A estrutura pode ser modelada com 4 nós totalizando 3 elementos Cada nó tem 3 GLs fazendo com que tenhamos um total 12 deslocamentos 𝐷 Analisando cada elemento separadamente temos 6 deslocamentos Elemento 1 Elemento 3 Elemento 2 O elemento 1 tem nós 1 e 2 o elemento 2 nós 2 e 3 e por fim o elemento 3 nós 3 e 4 A regra de correspondência fica A matriz de rigidez do elemento 1 terá valores nas posições 𝐾11 a 𝐾66 A do elemento 2 de 𝐾44 a 𝐾99 e a do elemento 3 de 𝐾77 a 𝐾1212 A matriz de rigidez do pórtico será 12x12 Elemento J K e1 1 2 e2 2 3 e3 3 4 uG 3J 2 1 4 7 1 3J 1 2 5 8 2 3J 3 6 9 3 3K 2 4 7 10 4 3K 1 5 8 11 5 3K 6 9 12 6 Considerar agora a viga Ela pode ser modelada com 5 nós e 4 elementos Elemento de viga tem 2 GLs por nó totalizando 10 deslocamentos A numeração dos nós é livre bem como a dos elementos mas deve ser respeitada e seguida até o final do problema Uma maneira de numerar os nós e os elementos é mostrada abaixo Os deslocamentos da estrutura serão Cada elemento terá os seguintes deslocamentos globais e1 nós 1 e 2 e2 nós 2 e 3 e3 nós 3 e 4 e4 nós 4 e 5 A regra de correspondência fica Elemento J K e1 1 2 e2 2 3 e3 3 4 e4 4 5 uG 2J 1 1 3 5 7 1 2J 2 4 6 8 2 2K 1 3 5 7 9 3 2K 4 6 8 10 4 A matriz de rigidez de e1 terá valores nas posições 𝐾11 a 𝐾44 A de e2 de 𝐾33 a 𝐾66 A de e3 de 𝐾55 a 𝐾88 e a de e4 de 𝐾77 a 𝐾1010 Supor que as matrizes são as mostradas abaixo 1 2 3 4 3 4 5 6 𝐾 𝑒1 1 2 3 4 𝐾 𝑒2 3 4 5 6 5 6 7 8 7 8 9 10 𝐾 𝑒3 5 6 7 8 𝐾 𝑒4 7 8 9 10 A matriz de rigidez da viga será 10x10 e é obtida por supeposição das 4 matrizes dos 4 elementos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝐾 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Como a numeração dos nós foi sequencial cada matriz é encaixada sobre a anterior matriz banda ao longo da diagonal principal 𝐷1 𝑢𝐺1 𝑒1 𝐷2 𝑢𝐺2 𝑒1 𝐷3 𝑢𝐺3 𝑒1 𝑢𝐺1 𝑒2 𝐷4 𝑢𝐺4 𝑒1 𝑢𝐺2 𝑒2 𝐷5 𝑢𝐺3 𝑒2 𝑢𝐺1 𝑒3 𝐷6 𝑢𝐺4 𝑒2 𝑢𝐺2 𝑒3 𝐷7 𝑢𝐺3 𝑒3 𝑢𝐺1 𝑒4 𝐷8 𝑢𝐺4 𝑒3 𝑢𝐺2 𝑒4 𝐷9 𝑢𝐺3 𝑒4 𝐷10 𝑢𝐺4 𝑒4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝐾 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Considerar agora a treliça Ela pode ser modelada com 5 nós e 7 elementos Elemento de treliça tem 2 GLs por nó totalizando 10 deslocamentos A numeração dos nós é livre bem como a dos elementos mas deve ser respeitada e seguida até o final do problema Uma maneira de numerar os nós e os elementos é mostrada abaixo Os deslocamentos da estrutura serão Cada elemento terá os seguintes deslocamentos globais e1 nós 1 e 2 e2 nós 2 e 3 e3 nós 1 e 3 e4 nós 2 e 4 e5 nós 3 e 4 e6 nós 3 e 5 e7 nós 4 e 5 A regra de correspondência fica Elemento J K e1 1 2 e2 2 3 e3 1 3 e4 2 4 e5 3 4 e6 3 5 e7 4 5 uG 2J 1 1 3 1 3 5 5 7 1 2J 2 4 2 4 6 6 8 2 2K 1 3 5 5 7 7 9 9 3 2K 4 6 6 8 8 10 10 4 Supor que as matrizes são as mostradas abaixo 1 2 3 4 3 4 5 6 𝐾 𝑒1 1 2 3 4 𝐾 𝑒2 3 4 5 6 1 2 5 6 3 4 7 8 𝐾 𝑒3 1 2 5 6 𝐾 𝑒4 3 4 7 8 5 6 7 8 5 6 9 10 𝐾 𝑒5 5 6 7 8 𝐾 𝑒6 5 6 9 10 7 8 9 10 𝐾 𝑒7 7 8 9 10 Como a numeração dos nós não é sequencial a matriz de rigidez da treliça terá mais valores esparsos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝐾 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Elemento J K e1 1 2 e2 2 3 e3 1 3 e4 2 4 e5 3 4 e6 3 5 e7 4 5 uG 2J 1 1 3 1 3 5 5 7 1 2J 2 4 2 4 6 6 8 2 2K 1 3 5 5 7 7 9 9 3 2K 4 6 6 8 8 10 10 4 Foi visto que a equação do método é 𝐹𝑒𝑝 𝐾 𝐷 𝐴 𝐹𝑒𝑝 vetor de esforços do engastamento perfeito 𝐾 matriz de rigidez 𝐷 vetor de deslocamentos nodais 𝐴 vetor de ações nodais Vimos como montar a matriz de rigidez 𝐾 e o vetor de deslocamentos nodais 𝐷 No vetor de ações nodais 𝐴 são incluídos as forças ou momentos externos aplicados nos nós da estrutura Reações de apoio são incluídas neste vetor A numeração destas cargas deve seguir a numeração dos deslocamentos 𝐴 𝑅1 0 𝑅3 0 𝑅5 0 𝑅7 0 0 0 O vetor de engastamento perfeito 𝐹𝑒𝑝 é obtido engastandose os dois nós de um elemento e calculandose as reações e os momentos causados pelo carregamento do elemento Os momentos para vários tipos de carregamentos estão tabelados As reações podem ser calculadas com as equações de equilíbrio Para treliças 𝐹𝑒𝑝 é nulo Após a montagem da matriz de rigidez da determinação do vetor de ações nodais e do vetor de engastamento perfeito devese resolver o sistema matricial de equações Para isto a estrutura deve ser restringida ou seja devese impor os deslocamentos nulos provenientes dos apoios Na estrutura restringida são eliminadas as linhas e colunas correspondentes aos deslocamentos nulos A equação para a estrutura restringida é 𝐹𝑒𝑝 𝐾 𝐷 𝐴 MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO CARREGAMENTO MBA MCD MDC MEF 1 p p ℓ²8 p ℓ²12 p ℓ²12 p ℓ²8 2 p c 16 ℓ 3 ℓ² c ² p c 24 ℓ 3 ℓ² c ² p c 24 ℓ 3 ℓ² c ² p c 16 ℓ 3 ℓ² c ² 3 p c² 8 ℓ 2 ℓ² c ² p c² 12 ℓ² 6 b² 4 b c c ² p c² 12 ℓ² 4 b c c ² p c² 8 ℓ² ℓ b² 4 7 128 p ℓ² 11 192 p ℓ² 5 192 p ℓ² 9 128 p ℓ² 5 p c² 8 ℓ² ℓ a² p c² 12 ℓ² 4 a c c ² p c² 12 ℓ² 6 a² 4 a c c ² p c² 8 ℓ² 2 ℓ² c ² 6 9 128 p ℓ² 5 192 p ℓ² 11 192 p ℓ² 7 128 p ℓ² 7 p a² 4 ℓ 3 ℓ 2 a p a² 6 ℓ 3 ℓ 2 a p a² 6 ℓ 3 ℓ 2 a p a² 4 ℓ 3 ℓ 2 a 8 p a² 4 ℓ 3 ℓ 2 a p a² 2 ℓ² ℓ a² p a² 2 ℓ² ℓ a² p a² 4 ℓ 3 ℓ 2 a 9 P 1 a b P a b 2 ℓ² ℓ a P a b ² ℓ² P a ² b ℓ² P a b 2 ℓ² ℓ b 10 P 1 ℓ2 ℓ2 3 P ℓ 16 P ℓ 8 P ℓ 8 3 P ℓ 16 11 P 1 P 1 a a 3 P a 2 ℓ ℓ a P a ℓ ℓ a P a ℓ ℓ a 3 P a 2 ℓ ℓ a 12 P 1 P 1 ℓ3 ℓ3 ℓ3 P ℓ 3 2 P ℓ 9 2 P ℓ 9 P ℓ 3 13 P 1 P 1 P 1 ℓ4 ℓ4 ℓ4 ℓ4 15 P ℓ 32 5 P ℓ 16 5 P ℓ 16 15 P ℓ 32 14 P 1 P 1 P 1 P 1 a a a a a a a P ℓ 8 n n ² 1 P ℓ 12 n n ² 1 P ℓ 12 n n ² 1 P ℓ 8 n n ² 1 15 M a b M 2 ℓ ² ℓ ² 3 a ² M b ℓ ² 3 b 2 ℓ M a ℓ ² 2 ℓ 3 a M 2 ℓ ² 3 b ² ℓ ² 16 P 1 P 1 a2 a a a a2 P ℓ 16 n 2 n ² 1 P ℓ 24 n 2 n ² 1 P ℓ 24 n 2 n ² 1 P ℓ 16 n 2 n ² 1 Extraida de SOUZA ANTUNES 1983 JIMENES MONTOYA GARCIA MESEGUER MORAN CABRE 1973 e de SCHREYER 1965 Convenção de GRINTER n ℓ a Revista e adaptada por Libânio M Pinheiro Bruna Catoia e Thiago Catoia Exemplo calcular as reações da viga Considerar rigidez a flexão EI 675 103 kNm2 Viga modelada com 4 nós e 3 elementos Elemento de viga tem os sistemas de coordenadas global e local coincidentes não necessitando da matriz de rotação Com 2 GLs por nó e 4 nós a viga tem 8 deslocamentos matriz 8x8 O vetor de deslocamentos nodais da estrutura é 𝐷 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 O vetor de ações nodais contêm as reações e carregamentos aplicados nos nós O vetor de ações nodais da estrutura é 𝐴 𝑅1 𝑅2 𝑅3 20 𝑅5 0 𝑅7 0 A matriz de rigidez para elemento de viga é 𝐾 𝑣𝑖𝑔𝑎 12𝐸𝐼 𝐿3 6𝐸𝐼 𝐿2 12𝐸𝐼 𝐿3 6𝐸𝐼 𝐿2 6𝐸𝐼 𝐿2 4𝐸𝐼 𝐿 6𝐸𝐼 𝐿2 2𝐸𝐼 𝐿 12𝐸𝐼 𝐿3 6𝐸𝐼 𝐿2 6𝐸𝐼 𝐿2 2𝐸𝐼 𝐿 12𝐸𝐼 𝐿3 6𝐸𝐼 𝐿2 6𝐸𝐼 𝐿2 4𝐸𝐼 𝐿 O elemento 1 tem L 6 m e EI 675 103 A matriz fica 𝐾1 103 375 1125 375 1125 1125 45 1125 225 375 1125 375 1125 1125 225 1125 45 O elemento 2 tem L 3 m e EI 675 103 A matriz fica 𝐾2 103 30 45 30 45 45 90 45 45 30 45 30 45 45 45 45 90 O elemento 3 tem L 5 m e EI 675 103 A matriz fica 𝐾3 103 648 162 648 162 162 54 162 27 648 162 648 162 162 27 162 54 Regra de correspondência e1 nós 1 e 2 e2 nós 2 e 3 e3 nós 3 e 4 Elemento J K e1 1 2 e2 2 3 e3 3 4 uG 2J 1 1 3 5 1 2J 2 4 6 2 2K 1 3 5 7 3 2K 4 6 8 4 1 2 3 4 𝐾1 103 375 1125 375 1125 1125 45 1125 225 375 1125 375 1125 1125 225 1125 45 1 2 3 4 3 4 5 6 𝐾2 103 30 45 30 45 45 90 45 45 30 45 30 45 45 45 45 90 3 4 5 6 5 6 7 8 𝐾3 103 648 162 648 162 162 54 162 27 648 162 648 162 162 27 162 54 5 6 7 8 A matriz de rigidez da viga é 8x8 1 2 3 4 5 6 7 8 𝐾 103 375 1125 375 1125 0 0 0 0 1125 45 1125 225 0 0 0 0 375 1125 375 30 1125 45 30 45 0 0 1125 225 1125 45 45 90 45 45 0 0 0 0 30 45 30 648 45 162 648 162 0 0 45 45 45 162 90 54 162 27 0 0 0 0 648 162 648 162 0 0 0 0 162 27 162 54 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 𝐾 103 375 1125 375 1125 0 0 0 0 1125 45 1125 225 0 0 0 0 375 1125 3375 3375 30 45 0 0 1125 225 3375 135 45 45 0 0 0 0 30 45 3648 288 648 162 0 0 45 45 288 144 162 27 0 0 0 0 648 162 648 162 0 0 0 0 162 27 162 54 1 2 3 4 5 6 7 8 Engastamento perfeito Elemento 1 𝑀𝐴 50242 62 4444 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵 50224 62 2222 𝑘𝑁𝑚 σ 𝑀𝐴 0 4444 2222 502 𝑅𝐵 6 0 𝑅𝐵 1296 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐴 50 1296 0 𝑅𝐴 3704 𝑘𝑁 Engastamento perfeito Elemento 2 𝑀𝐵 3032 12 225 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶 3032 12 225 𝑘𝑁𝑚 σ 𝑀𝐵 0 225 225 9015 𝑅𝐶 3 0 𝑅𝐶 45 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐵 90 45 0 𝑅𝐵 45 𝑘𝑁 Engastamento perfeito Elemento 3 𝑀𝐶 4052 12 8333 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐷 5052 12 8333 𝑘𝑁𝑚 σ 𝑀𝐶 0 8333 8333 20025 𝑅𝐷 5 0 𝑅𝐷 100 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐶 200 100 0 𝑅𝐶 100 𝑘𝑁 O vetor de engastamento perfeito fica 𝐹𝑒𝑝1 𝑅𝐴 𝑀𝐴 𝑅𝐵 𝑀𝐵 3704 4444 1296 2222 1 2 3 4 𝐹𝑒𝑝2 𝑅𝐵 𝑀𝐵 𝑅𝐶 𝑀𝐶 45 225 45 225 3 4 5 6 𝐹𝑒𝑝3 𝑅𝐶 𝑀𝐶 𝑅𝐷 𝑀𝐷 100 8333 100 8333 5 6 7 8 O vetor de engastamento perfeito fica 𝐹𝑒𝑝 3704 4444 1296 45 2222 225 45 100 225 8333 100 8333 1 2 3 4 5 6 7 8 3704 4444 5796 028 145 6083 100 8333 1 2 3 4 5 6 7 8 Equação do método 𝐹𝑒𝑝 𝐾 𝐷 𝐴 3704 4444 5796 028 145 6083 100 8333 103 375 1125 375 1125 0 0 0 0 1125 45 1125 225 0 0 0 0 375 1125 3375 3375 30 45 0 0 1125 225 3375 135 45 45 0 0 0 0 30 45 3648 288 648 162 0 0 45 45 288 144 162 27 0 0 0 0 648 162 648 162 0 0 0 0 162 27 162 54 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝑅1 𝑅2 𝑅3 20 𝑅5 0 𝑅7 0 Estrutura restringida 𝐷1 0 𝐷2 0 𝐷3 0 𝐷5 0 𝐷7 0 Deslocamentos não nulos 𝐷4 𝐷6 𝐷8 Sistema a ser resolvido terá as linhas e colunas 4 6 e 8 3704 4444 5796 𝟎 𝟐𝟖 145 𝟔𝟎 𝟖𝟑 100 𝟖𝟑 𝟑𝟑 103 375 1125 375 1125 0 0 0 0 1125 45 1125 225 0 0 0 0 375 1125 3375 3375 30 45 0 0 1125 225 3375 𝟏𝟑𝟓 45 𝟒𝟓 0 𝟎 0 0 30 45 3648 288 648 162 0 0 45 𝟒𝟓 288 𝟏𝟒𝟒 162 𝟐𝟕 0 0 0 0 648 162 648 162 0 0 0 𝟎 162 𝟐𝟕 162 𝟓𝟒 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝑫𝟒 𝐷5 𝑫𝟔 𝐷7 𝑫𝟖 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝟐𝟎 𝑅5 𝟎 𝑅7 𝟎 Equação da estrutura restringida 028 6083 8333 103 135 45 0 45 144 27 0 27 54 𝐷4 𝐷6 𝐷8 20 0 0 103 135 45 0 45 144 27 0 27 54 𝐷4 𝐷6 𝐷8 1972 6083 8333 135 𝐷4 45 𝐷6 1972 103 𝐷4 0146 103 0333 𝐷6 45 𝐷4 144 𝐷6 27 𝐷8 6083 103 27 𝐷6 54 𝐷8 8333 103 𝐷8 1543 103 05 𝐷6 45 0146 103 0333 𝐷6 144 𝐷6 27 1543 103 05 𝐷6 6083 103 115515 𝐷6 109061 103 𝑫𝟔 𝟎 𝟗𝟒𝟑 𝟏𝟎𝟑 𝒓𝒂𝒅 𝐷4 0146 103 03330943 103 𝑫𝟒 𝟎 𝟒𝟔𝟏 𝟏𝟎𝟑 𝒓𝒂𝒅 𝐷8 1543 103 050943 103 𝑫𝟖 𝟐 𝟎𝟏𝟓 𝟏𝟎𝟑 𝒓𝒂𝒅 Retornar ao sistema e subsituir os valores dos deslocamentos 3704 4444 5796 028 145 6083 100 8333 375 1125 375 1125 0 0 0 0 1125 45 1125 225 0 0 0 0 375 1125 3375 3375 30 45 0 0 1125 225 3375 135 45 45 0 0 0 0 30 45 3648 288 648 162 0 0 45 45 288 144 162 27 0 0 0 0 648 162 648 162 0 0 0 0 162 27 162 54 0 0 0 0461 0 0943 0 2015 𝑅1 𝑅2 𝑅3 20 𝑅5 0 𝑅7 0 Multiplicando linha a linha 3704 11250461 𝑅1 𝑅1 4223 𝑘𝑁 4444 2250461 𝑅2 𝑅2 5481 𝑘𝑁𝑚 5796 33750461 45 0943 𝑅3 𝑅3 3108 𝑘𝑁 028 1350461 45 0943 20 2008 20 145 450461 288 0943 1622015 𝑅5 𝑅5 18406 𝑘𝑁 6083 450461 144 0943 272015 0 018 0 100 162 0943 1622015 𝑅7 𝑅7 5208 𝑘𝑁 8333 27 0943 542015 0 002 0