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UNISUL ENG CIVIL ANÁLISE DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS encontro 31102022 Prof Fábio Fiates Calcular as reações do pórtico Considerar rigidez 𝐸𝐴 9600 103 𝑘𝑁 e 𝐸𝐼 128 103 𝑘𝑁𝑚2 Numeração dos nós elementos e deslocamentos nodais da estrutura vetor deslocamentos 𝐷 𝐷𝟏 𝐷𝟐 𝐷𝟑 𝐷4 𝐷𝟓 𝐷6 𝐷𝟕 𝐷𝟖 𝐷𝟗 𝐷𝟏𝟎 𝐷1𝟏 𝐷𝟏𝟐 Ações nodais da estrutura vetor ações nodais 𝐴 𝑅1 𝑅2 𝑅3 0 0 0 0 0 0 𝑅10 𝑅11 𝑅12 regra de correspondência A matriz de rigidez do elemento 1 terá valores nas posições 𝐾11 a 𝐾66 A do elemento 2 de 𝐾44 a 𝐾99 A do elemento 3 de 𝐾77 a 𝐾1212e a matriz de rigidez do pórtico será 12x12 Elemento J K e1 1 2 e2 2 3 e3 3 4 uG 3J 2 1 4 7 1 3J 1 2 5 8 2 3J 3 6 9 3 3K 2 4 7 10 4 3K 1 5 8 11 5 3K 6 9 12 6 A matriz de rigidez do elemento de pórtico no sistema local é 𝐾𝐿 𝐸𝐴 𝐿 0 0 𝐸𝐴 𝐿 0 0 0 12𝐸𝐼 𝐿3 6𝐸𝐼 𝐿2 0 12𝐸𝐼 𝐿3 6𝐸𝐼 𝐿2 0 6𝐸𝐼 𝐿2 4𝐸𝐼 𝐿 0 6𝐸𝐼 𝐿2 2𝐸𝐼 𝐿 𝐸𝐴 𝐿 0 0 𝐸𝐴 𝐿 0 0 0 12𝐸𝐼 𝐿3 6𝐸𝐼 𝐿2 0 12𝐸𝐼 𝐿3 6𝐸𝐼 𝐿2 0 6𝐸𝐼 𝐿2 2𝐸𝐼 𝐿 0 6𝐸𝐼 𝐿2 4𝐸𝐼 𝐿 O elemento 1 tem 𝐸𝐴 9600 103 𝐸𝐼 128 103 𝐿 4 𝐸𝐴 𝐿 9600 4 2400 12𝐸𝐼 𝐿3 12128 43 24 6𝐸𝐼 𝐿2 6128 42 48 4𝐸𝐼 𝐿 4128 4 128 2𝐸𝐼 𝐿 2128 4 64 𝐾1𝐿 103 2400 0 0 2400 0 0 0 24 48 0 24 48 0 48 128 0 48 64 2400 0 0 2400 0 0 0 24 48 0 24 48 0 48 64 0 48 128 matriz de rigidez no sistema de coordenadas global 𝐾1𝐺 𝑅1 𝑇 𝐾1𝐿 𝑅1 A matriz de rotação é 𝑅 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 0 0 0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 0 0 0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 0 0 0 0 0 0 1 O elemento tem ângulo de 90⁰ A matriz de rotação e a transposta são 𝑅1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 𝑅1 𝑇 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 𝐾1𝐺 𝑅1 𝑇 𝐾1𝐿 𝑅1 𝐾1𝐺 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 103 2400 0 0 2400 0 0 0 24 48 0 24 48 0 48 128 0 48 64 2400 0 0 2400 0 0 0 24 48 0 24 48 0 48 64 0 48 128 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 𝐾1𝐺 103 24 0 48 24 0 48 0 2400 0 0 2400 0 48 0 128 48 0 64 24 0 48 24 0 48 0 2400 0 0 2400 0 48 0 64 48 0 128 1 2 3 4 5 6 O elemento 2 tem 𝐸𝐴 9600 103 𝐸𝐼 128 103 𝐿 5 Elemento na horizontal 𝐾2𝐺 𝐾2𝐿 não há necessidade da matriz de rotação 𝐸𝐴 𝐿 9600 5 1920 12𝐸𝐼 𝐿3 12128 53 12288 6𝐸𝐼 𝐿2 6128 52 3072 4𝐸𝐼 𝐿 4128 5 1024 2𝐸𝐼 𝐿 2128 5 512 4 5 6 7 8 9 𝐾2𝐺 103 1920 0 0 1920 0 0 0 12288 3072 0 12288 3072 0 3072 1024 0 3072 512 1920 0 0 1920 0 0 0 12288 3072 0 12288 3072 0 3072 512 0 3072 1024 4 5 6 7 8 9 O elemento 3 tem 𝐸𝐴 9600 103 𝐸𝐼 128 103 𝐿 4 𝐸𝐴 𝐿 9600 4 2400 12𝐸𝐼 𝐿3 12128 43 24 6𝐸𝐼 𝐿2 6128 42 48 4𝐸𝐼 𝐿 4128 4 128 2𝐸𝐼 𝐿 2128 4 64 𝐾3𝐿 103 2400 0 0 2400 0 0 0 24 48 0 24 48 0 48 128 0 48 64 2400 0 0 2400 0 0 0 24 48 0 24 48 0 48 64 0 48 128 matriz de rigidez no sistema de coordenadas global 𝐾3𝐺 𝑅3 𝑇 𝐾3𝐿 𝑅3 A matriz de rotação é 𝑅 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 0 0 0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 0 0 0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 0 0 0 0 0 0 1 O elemento tem ângulo de 90⁰ A matriz de rotação e a transposta são 𝑅3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 𝑅3 𝑇 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 𝐾3𝐺 𝑅3 𝑇 𝐾3𝐿 𝑅3 𝐾3𝐺 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 103 2400 0 0 2400 0 0 0 24 48 0 24 48 0 48 128 0 48 64 2400 0 0 2400 0 0 0 24 48 0 24 48 0 48 64 0 48 128 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 7 8 9 10 11 12 𝐾3𝐺 103 24 0 48 24 0 48 0 2400 0 0 2400 0 48 0 128 48 0 64 24 0 48 24 0 48 0 2400 0 0 2400 0 48 0 64 48 0 128 7 8 9 10 11 12 Matriz de rigidez global elemento 1 𝐾1𝐺 𝑅1 𝑇 𝐾1𝐿 𝑅1 1 2 3 4 5 6 𝐾1𝐺 103 24 0 48 24 0 48 0 2400 0 0 2400 0 48 0 128 48 0 64 24 0 48 24 0 48 0 2400 0 0 2400 0 48 0 64 48 0 128 1 2 3 4 5 6 Matriz de rigidez global elemento 2 𝐾2𝐺 𝐾2𝐿 4 5 6 7 8 9 𝐾2𝐺 103 1920 0 0 1920 0 0 0 12288 3072 0 12288 3072 0 3072 1024 0 3072 512 1920 0 0 1920 0 0 0 12288 3072 0 12288 3072 0 3072 512 0 3072 1024 4 5 6 7 8 9 Matriz de rigidez global elemento 3 𝐾3𝐺 𝑅3 𝑇 𝐾3𝐿 𝑅3 7 8 9 10 11 12 𝐾3𝐺 103 24 0 48 24 0 48 0 2400 0 0 2400 0 48 0 128 48 0 64 24 0 48 24 0 48 0 2400 0 0 2400 0 48 0 64 48 0 128 7 8 9 10 11 12 Matriz de rigidez global 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 𝐾𝐺 103 24 0 48 24 0 48 0 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2400 0 0 0 0 0 0 0 48 0 128 48 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 48 24 1920 0 0 48 0 1920 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 0 2400 12288 0 3072 0 12288 3072 0 0 0 48 0 64 48 0 0 3072 128 1024 0 3072 512 0 0 0 0 0 0 1920 0 0 1920 24 0 0 0 48 24 0 48 0 0 0 0 12288 3072 0 0 12288 2400 3072 0 0 2400 0 0 0 0 0 3072 512 0 48 3072 0 1024 128 48 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 48 24 0 48 0 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2400 0 0 0 0 0 0 0 48 0 64 48 0 128 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 𝐾𝐺 103 24 0 48 24 0 48 0 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2400 0 0 0 0 0 0 0 48 0 128 48 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 48 1944 0 48 1920 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2412288 3072 0 12288 3072 0 0 0 48 0 64 48 3072 2304 0 3072 512 0 0 0 0 0 0 1920 0 0 1944 0 48 24 0 48 0 0 0 0 12288 3072 0 2412288 3072 0 2400 0 0 0 0 0 3072 512 48 3072 2304 48 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 48 24 0 48 0 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2400 0 0 0 0 0 0 0 48 0 64 48 0 128 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Engastamento perfeito Elemento 1 não tem carregamento 𝐹𝑒𝑝1 0 𝐹𝑒𝑝1𝐺 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 Elemento 2 está na horizontal não necessita de matriz de rotação Elemento 3 está na vertical O cálculo do Ep é feito com o elemento na horizontal e depois é feita a rotação Engastamento perfeito Elemento 2 𝑀𝐵 3052 12 625 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶 3052 12 625 𝑘𝑁𝑚 σ 𝑀𝐵 0 625 625 15025 𝑅𝐶 5 0 𝑅𝐶 75 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐵 150 75 0 𝑅𝐵 75 𝑘𝑁 Engastamento perfeito Elemento 2 𝐹𝑒𝑝2𝐺 0 75 625 0 75 625 4 5 6 7 8 9 Engastamento perfeito Elemento 3 𝑀𝐶 20132 42 1125 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐷 20123 42 375 𝑘𝑁𝑚 σ 𝑀𝐶 0 1125 375 201 𝑅𝐷 4 0 𝑅𝐷 3125 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐶 20 3125 0 𝑅𝐶 16875 𝑘𝑁 O vetor de engastamento perfeito no sistema local fica 𝐹𝑒𝑝3𝐿 0 16875 1125 0 3125 375 no sistema global 𝐹𝑒𝑝3𝐺 𝑅3 𝑇 𝐹𝑒𝑝3𝐿 Matriz de rotação transposta do elemento 3 𝜃 90⁰ 𝑅3 𝑇 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 no sistema global 𝐹𝑒𝑝3𝐺 𝑅3 𝑇 𝐹𝑒𝑝3𝐿 𝐹𝑒𝑝3𝐺 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 16875 1125 0 3125 375 𝐹𝑒𝑝3𝐺 16875 0 1125 3125 0 375 7 8 9 10 11 12 O vetor de engastamento perfeito fica 𝐹𝑒𝑝1𝐺 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 𝐹𝑒𝑝2𝐺 0 75 625 0 75 625 4 5 6 7 8 9 𝐹𝑒𝑝3𝐺 16875 0 1125 3125 0 375 7 8 9 10 11 12 𝐹𝑒𝑝𝐺 0 0 0 0 0 0 75 0 625 0 16875 75 0 625 1125 3125 0 375 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 0 0 0 75 625 16875 75 7375 3125 0 375 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Equação do método 𝐹𝑒𝑝 𝐾 𝐷 𝐴 0 0 0 0 75 625 16875 75 7375 3125 0 375 103 24 0 48 24 0 48 0 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2400 0 0 0 0 0 0 0 48 0 128 48 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 48 1944 0 48 1920 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2412288 3072 0 12288 3072 0 0 0 48 0 64 48 3072 2304 0 3072 512 0 0 0 0 0 0 1920 0 0 1944 0 48 24 0 48 0 0 0 0 12288 3072 0 2412288 3072 0 2400 0 0 0 0 0 3072 512 48 3072 2304 48 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 48 24 0 48 0 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2400 0 0 0 0 0 0 0 48 0 64 48 0 128 𝐷𝟏 𝐷𝟐 𝐷𝟑 𝐷4 𝐷𝟓 𝐷6 𝐷𝟕 𝐷𝟖 𝐷𝟗 𝐷𝟏𝟎 𝐷1𝟏 𝐷𝟏𝟐 𝑅1 𝑅2 𝑅3 0 0 0 0 0 0 𝑅10 𝑅11 𝑅12 Estrutura restringida 𝐷1 0 𝐷2 0 𝐷3 0 𝐷10 0 𝐷11 0 𝐷12 0 Deslocamentos não nulos 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝐷9 Sistema a ser resolvido terá as linhas e colunas 4 5 6 7 8 e 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 0 0 0 75 625 16875 75 7375 3125 0 375 103 24 0 48 24 0 48 0 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2400 0 0 0 0 0 0 0 48 0 128 48 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 48 1944 0 48 1920 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2412288 3072 0 12288 3072 0 0 0 48 0 64 48 3072 2304 0 3072 512 0 0 0 0 0 0 1920 0 0 1944 0 48 24 0 48 0 0 0 0 12288 3072 0 2412288 3072 0 2400 0 0 0 0 0 3072 512 48 3072 2304 48 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 48 24 0 48 0 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2400 0 0 0 0 0 0 0 48 0 64 48 0 128 𝟎 𝟎 𝟎 𝐷4 𝐷𝟓 𝐷6 𝐷𝟕 𝐷𝟖 𝐷𝟗 𝟎 𝟎 𝟎 𝑅1 𝑅2 𝑅3 0 0 0 0 0 0 𝑅10 𝑅11 𝑅12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 75 625 16875 75 7375 103 1944 0 48 1920 0 0 0 2412288 3072 0 12288 3072 48 3072 2304 0 3072 512 1920 0 0 1944 0 48 0 12288 3072 0 2412288 3072 0 3072 512 48 3072 2304 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝐷9 0 0 0 0 0 0 1944 0 48 1920 0 0 0 2412288 3072 0 12288 3072 48 3072 2304 0 3072 512 1920 0 0 1944 0 48 0 12288 3072 0 2412288 3072 0 3072 512 48 3072 2304 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝐷9 0 75 625 16875 75 7375 103 Resolvendo o sistema 6x6 excel HP 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝐷9 103 3183 01377 5468 3157 01377 5399 01377 04163 00688 01377 03672 103 00688 5468 00688 5516 5399 00688 00827 3157 01377 5399 3183 01377 5468 01377 03672 103 00688 01377 04163 00688 5399 00688 00827 5468 00688 5516 0 75 625 16875 75 7375 103 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝐷9 0476 103 𝑚 00297 103 𝑚 0442 103 𝑟𝑎𝑑 0471 103 𝑚 00328 103 𝑚 0319 103 𝑟𝑎𝑑 Retornar ao sistema e subsituir os valores dos deslocamentos 0 0 0 0 75 625 16875 75 7375 3125 0 375 24 0 48 24 0 48 0 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2400 0 0 0 0 0 0 0 48 0 128 48 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 48 1944 0 48 1920 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2412288 3072 0 12288 3072 0 0 0 48 0 64 48 3072 2304 0 3072 512 0 0 0 0 0 0 1920 0 0 1944 0 48 24 0 48 0 0 0 0 12288 3072 0 2412288 3072 0 2400 0 0 0 0 0 3072 512 48 3072 2304 48 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 48 24 0 48 0 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2400 0 0 0 0 0 0 0 48 0 64 48 0 128 0 0 0 0476 00297 0442 0471 00328 0319 0 0 0 𝑅1 𝑅2 𝑅3 0 0 0 0 0 0 𝑅10 𝑅11 𝑅12 Multiplicando linha a linha 0 240476 48 0442 𝑅1 𝑅1 979 𝑘𝑁 0 2400 00297 𝑅2 𝑅2 7128 𝑘𝑁 0 480476 64 0442 𝑅3 𝑅3 544 𝑘𝑁𝑚 3125 240471 480319 𝑅10 𝑅10 2979 𝑘𝑁 0 2400 00328 𝑅11 𝑅11 7872 𝑘𝑁 375 480471 640319 𝑅12 𝑅12 4677 𝑘𝑁𝑚 Estrutura com as reações DEN DEC DMF 544 979 7128 4677 2979 7872 30 kNm 20 kN S1 S2 S3 S4 N M V 710 7872 979
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UNISUL ENG CIVIL ANÁLISE DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS encontro 31102022 Prof Fábio Fiates Calcular as reações do pórtico Considerar rigidez 𝐸𝐴 9600 103 𝑘𝑁 e 𝐸𝐼 128 103 𝑘𝑁𝑚2 Numeração dos nós elementos e deslocamentos nodais da estrutura vetor deslocamentos 𝐷 𝐷𝟏 𝐷𝟐 𝐷𝟑 𝐷4 𝐷𝟓 𝐷6 𝐷𝟕 𝐷𝟖 𝐷𝟗 𝐷𝟏𝟎 𝐷1𝟏 𝐷𝟏𝟐 Ações nodais da estrutura vetor ações nodais 𝐴 𝑅1 𝑅2 𝑅3 0 0 0 0 0 0 𝑅10 𝑅11 𝑅12 regra de correspondência A matriz de rigidez do elemento 1 terá valores nas posições 𝐾11 a 𝐾66 A do elemento 2 de 𝐾44 a 𝐾99 A do elemento 3 de 𝐾77 a 𝐾1212e a matriz de rigidez do pórtico será 12x12 Elemento J K e1 1 2 e2 2 3 e3 3 4 uG 3J 2 1 4 7 1 3J 1 2 5 8 2 3J 3 6 9 3 3K 2 4 7 10 4 3K 1 5 8 11 5 3K 6 9 12 6 A matriz de rigidez do elemento de pórtico no sistema local é 𝐾𝐿 𝐸𝐴 𝐿 0 0 𝐸𝐴 𝐿 0 0 0 12𝐸𝐼 𝐿3 6𝐸𝐼 𝐿2 0 12𝐸𝐼 𝐿3 6𝐸𝐼 𝐿2 0 6𝐸𝐼 𝐿2 4𝐸𝐼 𝐿 0 6𝐸𝐼 𝐿2 2𝐸𝐼 𝐿 𝐸𝐴 𝐿 0 0 𝐸𝐴 𝐿 0 0 0 12𝐸𝐼 𝐿3 6𝐸𝐼 𝐿2 0 12𝐸𝐼 𝐿3 6𝐸𝐼 𝐿2 0 6𝐸𝐼 𝐿2 2𝐸𝐼 𝐿 0 6𝐸𝐼 𝐿2 4𝐸𝐼 𝐿 O elemento 1 tem 𝐸𝐴 9600 103 𝐸𝐼 128 103 𝐿 4 𝐸𝐴 𝐿 9600 4 2400 12𝐸𝐼 𝐿3 12128 43 24 6𝐸𝐼 𝐿2 6128 42 48 4𝐸𝐼 𝐿 4128 4 128 2𝐸𝐼 𝐿 2128 4 64 𝐾1𝐿 103 2400 0 0 2400 0 0 0 24 48 0 24 48 0 48 128 0 48 64 2400 0 0 2400 0 0 0 24 48 0 24 48 0 48 64 0 48 128 matriz de rigidez no sistema de coordenadas global 𝐾1𝐺 𝑅1 𝑇 𝐾1𝐿 𝑅1 A matriz de rotação é 𝑅 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 0 0 0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 0 0 0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 0 0 0 0 0 0 1 O elemento tem ângulo de 90⁰ A matriz de rotação e a transposta são 𝑅1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 𝑅1 𝑇 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 𝐾1𝐺 𝑅1 𝑇 𝐾1𝐿 𝑅1 𝐾1𝐺 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 103 2400 0 0 2400 0 0 0 24 48 0 24 48 0 48 128 0 48 64 2400 0 0 2400 0 0 0 24 48 0 24 48 0 48 64 0 48 128 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 𝐾1𝐺 103 24 0 48 24 0 48 0 2400 0 0 2400 0 48 0 128 48 0 64 24 0 48 24 0 48 0 2400 0 0 2400 0 48 0 64 48 0 128 1 2 3 4 5 6 O elemento 2 tem 𝐸𝐴 9600 103 𝐸𝐼 128 103 𝐿 5 Elemento na horizontal 𝐾2𝐺 𝐾2𝐿 não há necessidade da matriz de rotação 𝐸𝐴 𝐿 9600 5 1920 12𝐸𝐼 𝐿3 12128 53 12288 6𝐸𝐼 𝐿2 6128 52 3072 4𝐸𝐼 𝐿 4128 5 1024 2𝐸𝐼 𝐿 2128 5 512 4 5 6 7 8 9 𝐾2𝐺 103 1920 0 0 1920 0 0 0 12288 3072 0 12288 3072 0 3072 1024 0 3072 512 1920 0 0 1920 0 0 0 12288 3072 0 12288 3072 0 3072 512 0 3072 1024 4 5 6 7 8 9 O elemento 3 tem 𝐸𝐴 9600 103 𝐸𝐼 128 103 𝐿 4 𝐸𝐴 𝐿 9600 4 2400 12𝐸𝐼 𝐿3 12128 43 24 6𝐸𝐼 𝐿2 6128 42 48 4𝐸𝐼 𝐿 4128 4 128 2𝐸𝐼 𝐿 2128 4 64 𝐾3𝐿 103 2400 0 0 2400 0 0 0 24 48 0 24 48 0 48 128 0 48 64 2400 0 0 2400 0 0 0 24 48 0 24 48 0 48 64 0 48 128 matriz de rigidez no sistema de coordenadas global 𝐾3𝐺 𝑅3 𝑇 𝐾3𝐿 𝑅3 A matriz de rotação é 𝑅 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 0 0 0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 0 0 0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 0 0 0 0 0 0 1 O elemento tem ângulo de 90⁰ A matriz de rotação e a transposta são 𝑅3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 𝑅3 𝑇 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 𝐾3𝐺 𝑅3 𝑇 𝐾3𝐿 𝑅3 𝐾3𝐺 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 103 2400 0 0 2400 0 0 0 24 48 0 24 48 0 48 128 0 48 64 2400 0 0 2400 0 0 0 24 48 0 24 48 0 48 64 0 48 128 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 7 8 9 10 11 12 𝐾3𝐺 103 24 0 48 24 0 48 0 2400 0 0 2400 0 48 0 128 48 0 64 24 0 48 24 0 48 0 2400 0 0 2400 0 48 0 64 48 0 128 7 8 9 10 11 12 Matriz de rigidez global elemento 1 𝐾1𝐺 𝑅1 𝑇 𝐾1𝐿 𝑅1 1 2 3 4 5 6 𝐾1𝐺 103 24 0 48 24 0 48 0 2400 0 0 2400 0 48 0 128 48 0 64 24 0 48 24 0 48 0 2400 0 0 2400 0 48 0 64 48 0 128 1 2 3 4 5 6 Matriz de rigidez global elemento 2 𝐾2𝐺 𝐾2𝐿 4 5 6 7 8 9 𝐾2𝐺 103 1920 0 0 1920 0 0 0 12288 3072 0 12288 3072 0 3072 1024 0 3072 512 1920 0 0 1920 0 0 0 12288 3072 0 12288 3072 0 3072 512 0 3072 1024 4 5 6 7 8 9 Matriz de rigidez global elemento 3 𝐾3𝐺 𝑅3 𝑇 𝐾3𝐿 𝑅3 7 8 9 10 11 12 𝐾3𝐺 103 24 0 48 24 0 48 0 2400 0 0 2400 0 48 0 128 48 0 64 24 0 48 24 0 48 0 2400 0 0 2400 0 48 0 64 48 0 128 7 8 9 10 11 12 Matriz de rigidez global 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 𝐾𝐺 103 24 0 48 24 0 48 0 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2400 0 0 0 0 0 0 0 48 0 128 48 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 48 24 1920 0 0 48 0 1920 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 0 2400 12288 0 3072 0 12288 3072 0 0 0 48 0 64 48 0 0 3072 128 1024 0 3072 512 0 0 0 0 0 0 1920 0 0 1920 24 0 0 0 48 24 0 48 0 0 0 0 12288 3072 0 0 12288 2400 3072 0 0 2400 0 0 0 0 0 3072 512 0 48 3072 0 1024 128 48 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 48 24 0 48 0 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2400 0 0 0 0 0 0 0 48 0 64 48 0 128 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 𝐾𝐺 103 24 0 48 24 0 48 0 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2400 0 0 0 0 0 0 0 48 0 128 48 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 48 1944 0 48 1920 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2412288 3072 0 12288 3072 0 0 0 48 0 64 48 3072 2304 0 3072 512 0 0 0 0 0 0 1920 0 0 1944 0 48 24 0 48 0 0 0 0 12288 3072 0 2412288 3072 0 2400 0 0 0 0 0 3072 512 48 3072 2304 48 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 48 24 0 48 0 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2400 0 0 0 0 0 0 0 48 0 64 48 0 128 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Engastamento perfeito Elemento 1 não tem carregamento 𝐹𝑒𝑝1 0 𝐹𝑒𝑝1𝐺 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 Elemento 2 está na horizontal não necessita de matriz de rotação Elemento 3 está na vertical O cálculo do Ep é feito com o elemento na horizontal e depois é feita a rotação Engastamento perfeito Elemento 2 𝑀𝐵 3052 12 625 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶 3052 12 625 𝑘𝑁𝑚 σ 𝑀𝐵 0 625 625 15025 𝑅𝐶 5 0 𝑅𝐶 75 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐵 150 75 0 𝑅𝐵 75 𝑘𝑁 Engastamento perfeito Elemento 2 𝐹𝑒𝑝2𝐺 0 75 625 0 75 625 4 5 6 7 8 9 Engastamento perfeito Elemento 3 𝑀𝐶 20132 42 1125 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐷 20123 42 375 𝑘𝑁𝑚 σ 𝑀𝐶 0 1125 375 201 𝑅𝐷 4 0 𝑅𝐷 3125 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐶 20 3125 0 𝑅𝐶 16875 𝑘𝑁 O vetor de engastamento perfeito no sistema local fica 𝐹𝑒𝑝3𝐿 0 16875 1125 0 3125 375 no sistema global 𝐹𝑒𝑝3𝐺 𝑅3 𝑇 𝐹𝑒𝑝3𝐿 Matriz de rotação transposta do elemento 3 𝜃 90⁰ 𝑅3 𝑇 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 no sistema global 𝐹𝑒𝑝3𝐺 𝑅3 𝑇 𝐹𝑒𝑝3𝐿 𝐹𝑒𝑝3𝐺 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 16875 1125 0 3125 375 𝐹𝑒𝑝3𝐺 16875 0 1125 3125 0 375 7 8 9 10 11 12 O vetor de engastamento perfeito fica 𝐹𝑒𝑝1𝐺 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 𝐹𝑒𝑝2𝐺 0 75 625 0 75 625 4 5 6 7 8 9 𝐹𝑒𝑝3𝐺 16875 0 1125 3125 0 375 7 8 9 10 11 12 𝐹𝑒𝑝𝐺 0 0 0 0 0 0 75 0 625 0 16875 75 0 625 1125 3125 0 375 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 0 0 0 75 625 16875 75 7375 3125 0 375 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Equação do método 𝐹𝑒𝑝 𝐾 𝐷 𝐴 0 0 0 0 75 625 16875 75 7375 3125 0 375 103 24 0 48 24 0 48 0 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2400 0 0 0 0 0 0 0 48 0 128 48 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 48 1944 0 48 1920 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2412288 3072 0 12288 3072 0 0 0 48 0 64 48 3072 2304 0 3072 512 0 0 0 0 0 0 1920 0 0 1944 0 48 24 0 48 0 0 0 0 12288 3072 0 2412288 3072 0 2400 0 0 0 0 0 3072 512 48 3072 2304 48 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 48 24 0 48 0 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2400 0 0 0 0 0 0 0 48 0 64 48 0 128 𝐷𝟏 𝐷𝟐 𝐷𝟑 𝐷4 𝐷𝟓 𝐷6 𝐷𝟕 𝐷𝟖 𝐷𝟗 𝐷𝟏𝟎 𝐷1𝟏 𝐷𝟏𝟐 𝑅1 𝑅2 𝑅3 0 0 0 0 0 0 𝑅10 𝑅11 𝑅12 Estrutura restringida 𝐷1 0 𝐷2 0 𝐷3 0 𝐷10 0 𝐷11 0 𝐷12 0 Deslocamentos não nulos 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝐷9 Sistema a ser resolvido terá as linhas e colunas 4 5 6 7 8 e 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 0 0 0 75 625 16875 75 7375 3125 0 375 103 24 0 48 24 0 48 0 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2400 0 0 0 0 0 0 0 48 0 128 48 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 48 1944 0 48 1920 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2412288 3072 0 12288 3072 0 0 0 48 0 64 48 3072 2304 0 3072 512 0 0 0 0 0 0 1920 0 0 1944 0 48 24 0 48 0 0 0 0 12288 3072 0 2412288 3072 0 2400 0 0 0 0 0 3072 512 48 3072 2304 48 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 48 24 0 48 0 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2400 0 0 0 0 0 0 0 48 0 64 48 0 128 𝟎 𝟎 𝟎 𝐷4 𝐷𝟓 𝐷6 𝐷𝟕 𝐷𝟖 𝐷𝟗 𝟎 𝟎 𝟎 𝑅1 𝑅2 𝑅3 0 0 0 0 0 0 𝑅10 𝑅11 𝑅12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 75 625 16875 75 7375 103 1944 0 48 1920 0 0 0 2412288 3072 0 12288 3072 48 3072 2304 0 3072 512 1920 0 0 1944 0 48 0 12288 3072 0 2412288 3072 0 3072 512 48 3072 2304 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝐷9 0 0 0 0 0 0 1944 0 48 1920 0 0 0 2412288 3072 0 12288 3072 48 3072 2304 0 3072 512 1920 0 0 1944 0 48 0 12288 3072 0 2412288 3072 0 3072 512 48 3072 2304 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝐷9 0 75 625 16875 75 7375 103 Resolvendo o sistema 6x6 excel HP 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝐷9 103 3183 01377 5468 3157 01377 5399 01377 04163 00688 01377 03672 103 00688 5468 00688 5516 5399 00688 00827 3157 01377 5399 3183 01377 5468 01377 03672 103 00688 01377 04163 00688 5399 00688 00827 5468 00688 5516 0 75 625 16875 75 7375 103 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝐷9 0476 103 𝑚 00297 103 𝑚 0442 103 𝑟𝑎𝑑 0471 103 𝑚 00328 103 𝑚 0319 103 𝑟𝑎𝑑 Retornar ao sistema e subsituir os valores dos deslocamentos 0 0 0 0 75 625 16875 75 7375 3125 0 375 24 0 48 24 0 48 0 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2400 0 0 0 0 0 0 0 48 0 128 48 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 48 1944 0 48 1920 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2412288 3072 0 12288 3072 0 0 0 48 0 64 48 3072 2304 0 3072 512 0 0 0 0 0 0 1920 0 0 1944 0 48 24 0 48 0 0 0 0 12288 3072 0 2412288 3072 0 2400 0 0 0 0 0 3072 512 48 3072 2304 48 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 48 24 0 48 0 0 0 0 0 0 0 2400 0 0 2400 0 0 0 0 0 0 0 48 0 64 48 0 128 0 0 0 0476 00297 0442 0471 00328 0319 0 0 0 𝑅1 𝑅2 𝑅3 0 0 0 0 0 0 𝑅10 𝑅11 𝑅12 Multiplicando linha a linha 0 240476 48 0442 𝑅1 𝑅1 979 𝑘𝑁 0 2400 00297 𝑅2 𝑅2 7128 𝑘𝑁 0 480476 64 0442 𝑅3 𝑅3 544 𝑘𝑁𝑚 3125 240471 480319 𝑅10 𝑅10 2979 𝑘𝑁 0 2400 00328 𝑅11 𝑅11 7872 𝑘𝑁 375 480471 640319 𝑅12 𝑅12 4677 𝑘𝑁𝑚 Estrutura com as reações DEN DEC DMF 544 979 7128 4677 2979 7872 30 kNm 20 kN S1 S2 S3 S4 N M V 710 7872 979