Analise de Estruturas Hiperestaticas - Metodo de Cross

UNISUL ENG CIVIL ANÁLISE DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS encontro 21112022 Prof Fábio Fiates Exemplo Usando o processo de Cross calcular as reações nos 6 apoios da viga Rigidez 𝐸𝐼 15 103 𝑘𝑁𝑚2 Tolerância de 001 duas casas decimais 6 NÓS 5 ELEMENTOS TODOS OS ELEMENTOS BIENGASTADOS Momento de engastamento perfeito Elemento 1 𝑀𝐴 632 12 45 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵1 632 12 45 𝑘𝑁𝑚 Momento de engastamento perfeito Elemento 2 𝑀𝐵2 1232 12 90 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶1 1232 12 90 𝑘𝑁𝑚 Momento de engastamento perfeito Elemento 3 𝑀𝐶2 184 8 90 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐷1 184 8 90 𝑘𝑁𝑚 Momento de engastamento perfeito Elemento 4 𝑀𝐷2 552 12 1042 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐸1 552 12 1042 𝑘𝑁𝑚 Momento de engastamento perfeito Elemento 5 𝑀𝐸2 30132 42 16875 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐹 30123 42 5625 𝑘𝑁𝑚 Momento de engastamento perfeito 𝑀𝐴 45 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵1 45 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵2 90 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶1 90 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶2 90 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐷1 90 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐷2 1042 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐸1 1042 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐸2 16875 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐹 5625 𝑘𝑁𝑚 O nó B tem desequilíbrio 𝑀𝐵 45 90 45 𝑘𝑁𝑚 O nó C tem desequilíbrio 𝑀𝐶 90 90 0 O nó D tem desequilíbrio 𝑀𝐷 90 1042 142 𝑘𝑁𝑚 O nó E tem desequilíbrio 𝑀𝐸 1042 16875 646 𝑘𝑁𝑚 Rigidez das barras Todos os elementos são biengastados 𝑘1 4𝐸𝐼 𝐿 415103 3 200 103 𝑘𝑁𝑚 𝑘2 4𝐸𝐼 𝐿 415103 3 200103 𝑘𝑁𝑚 𝑘3 4𝐸𝐼 𝐿 415103 4 150 103 𝑘𝑁𝑚 𝑘4 4𝐸𝐼 𝐿 415103 5 120 103 𝑘𝑁𝑚 𝑘5 4𝐸𝐼 𝐿 415103 4 150 103 𝑘𝑁𝑚 Coeficiente de distribuição β Nó B barras 1 e 2 𝛽1 𝑘1 𝑘1𝑘2 20 2020 05 𝛽2 𝑘2 𝑘1𝑘2 20 2020 05 Nó C barras 2 e 3 𝛽2 𝑘2 𝑘2𝑘3 20 2015 057 𝛽3 𝑘3 𝑘2𝑘3 15 2015 043 Nó D barras 3 e 4 𝛽3 𝑘3 𝑘3𝑘4 15 1512 056 𝛽4 𝑘4 𝑘3𝑘4 12 1512 044 Nó E barras 4 e 5 𝛽4 𝑘4 𝑘4𝑘5 12 1215 044 𝛽5 𝑘5 𝑘4𝑘5 15 1215 056 Coeficiente de transmissão t Todas as barras são biengastadas Nó B barras 1 e 2 𝑡𝐵𝐴 05 𝑡𝐵𝐶 05 Nó C barras 2 e 3 𝑡𝐶𝐵 05 𝑡𝐶𝐷 05 Nó D barras 3 e 4 𝑡𝐷𝐶 05 𝑡𝐷𝐸 05 Nó E barras 4 e 5 𝑡𝐸𝐷 05 𝑡𝐸𝐹 05 Iniciar o processo pelo nó com maior desequilíbrio no caso o nó E Multiplicar 𝑀𝐸 646 por 𝛽4 044 e 𝛽5 056 e escrever os resultados 284 e 362 abaixo dos momentos de engastamento perfeito do nó E Passar um traço sob estes valores indicando que já foram equilibrados Transmitir estes momentos equilibrados segundo os coeficentes de transmissão t Para o nó D será transmitido 28405 142 e para o nó F será transmitido 36205 181 O nó D tinha um desequilíbrio 𝑀𝐷 142 e recebeu 142 do nó E Seu desequilíbrio passa a ser 00 zero Multiplicar este valor por 𝛽3 056 e 𝛽4 044 e escrever os resultados 00 e 00 abaixo dos momentos de engastamento perfeito do nó D Passar um traço sob estes valores indicando que já foram equilibrados Continuar o processo de transmitir e equilibrar os momentos até a tolerância de 001 seja atingida Após isso somar todos os momentos de cada coluna Para cada nó central temos duas colunas uma a esquerda e outra a direita do apoio A soma final das duas colunas deve ser a mesma uma negativa e outra positiva Como o processo de Cross é iterativo aproximado estes valores nem sempre serão exatamente iguais mas devem estar dentro da margem da tolerância 050 050 057 043 056 044 044 056 A B C D E F 450 450 900 900 900 900 1042 1042 1688 563 142 284 362 181 000 000 000 000 000 000 000 000 112 225 225 112 032 064 048 024 007 014 011 005 001 002 003 001 000 001 001 000 002 004 003 002 009 017 017 009 002 005 004 002 001 002 001 000 000 001 000 000 001 001 000 329 693 693 948 948 888 888 1329 1329 742 ITERAÇÕES nó lado esquerdo lado direito E 044 x 646 284 056 x 646 362 D 056 x 000 000 044 x 000 000 C 057 x 000 000 043 x 000 000 B 050 x 450 225 050 x 450 225 C 057 x 112 064 043 x 112 048 D 056 x 024 014 044 x 024 011 E 044 x 005 002 056 x 005 003 D 056 x 001 001 044 x 001 001 C 057 x 007 004 043 x 007 003 B 050 x 034 017 050 x 034 017 C 057 x 009 005 043 x 009 004 D 056 x 004 002 044 x 004 001 C 057 x 001 001 043 x 001 000 B 050 x 002 001 050 x 002 001 450 000 142 646 050 050 057 043 056 044 044 056 A B C D E F 450 450 900 900 900 900 1042 1042 1688 563 142 284 362 181 000 000 000 000 000 000 000 000 112 225 225 112 032 064 048 024 007 014 011 005 001 002 003 001 000 001 001 000 002 004 003 002 009 017 017 009 002 005 004 002 001 002 001 000 000 001 000 000 001 001 000 329 693 693 948 948 888 888 1329 1329 742 ITERAÇÕES nó lado esquerdo lado direito E 044 x 646 284 056 x 646 362 D 056 x 000 000 044 x 000 000 C 057 x 000 000 043 x 000 000 B 050 x 450 225 050 x 450 225 C 057 x 112 064 043 x 112 048 D 056 x 024 014 044 x 024 011 E 044 x 005 002 056 x 005 003 D 056 x 001 001 044 x 001 001 C 057 x 007 004 043 x 007 003 B 050 x 034 017 050 x 034 017 C 057 x 009 005 043 x 009 004 D 056 x 004 002 044 x 004 001 C 057 x 001 001 043 x 001 000 B 050 x 002 001 050 x 002 001 450 000 142 646 Os momentos equilibrados são 𝑀𝐴 329 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵 693 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶 948 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐷 888 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐸 1329 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐹 742 𝑘𝑁𝑚 REAÇÕES Vão AB σ 𝑀𝐴 0 329 693 6315 𝑅𝐵 3 0 𝑅𝐵 1021 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐴 18 1021 0 𝑅𝐴 779 𝑘𝑁 Vão BC σ 𝑀𝐵 0 693 948 12315 𝑅𝐶 3 0 𝑅𝐶 1885 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐵 360 1885 0 𝑅𝐵 1715 𝑘𝑁 Vão CD σ 𝑀𝐶 0 948 888 182 𝑅𝐷 4 0 𝑅𝐷 885 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐶 18 885 0 𝑅𝐶 915 𝑘𝑁 Vão DE σ 𝑀𝐷 0 888 1329 5525 𝑅𝐸 5 0 𝑅𝐸 1338 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐷 25 1338 0 𝑅𝐷 1162 𝑘𝑁 Vão EF σ 𝑀𝐷 0 1329 742 301 𝑅𝐹 4 0 𝑅𝐹 603 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐸 30 603 0 𝑅𝐸 2397 𝑘𝑁 As reações ficam 𝑀𝐴 329 𝑘𝑁𝑚 𝑅𝐴 779 𝑘𝑁 𝑅𝐵 1021 1715 2736 𝑘𝑁 𝑅𝐶 1885 915 280 𝑘𝑁 𝑅𝐷 885 1162 2047 𝑘𝑁 𝑅𝐸 1338 2397 3735 𝑘𝑁 𝑀𝐹 742 𝑘𝑁𝑚 𝑅𝐹 603 𝑘𝑁 DEC VA 779 apoio VB VA 18 VB 1021 VB 1021 2736 1715 VB 1715 VC VB 36 VC 1885 VC 1885 280 915 VC 915 VG VC 0 VG 915 VG 915 180 885 VG 885 VD VG 0 VD 885 VD 885 2047 1162 VD 1162 VE VD 250 VE 1338 VE 1338 3735 2397 VE 2397 VH VE 0 VH 2397 VH 2397 300 603 VH 603 VF VH 0 VF 603 VF 603 603 0 VF 0 DEC A X1 B X2 C G D X3 E H F No DEC temos 10 áreas e o eixo x é cortado 3 vezes 18 3 779 𝑥1 𝑥1 129 𝑚 36 3 1715 𝑥2 𝑥2 143 𝑚 25 5 1162 𝑥3 𝑥3 232 𝑚 𝐴1 779129 2 𝐴1 503 𝐴2 1021171 2 𝐴2 867 𝐴3 1715143 2 𝐴3 1226 𝐴4 1885157 2 𝐴4 148 𝐴5 9152 𝐴5 183 𝐴6 8852 𝐴6 177 𝐴7 1162232 2 𝐴7 1348 𝐴8 1338268 2 𝐴8 1793 𝐴9 23971 𝐴9 2397 𝐴10 6033 𝐴10 1809 DMF MA 329 engaste Mx1 MA 503 Mx1 174 MB MX1 867 MB 693 MX2 MB 1226 MX2 533 MC MX2 148 MC 947 MG MC 183 MG 883 MD MG 177 MD 887 MX3 MD 1348 MX3 461 ME MX3 1793 ME 1332 MH ME 2397 MH 1065 MF MH 1809 MF 744 MF 744 742 002 MF 0 DMF A X1 B X1 C G D X3 E H F 329 693 947 887 1332 744