Analise de Estruturas Hiperestaticas - Calculo de Reacoes em Trelissa

UNISUL ENG CIVIL ANÁLISE DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS encontro 10102022 Prof Fábio Fiates Exemplo Calcular as reações da treliça sabendo que a rigidez EA da barra BC é 3103 kN das barras AB e CD é 4103 kN e das barras AC e BD é 5103 kN Modelo com 4 nós e 5 elementos totalizando 8 deslocamentos Numeração de nós elementos e deslocamentos Ações Nodais na treliça segue a numeração dos deslocamentos O vetor de deslocamentos nodais da estrutura é 𝐷 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 O vetor de ações nodais da estrutura é 𝐴 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅4 20 10 10 20 O vetor de engastamento perfeito é nulo para treliças 𝐹𝑒𝑝 0 A equação do método fica 𝐾 𝐷 𝐴 regra de correspondência Elemento 1 e elemento 4 L 4 m EA 4103 kN Elemento 3 e elemento 5 L 5 m EA 5103 kN Elemento 2 L 3 m EA 3103 kN 𝐾 𝑡𝑟𝑒𝑙𝑖ç𝑎 𝐸𝐴 𝐿 0 𝐸𝐴 𝐿 0 0 0 0 0 𝐸𝐴 𝐿 0 𝐸𝐴 𝐿 0 0 0 0 0 Elemento J K e1 1 2 e2 2 3 e3 1 3 e4 3 4 e5 2 4 uG 2J 1 1 3 1 5 3 1 2J 2 4 2 6 4 2 2K 1 3 5 5 7 7 3 2K 4 6 6 8 8 4 As matrizes de rigidez dos 5 elementos no sistema local são iguais 𝐾𝐿 103 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 Para os elementos 1 e 4 que são horizontais 𝐾𝐺 𝐾𝐿 1 2 3 4 5 6 7 8 𝐾1𝐺 103 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 2 3 4 𝐾4𝐺 103 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 5 6 7 8 Elemento 2 tem ângulo de 90 graus A matriz de rotação é 𝑅 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 0 0 0 0 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 𝑅2 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 matriz de rigidez no sistema de coordenadas global 𝐾2𝐺 𝑅2 𝑇 𝐾2𝐿 𝑅2 𝐾2𝐺 𝑅2 𝑇 𝐾2𝐿 𝑅2 𝐾2𝐺 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 𝐾2𝐺 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 3 4 5 6 𝐾2𝐺 103 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 3 4 5 6 Elementos 3 e 5 tem ângulo de 3687 A matriz de rotação é 𝑅 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 0 0 0 0 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 𝑅35 08 06 0 0 06 08 0 0 0 0 08 06 0 0 06 08 𝐾3𝐺 𝑅3 𝑇 𝐾3𝐿 𝑅3 𝐾3𝐺 𝑅3 𝑇 𝐾3𝐿 𝑅3 𝐾3𝐺 08 06 0 0 06 08 0 0 0 0 08 06 0 0 06 08 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 08 06 0 0 06 08 0 0 0 0 08 06 0 0 06 08 𝐾3𝐺 08 0 08 0 06 0 06 0 08 0 08 0 06 0 06 0 08 06 0 0 06 08 0 0 0 0 08 06 0 0 06 08 1 2 5 6 𝐾3𝐺 103 064 048 064 048 048 036 048 036 064 048 064 048 048 036 048 036 1 2 5 6 𝐾5𝐺 𝑅5 𝑇 𝐾5𝐿 𝑅5 𝐾5𝐺 08 06 0 0 06 08 0 0 0 0 08 06 0 0 06 08 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 08 06 0 0 06 08 0 0 0 0 08 06 0 0 06 08 3 4 7 8 𝐾5𝐺 103 064 048 064 048 048 036 048 036 064 048 064 048 048 036 048 036 3 4 7 8 Igual ao elemento 3 Matriz de rigidez global ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ 1 2 3 4 5 6 7 8 𝐾𝐺 103 1 064 0 048 1 0 064 048 0 0 0 048 0 036 0 0 048 036 0 0 1 0 1 0 064 0 0 048 0 0 064 048 0 0 0 0 048 0 1 036 0 1 048 036 064 048 0 0 0 064 1 0 048 0 1 0 048 036 0 1 0 048 0 1 036 0 0 0 0 0 064 048 1 0 1 064 0 048 0 0 048 036 0 0 0 048 0 036 1 2 3 4 5 6 7 8 Matriz de rigidez global 1 2 3 4 5 6 7 8 𝐾𝐺 103 164 048 1 0 064 048 0 0 048 036 0 0 048 036 0 0 1 0 164 048 0 0 064 048 0 0 048 136 0 1 048 036 064 048 0 0 164 048 1 0 048 036 0 1 048 136 0 0 0 0 064 048 1 0 164 048 0 0 048 036 0 0 048 036 1 2 3 4 5 6 7 8 Equação do método 𝐹𝑒𝑝 𝐾 𝐷 𝐴 0 0 0 0 0 0 0 0 103 164 048 1 0 064 048 0 0 048 036 0 0 048 036 0 0 1 0 164 048 0 0 064 048 0 0 048 136 0 1 048 036 064 048 0 0 164 048 1 0 048 036 0 1 048 136 0 0 0 0 064 048 1 0 164 048 0 0 048 036 0 0 048 036 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅4 20 10 10 20 Estrutura restringida 𝐷1 0 𝐷2 0 𝐷3 0 𝐷4 0 Deslocamentos não nulos 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 Sistema a ser resolvido terá as linhas e colunas 5 6 7 e 8 103 164 048 1 0 064 048 0 0 048 036 0 0 048 036 0 0 1 0 164 048 0 0 064 048 0 0 048 136 0 1 048 036 064 048 0 0 164 048 1 0 048 036 0 1 048 136 0 0 0 0 064 048 1 0 164 048 0 0 048 036 0 0 048 036 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅4 20 10 10 20 103 164 048 1 0 048 136 0 0 1 0 164 048 0 0 048 036 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 20 10 10 20 103 164 048 1 0 048 136 0 0 1 0 164 048 0 0 048 036 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 20 10 10 20 164 𝐷5 048 𝐷6 𝐷7 20 103 1 048 𝐷5 136 𝐷6 10 103 𝐷6 7353 103 035 𝐷5 2 𝐷5 164 𝐷7 048 𝐷8 10 103 3 048 𝐷7 036 𝐷8 20 103 𝐷8 55555 103 1333 𝐷7 4 4 3 𝐷5 164 𝐷7 048 55555 103 1333 𝐷7 10 103 𝐷5 𝐷7 36667 103 𝐷7 36667 103 𝐷5 5 2 𝑒 5 1 164 𝐷5 048 7353 103 035 𝐷5 36667 103 𝐷5 20 103 164 𝐷5 3529 103 0168 𝐷5 36667 103 𝐷5 20 103 0471 𝐷5 60196 103 𝑫𝟓 𝟏𝟐𝟕 𝟖𝟏 𝟏𝟎𝟑 𝒎 𝑫𝟔 7353 103 03512781 103 𝟓𝟐 𝟒𝟕 𝟏𝟎𝟑 𝒎 𝑫𝟕 36667 103 12781 103 𝟏𝟔𝟒 𝟒𝟖 𝟏𝟎𝟑 𝒎 𝑫𝟖 55555 103 133316448 103 𝟐𝟕𝟒 𝟖 𝟏𝟎𝟑 𝒎 Retornar ao sistema e subsituir os valores dos deslocamentos 103 164 048 1 0 064 048 0 0 048 036 0 0 048 036 0 0 1 0 164 048 0 0 064 048 0 0 048 136 0 1 048 036 064 048 0 0 164 048 1 0 048 036 0 1 048 136 0 0 0 0 064 048 1 0 164 048 0 0 048 036 0 0 048 036 103 0 0 0 0 12781 5247 16448 2748 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅4 20 10 10 20 Multiplicando linha a linha 06412781 048 5247 𝑅1 𝑅1 5661 𝑘𝑁 04812781 036 5247 𝑅2 𝑅2 4246 𝑘𝑁 06416448 048 2748 𝑅3 𝑅3 2664 𝑘𝑁 1 5247 04816448 036 2748 𝑅4 𝑅4 7245 𝑘𝑁 16412781 048 5247 116448 20 1994 20 Exemplo montar a matriz de rigidez global do pórtico Considerar rigidez 𝐸𝐴 2400 103 𝑘𝑁 𝑒 𝐸𝐼 32 103 𝑘𝑁𝑚2 Modelo com 3 nós e 2 elementos Elemento de pórtico plano tem 3 GL por nó totalizando 9 deslocamentos Numeração dos nós e dos elementos Deslocamentos nodais da estrutura J2 e2 K3 K2 e1 J1 engaste D4D5D6 0 3 Gls por nó matrij 9x9 D1 D2 D3 D7 D8 D9 0 regra de correspondência A matriz de rigidez do elemento 1 terá valores nas posições 𝐾11 a 𝐾66 A do elemento 2 de 𝐾44 a 𝐾99 e a matriz de rigidez do pórtico será 9x9 Elemento J K e1 1 2 e2 2 3 uG 3J 2 1 4 1 3J 1 2 5 2 3J 3 6 3 3K 2 4 7 4 3K 1 5 8 5 3K 6 9 6 A matriz de rigidez do elemento de pórtico no sistema local é 𝐾𝐿 𝐸𝐴 𝐿 0 0 𝐸𝐴 𝐿 0 0 0 12𝐸𝐼 𝐿3 6𝐸𝐼 𝐿2 0 12𝐸𝐼 𝐿3 6𝐸𝐼 𝐿2 0 6𝐸𝐼 𝐿2 4𝐸𝐼 𝐿 0 6𝐸𝐼 𝐿2 2𝐸𝐼 𝐿 𝐸𝐴 𝐿 0 0 𝐸𝐴 𝐿 0 0 0 12𝐸𝐼 𝐿3 6𝐸𝐼 𝐿2 0 12𝐸𝐼 𝐿3 6𝐸𝐼 𝐿2 0 6𝐸𝐼 𝐿2 2𝐸𝐼 𝐿 0 6𝐸𝐼 𝐿2 4𝐸𝐼 𝐿 O elemento 1 tem 𝐸𝐴 2400 103 𝐸𝐼 32 103 𝐿 4 𝐸𝐴 𝐿 2400 4 600 12𝐸𝐼 𝐿3 1232 43 6 6𝐸𝐼 𝐿2 632 42 12 4𝐸𝐼 𝐿 432 4 32 2𝐸𝐼 𝐿 232 4 16 𝐾1𝐿 103 600 0 0 600 0 0 0 6 12 0 6 12 0 12 32 0 12 16 600 0 0 600 0 0 0 6 12 0 6 12 0 12 16 0 12 32 matriz de rigidez no sistema de coordenadas global 𝐾1𝐺 𝑅1 𝑇 𝐾1𝐿 𝑅1 A matriz de rotação é 𝑅 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 0 0 0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 0 0 0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 0 0 0 0 0 0 1 O elemento tem ângulo de 90⁰ A matriz de rotação e a transposta são 𝑅1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 𝑅1 𝑇 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 𝐾1𝐺 𝑅1 𝑇 𝐾1𝐿 𝑅1 𝐾1𝐺 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 103 600 0 0 600 0 0 0 6 12 0 6 12 0 12 32 0 12 16 600 0 0 600 0 0 0 6 12 0 6 12 0 12 16 0 12 32 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 𝐾1𝐺 103 0 6 12 0 6 12 600 0 0 600 0 0 0 12 32 0 12 16 0 6 12 0 6 12 600 0 0 600 0 0 0 12 16 0 12 32 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 𝐾1𝐺 103 6 0 12 6 0 12 0 600 0 0 600 0 12 0 32 12 0 16 6 0 12 6 0 12 0 600 0 0 600 0 12 0 16 12 0 32 1 2 3 4 5 6 O elemento 2 tem 𝐸𝐴 2400 103 𝐸𝐼 32 103 𝐿 5 Elemento na horizontal 𝐾2𝐺 𝐾2𝐿 não há necessidade da matriz de rotação 𝐸𝐴 𝐿 2400 5 480 12𝐸𝐼 𝐿3 1232 53 3072 6𝐸𝐼 𝐿2 632 52 768 4𝐸𝐼 𝐿 432 5 256 2𝐸𝐼 𝐿 232 5 128 4 5 6 7 8 9 𝐾2𝐺 103 480 0 0 480 0 0 0 3072 768 0 3072 768 0 768 256 0 768 128 480 0 0 480 0 0 0 3072 768 0 3072 768 0 768 128 0 768 256 4 5 6 7 8 9 Matriz de rigidez global 1 2 3 4 5 6 7 8 9 𝐾𝐺 103 6 0 12 6 0 12 0 0 0 0 600 0 0 600 0 0 0 0 12 0 32 12 0 16 0 0 0 6 0 12 6 480 0 0 12 0 480 0 0 0 600 0 0 0 600 3072 0 768 0 3072 768 12 0 16 12 0 0 768 32 256 0 768 128 0 0 0 480 0 0 480 0 0 0 0 0 0 3072 768 0 3072 768 0 0 0 0 768 128 0 768 256 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 𝐾𝐺 103 6 0 12 6 0 12 0 0 0 0 600 0 0 600 0 0 0 0 12 0 32 12 0 16 0 0 0 6 0 12 486 0 12 480 0 0 0 600 0 0 603072 768 0 3072 768 12 0 16 12 768 576 0 768 128 0 0 0 480 0 0 480 0 0 0 0 0 0 3072 768 0 3072 768 0 0 0 0 768 128 0 768 256 1 2 3 4 5 6 7 8 9