Analise de Estruturas Hiperestaticas - Metodo de Cross para Equilibrio de Nos

UNISUL ENG CIVIL ANÁLISE DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS encontro 07112022 Prof Fábio Fiates Processo de Cross Baseado no método dos Deslocamentos o processo consiste em se obter os esforços nas barras por equilíbrio de nó distribuindo o momento total no nó o aplicado mais os de engastamento perfeito para as barras adjacentes de acordo com a rigidez das mesmas Para o caso de mais de um nó a se equilibrar será aplicado um processo iterativo até se atingir a convergência ou seja quando o momento a ser equilibrado é menor do que uma certa tolerância por exemplo 001 portanto é um processo aproximado Processo de Cross Para cada nó da estrutura distribuise o momento de engastamento perfeito desequilibrado entre as barras conectadas no nó proporcionalmente à rigidez de cada barra Multiplicase o momento pelo coeficiente de distribuição e transmitese o momento para a outra extremidade da barra de acordo com o seu coeficiente de transmissão Repetese o processo até que seja atingida a tolerância Somase os momentos dos nós Processo de Cross Procedimento 1 Fixar os nós e calcular os momentos de engastamento perfeito 2 Calcular a rigidez das barras 3 Calcular o coeficiente de distribuição β 4 Calcular o coeficiente de transmissão t 5 Distribuir e transmitir o momento total do nó até obter o equilíbrio 6 Calcular as reações 7 Determinar os diagramas Procedimento 1 Fixar os nós e calcular os momentos de engastamento perfeito É usada a tabela de engastamento perfeito Notar que para o processo de Cross utilizamse todas colunas da tabela Se o nó do lado esquerdo for apoiado usase a primeira coluna Se o nó do lado direito for apoiado usase a quarta coluna Se os 2 nós forem engastados usamse as colunas dois e três MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO CARREGAMENTO MBA MCD MDC MEF 1 pℓ28 pℓ212 pℓ212 pℓ28 2 pc16 3ℓ2 c2 pc24 3ℓ2 c2 pc24 3ℓ2 c2 pc16 3ℓ2 c2 3 pc28ℓ2 2ℓ2 c2 pc212ℓ2 6b2 4bc c2 pc212ℓ2 4bc c2 pc28ℓ2 ℓ b2 4 7128 pℓ2 11192 pℓ2 5192 pℓ2 9128 pℓ2 5 pc28ℓ2 ℓ a2 pc212ℓ2 4ac c2 pc212ℓ2 6a2 4ac c2 pc28ℓ2 2ℓ2 c2 6 9128 pℓ2 5192 pℓ2 11192 pℓ2 7128 pℓ2 7 pa24ℓ 3ℓ 2a pa26ℓ 3ℓ 2a pa26ℓ 3ℓ 2a pa24ℓ 3ℓ 2a 8 pa24ℓ 3ℓ 2a pa22ℓ2 ℓ a2 pa22ℓ2 ℓ a2 pa24ℓ 3ℓ 2a 9 Pab2ℓ2 ℓ a Pab2ℓ2 Pa2bℓ2 Pab2ℓ2 ℓ b 10 3Pℓ16 Pℓ8 Pℓ8 3Pℓ16 11 3Pa2ℓ ℓ a Paℓ ℓ a Paℓ ℓ a 3Pa2ℓ ℓ a 12 Pℓ3 2Pℓ9 2Pℓ9 Pℓ3 13 15Pℓ32 5Pℓ16 5Pℓ16 15Pℓ32 14 Pℓ8n n2 1 Pℓ12n n2 1 Pℓ12n n2 1 Pℓ8n n2 1 15 M2ℓ2 ℓ2 3a2 Mbℓ2 3b 2ℓ Maℓ2 2ℓ 3a M2ℓ2 3b2 ℓ2 16 Pℓ16n 2n2 1 Pℓ24n 2n2 1 Pℓ24n 2n2 1 Pℓ16n 2n2 1 Extraída de SOUZA ANTUNES 1983 JIMENES MONTOYA GARCIA MESEGUER MORAN CABRE 1973 e de SCHREYER 1965 Convenção de GRINTER Revista e adaptada por Libânio M Pinheiro Bruna Catoia e Thiago Catoia n ℓ a Procedimento 2 Calcular a rigidez das barras Só existem duas possibilidades de rigidez para as barras BARRA BIENGASTADA rigidez 𝑘 4𝐸𝐼 𝐿 BARRA ENGASTADAAPOIADA rigidez 𝑘 3𝐸𝐼 𝐿 Procedimento 3 Calcular o coeficiente de distribuição β Considerar o pórtico indeformável o único grau de liberdade é a rotação 𝜑 do nó A O momento externo M faz as barras se deformarem Os momentos são proporcionais à rigidez de cada barra No nó A os momentos atuam no sentido inverso convenção de Grinter No cálculo de equilíbrio dos nós será considerado positivo o momento que atua no nó no sentido horário mantendo a convenção de esforço positivo na extremidade da barra no sentido antihorário σ 𝑀𝐴 0 𝑘1 𝜑 𝑘2 𝜑 𝑘3 𝜑 𝑀 0 𝜑 𝑘1 𝑘2 𝑘3 𝑀 𝜑 𝑀 𝑘1𝑘2𝑘3 𝑀 σ 𝑘𝑖 Os momentos de cada barra ficam 𝑀1 𝑘1 𝜑 𝑘1 𝑀 σ 𝑘𝑖 𝑀2 𝑘2 𝜑 𝑘2 𝑀 σ 𝑘𝑖 𝑀3 𝑘3 𝜑 𝑘3 𝑀 σ 𝑘𝑖 O momento externo M é distribuído para as barras na proporção da rigidez de cada barra do nó Chamase coeficiente de distribuição 𝛽𝑖 da barra 𝑖 a razão 𝛽𝑖 𝑘𝑖 σ 𝑘𝑖 Procedimento 4 Calcular o coeficiente de transmissão t O coeficiente de transmissão t pode ter dois valores 05 se na outra extremidade existir engaste ou 0 se na outra extremidade existir apoio t 05 t 0 Procedimento 5 Distribuir e transmitir o momento total do nó até obter o equilíbrio É o processo de Cross propriamente dito Calculase o momento desequilibrado ΔM de cada nó e tantas iterações de distribuição e transmissão de momento até atingir a tolerância especificada 6 Calcular as reações Com os momentos dos nós equilibrados usamse as equações de equilíbrio para calcular as reações 7 Determinar os diagramas Exemplo Usando o processo de Cross calcular as reações e determinar DEC e DMF Rigidez 𝐸𝐼 1 103 𝑘𝑁𝑚2 Tolerância de 001 duas casas decimais Viga com quatro apoios 4 nós e 3 elementos Momento de engastamento perfeito Elemento 1 𝑀𝐴 0 𝑀𝐵1 1032 8 1125 𝑘𝑁𝑚 Momento de engastamento perfeito Elemento 2 nós intermediários são sempre engastados 𝑀𝐵2 1232 12 9 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶1 1232 12 9 𝑘𝑁𝑚 Momento de engastamento perfeito Elemento 3 𝑀𝐶2 842 8 16 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐷 0 Momento de engastamento perfeito O nó B tem desequilíbrio 𝑀𝐵 1125 9 225 𝑘𝑁𝑚 O nó C tem desequilíbrio 𝑀𝐶 9 16 7 𝑘𝑁𝑚 É recomendado iniciar o processo pelo nó com o maior desequilíbrio menor número de iterações Rigidez das barras Elementos 1 e 3 são engastadoapoiados e o elemento 2 é bi engastado 𝑘1 3𝐸𝐼 𝐿 31103 3 1 103 𝑘𝑁𝑚 𝑘2 4𝐸𝐼 𝐿 41103 3 1333103 𝑘𝑁𝑚 𝑘3 3𝐸𝐼 𝐿 31103 4 075 103 𝑘𝑁𝑚 Coeficiente de distribuição β Nó B barras 1 e 2 𝛽1 𝑘1 𝑘1𝑘2 1 11333 0429 𝛽2 𝑘2 𝑘1𝑘2 1333 11333 0571 Nó C barras 2 e 3 𝛽2 𝑘2 𝑘2𝑘3 1333 1333075 064 𝛽3 𝑘3 𝑘2𝑘3 075 1333075 036 A soma dos β é igual a 1 Coeficiente de transmissão t Nó B barras 1 e 2 𝑡𝐵𝐴 0 𝑡𝐵𝐶 05 Nó C barras 2 e 3 𝑡𝐶𝐵 05 𝑡𝐶𝐷 0 Nós de extremidade não transmistem momento Após calcular os momentos de engastamento perfeito rigidez coeficientes de distribuição e transmissão iniciase o processo iterativo Desenhar a viga com os apoios Acima dos apoios centrais desenhar uma caixa com duas separações e preencher com os coeficientes de distribuição de cada nó Abaixo da viga na primeira linha colocar os momentos de engastamento perfeito Iniciar o processo pelo nó com maior desequilíbrio no caso o nó C Multiplicar 𝑀𝐶 7 por 𝛽2 064 e 𝛽3 036 e escrever os resultados 448 e 252 abaixo dos momentos de engastamento perfeito do nó C Passar um traço sob estes valores indicando que já foram equilibrados Transmitir estes momentos equilibrados segundo os coeficentes de transmissão t Para o nó B será transmitido 44805 224 e para o nó D não será transmitido momento O nó B tinha um desequilíbrio 𝑀𝐵 225 e recebeu 224 do nó C Seu desequilíbrio passa a ser 449 Multiplicar este valor por 𝛽1 0429 e 𝛽2 0571 e escrever os resultados 192 e 257 abaixo dos momentos de engastamento perfeito do nó B Passar um traço sob estes valores indicando que já foram equilibrados Continuar o processo de transmitir e equilibrar os momentos até a tolerância de 001 seja atingida Após isso somar todos os momentos de cada coluna Para cada nó central temos duas colunas uma a esquerda e outra a direita do apoio A soma final das duas colunas deve ser a mesma uma negativa e outra positiva Como o processo de Cross é iterativo aproximado estes valores nem sempre serão exatamente iguais mas devem estar dentro da margem da tolerância Com os momentos conhecidos calculamse as reações DMB DMC 0429 0571 0640 0360 A B C D 000 1125 900 900 1600 000 224 448 252 000 000 192 257 128 041 082 046 000 000 018 023 012 004 008 004 000 000 002 002 001 000 001 000 000 000 913 913 1297 1297 000 ITERAÇÕES nó lado esquerdo lado direito C 0640 x 700 448 0360 x 700 252 B 0429 x 449 192 0571 x 449 257 C 0640 x 128 082 0360 x 128 046 B 0429 x 041 018 0571 x 041 023 C 0640 x 012 008 0360 x 012 004 B 0429 x 004 002 0571 x 004 002 C 0640 x 001 001 0360 x 001 000 225 700 Os momentos equilibrados são 𝑀𝐵 913 𝑘𝑁𝑚 e 𝑀𝐶 1297 𝑘𝑁𝑚 As reações são calculadas analisando cada vão separadamente Vão AB σ 𝑀𝐴 0 3015 913 𝑅𝐵 3 0 𝑅𝐵 1804 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐴 30 1804 0 𝑅𝐴 1196 𝑘𝑁 Vão BC σ 𝑀𝐵 0 913 1297 3615 𝑅𝐶 3 0 𝑅𝐶 1928 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐵 36 1928 0 𝑅𝐵 1672 𝑘𝑁 Vão CD σ 𝑀𝐶 0 1297 322 𝑅𝐷 4 0 𝑅𝐷 1276 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐶 32 1276 0 𝑅𝐶 1924 𝑘𝑁 As reações ficam 𝑅𝐴 1196 𝑘𝑁 𝑅𝐵 1804 1672 3476 𝑘𝑁 𝑅𝐶 1928 1924 3852 𝑘𝑁 𝑅𝐷 1276 𝑘𝑁 DEC VA 1196 apoio VB VA 30 VB 1804 VB 1804 3476 1672 VB 1672 VC VB 36 VC 1928 VC 1928 3852 1924 VC 1924 VD VC 32 VD 1276 VD 1276 1276 0 VD 0 DEC V 1196 0 A x1 1672 B x2 1924 C x3 10 X 1804 3 1928 6 1276 No DEC temos 6 áreas e o eixo x é cortado 3 vezes 30 3 1196 𝑥1 𝑥1 1196 𝑚 36 3 1672 𝑥2 𝑥2 1393 𝑚 32 4 1924 𝑥3 𝑥3 2405 𝑚 𝐴1 11961196 2 𝐴1 715 𝐴2 18041804 2 𝐴2 1628 𝐴3 16721393 2 𝐴3 1164 𝐴4 19281607 2 𝐴4 1549 𝐴5 19242405 2 𝐴5 2314 𝐴6 12761595 2 𝐴6 1018 DMF MA 0 apoio Mx1 MA 715 Mx1 715 MB MX1 1627 MB 913 MX2 MB 1164 MX2 252 MC MX2 1549 MC 1297 MX3 MC 2314 MX3 1017 MD MX3 1018 MD 001 0 DMF M 913 0 A x1 1196 B 715 3 4393 x2 252 C 1297 x3 8405 10 1017 X D Exemplo Usando o processo de Cross calcular as reações da viga Rigidez 𝐸𝐼 12 103 𝑘𝑁𝑚2 Tolerância de 0001 três casas decimais Viga com cinco apoios 5 nós e 4 elementos Momento de engastamento perfeito Elemento 1 𝑀𝐴 652 12 125 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵1 652 12 125 𝑘𝑁𝑚 Momento de engastamento perfeito Elemento 2 𝑀𝐵2 1832 12 135 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶1 1832 12 135 𝑘𝑁𝑚 Momento de engastamento perfeito Elemento 3 deve ser separado em dois casos Momento de engastamento perfeito Elemento 3 𝑀𝐶2 1842 12 240 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐷1 1842 12 240 𝑘𝑁𝑚 Momento de engastamento perfeito Elemento 3 𝑀𝐶2 304 8 150 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐷1 304 8 150 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶2 240 150 390 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐷1 240 150 390 𝑘𝑁𝑚 Momento de engastamento perfeito Elemento 4 𝑀𝐷2 562 8 225 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐸 0 Momento de engastamento perfeito 𝑀𝐴 125 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵1 125 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵2 135 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶1 135 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶2 240 150 390 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐷1 240 150 390 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐷2 225 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐸 0 O nó B tem desequilíbrio 𝑀𝐵 125 135 10 𝑘𝑁𝑚 O nó C tem desequilíbrio 𝑀𝐶 135 390 255 𝑘𝑁𝑚 O nó D tem desequilíbrio 𝑀𝐷 390 225 165 𝑘𝑁𝑚 Rigidez das barras Elementos 1 2 e 3 são biengastados e o elemento 4 é engastado apoiado 𝑘1 4𝐸𝐼 𝐿 412103 5 96 103 𝑘𝑁𝑚 𝑘2 4𝐸𝐼 𝐿 412103 3 160103 𝑘𝑁𝑚 𝑘3 4𝐸𝐼 𝐿 412103 4 120 103 𝑘𝑁𝑚 𝑘4 3𝐸𝐼 𝐿 312103 6 60 103 𝑘𝑁𝑚 Coeficiente de distribuição β Nó B barras 1 e 2 𝛽1 𝑘1 𝑘1𝑘2 96 96160 0375 𝛽2 𝑘2 𝑘1𝑘2 160 96160 0625 Nó C barras 2 e 3 𝛽2 𝑘2 𝑘2𝑘3 160 160120 0571 𝛽3 𝑘3 𝑘2𝑘3 120 160120 0429 Nó D barras 3 e 4 𝛽3 𝑘3 𝑘3𝑘4 120 12060 0667 𝛽4 𝑘4 𝑘3𝑘4 60 12060 0333 Coeficiente de transmissão t Nó B barras 1 e 2 𝑡𝐵𝐴 05 𝑡𝐵𝐶 05 Nó C barras 2 e 3 𝑡𝐶𝐵 05 𝑡𝐶𝐷 05 Nó D barras 3 e 4 𝑡𝐷𝐶 05 𝑡𝐷𝐸 0 Após calcular os momentos de engastamento perfeito rigidez coeficientes de distribuição e transmissão iniciase o processo iterativo Desenhar a viga com os apoios Acima dos apoios centrais desenhar uma caixa com duas separações e preencher com os coeficientes de distribuição de cada nó Abaixo da viga na primeira linha colocar os momentos de engastamento perfeito Iniciar o processo pelo nó com maior desequilíbrio no caso o nó C Multiplicar 𝑀𝐶 255 por 𝛽2 0571 e 𝛽3 0429 e escrever os resultados 14561 e 10940 abaixo dos momentos de engastamento perfeito do nó C Passar um traço sob estes valores indicando que já foram equilibrados Transmitir estes momentos equilibrados segundo os coeficentes de transmissão t Para o nó B será transmitido 1456105 7280 e para o nó D será transmitido 1094005 5470 O nó B tinha um desequilíbrio 𝑀𝐵 10 e recebeu 7280 do nó C Seu desequilíbrio passa a ser 6280 Multiplicar este valor por 𝛽1 0375 e 𝛽2 0625 e escrever os resultados 2355 e 3925 abaixo dos momentos de engastamento perfeito do nó B Passar um traço sob estes valores indicando que já foram equilibrados Continuar o processo de transmitir e equilibrar os momentos até a tolerância de 0001 seja atingida Após isso somar todos os momentos de cada coluna Para cada nó central temos duas colunas uma a esquerda e outra a direita do apoio A soma final das duas colunas deve ser a mesma uma negativa e outra positiva Como o processo de Cross é iterativo aproximado estes valores nem sempre serão exatamente iguais mas devem estar dentro da margem da tolerância Com os momentos conhecidos calculamse as reações DMB 1000 DMC 25500 DMD 16500 0375 0625 0571 0429 0667 0333 A B C D E 12500 12500 13500 13500 39000 39000 22500 0000 7280 14561 10940 5470 1178 2355 3925 1963 0560 1121 0842 0421 7467 14935 7456 0000 2132 4264 3203 1602 0505 1010 1683 0841 0240 0480 0361 0180 0594 1189 0593 0000 0170 0339 0255 0127 0077 0154 0256 0128 0037 0073 0055 0027 0052 0103 0052 0000 0015 0030 0022 0011 0010 0019 0032 0016 0005 0009 0007 0003 0005 0010 0005 0000 0001 0003 0002 0001 0001 0002 0004 0002 0000 0001 0001 0000 0000 0000 14270 8960 8960 31430 31430 30607 30606 0000 ITERAÇÕES nó lado esquerdo lado direito C 0571 x 25500 14561 0429 x 25500 10940 B 0375 x 6280 2355 0625 x 6280 3925 C 0571 x 1963 1121 0429 x 1963 0842 D 0667 x 22391 14935 0333 x 22391 7456 C 0571 x 7467 4264 0429 x 7467 3203 B 0375 x 2692 1010 0625 x 2692 1683 C 0571 x 0841 0480 0429 x 0841 0361 D 0667 x 1782 1189 0333 x 1782 0593 C 0571 x 0594 0339 0429 x 0594 0255 B 0375 x 0410 0154 0625 x 0410 0256 C 0571 x 0128 0073 0429 x 0128 0055 D 0667 x 0154 0103 0333 x 0154 0052 C 0571 x 0052 0030 0429 x 0052 0022 B 0375 x 0052 0019 0625 x 0052 0032 C 0571 x 0016 0009 0429 x 0016 0007 D 0667 x 0014 0010 0333 x 0014 0005 C 0571 x 0005 0003 0429 x 0005 0002 B 0375 x 0006 0002 0625 x 0006 0004 C 0571 x 0002 0001 0429 x 0002 0001 D 0667 x 0001 0000 0333 x 0001 0000 Os momentos equilibrados são 𝑀𝐴 1427 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐵 896 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐶 3143 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐷 3061 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝐸 0 REAÇÕES Vão AB σ 𝑀𝐴 0 1427 896 3025 𝑅𝐵 5 0 𝑅𝐵 1394 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐴 30 1394 0 𝑅𝐴 1606 𝑘𝑁 Vão BC σ 𝑀𝐵 0 896 3143 5415 𝑅𝐶 3 0 𝑅𝐶 3449 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐵 540 3449 0 𝑅𝐵 1951 𝑘𝑁 Vão CD σ 𝑀𝐶 0 3143 30607 722 302 𝑅𝐷 4 0 𝑅𝐷 5079 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐶 102 5079 0 𝑅𝐶 5121 𝑘𝑁 Vão DE σ 𝑀𝐷 0 30607 303 𝑅𝐸 6 0 𝑅𝐸 990 𝑘𝑁 σ 𝐹𝑦 0 𝑅𝐷 30 99 0 𝑅𝐷 2010 𝑘𝑁 As reações ficam 𝑀𝐴 1427 𝑘𝑁𝑚 𝑅𝐴 1606 𝑘𝑁 𝑅𝐵 1394 1951 3345 𝑘𝑁 𝑅𝐶 3449 5121 8570 𝑘𝑁 𝑅𝐷 5079 2010 7089 𝑘𝑁 𝑅𝐸 99 𝑘𝑁