P2 Cursão

MA 327 - Turma B - Algebra Linear\nProva 2, 15 outubro 2015\nNome do aluno / RA: SOLUÇÕES\n\nIndicações:\n\n- Não pode falar com ninguém, exceto me.\n- Mostre e justifique o seu trabalho. Incluir na prova, por favor, todas as 'contas' feitas nas resoluções. Respostas não acompanhadas de argumentos que as justifiquem não serão consideradas.\n\nNão precisa se preocupar com os números dos termos que fizemos na aula, uma vez que precisa explicar onde estão escritos corretamente. (exemplo: 'por um terreno falso na aula/tivemos que BLAH' ou 'Pois sabemos que BLAH é verdadeiro', onde BLAH é a afirmação que você está argumentando)\n\n- O encerramento da prova é 105. Ao mesmo tempo, a nota final N deste exam vai ser N = 7, se T ≤ 100 ou vai ser N = 100, se 101 ≤ T ≤ 105. Ao final do curso, para calcular a nota final, se dividir N por 10.\n\nQuestion Points Score\n1 30 \n2 20 \n3 25 \n4 30 \nTotal: 105 Prova 1, Página 2 de 5\n1. Considere o espaço vetorial real P(R) com produto interno definido por\n\n(a + b + c = x^2, d + e + f = x^3) na sua (E NA AULA E NO LIVRO DE ROUNDS Pág. 269)\n\nSE V_1 = 1, V_2 = x, V_3 = x^2\n\n< a,b,c> <d,e,f> = <(a,b),(c),(y),(v),(d),(e),(y),(x),(d),(y),(f),(v)> <(e,u),(y),(x)> =\n\n= \n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nNA ENTRADA A = \n\nE, A = SIMÉTRICA POIS\n\nA é PRODUTO INTERNO\n\n(b) (10 pts) Encontrar, usando o processo de Gram-Schmidt, uma base ortonormal de P(R) a partir da base canônica. O exercício 1 continua . . . Prova 1, Página 3 de 5\n(c) (10 pts) Encontrar o complemento ortogonal, com relação ao produto interno fixado, do subespaço vetorial\n\nW = { a + b + c | a, c ∈ R } = 2 (a + b + c) ∈ P(R)\n= SPAN(1 + x, x^2)\n\nUMA BASE DE W É { W_1 = 1 + x, W_2 = x^2 }. AGORA O SUBESPAÇO DO COMPLEMENTO ORTOGONAL A W É\n\nW^⊥ = { a + b + c | <W_1, a + b + c> = 0 <W_2, a + b + c> = 0 }\n\nPULMING E ...\n\n\n\n\n\n\n\n5a + ab = 0 \n0 = <x^2, a + b + c> = <a, b + c> = 0.\n5a - ab = 0 Prova 1, Pagina 4 de 6\n3. Uma matriz quadrada A \\in M_n(F) (onde F = \\mathbb{R} ou F = \\mathbb{C}) é chamada nilpotente se existe um inteiro positivo k tal que A^k = 0, a matriz nula. Dentre que\n(a) (10 pts) Todo autovalor de A é igual a zero.\nEntão,\nA^k = A^{k-1}(AX) = A^{k-1}(AX) = A^{k-2}A^2\"(AX) = ... = A^k \\Rightarrow O_x = 0\nEntão A^k = O_m = O_m(F)\n\n(b) (10 pts) Se A for nilpotente e não nula, então A não é diagonalizável.\nD = \\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix} \\Rightarrow A = PDP^{-1}\nOnde \\lambda_1 = \\lambda_2 = ... = \\lambda_n = 0 pela parte (a)\n\nAssim, O_n(F) \\neq A = PDP^{-1} = P.O_m(F) \\Rightarrow O_m(F)\n\n(c) (6 pts) Escreva e argumente um exemplo da matriz não diagonalizável. Prova 1, Pagina 5 de 5\n4. (30 pts) Considere a matriz A \\in M_3(\\mathbb{R})\nA = \\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\\\ 2 & 3 & 6 \\\\ -1 & 1 & 2 \\end{pmatrix}\n\nDetermine se A é diagonalizável sobre \\mathbb{R} e encontrar as matrizes D (diagonal) e P \\in Gl_3(\\mathbb{R}) (invertível) tal que D = P^{-1}AP.\n\nCALCULAMOS O POLINÔMIO CARACTERÍSTICO\nQ = P_A(\\lambda) = det(A - \\lambda I_3) = det( \\begin{pmatrix} 5 - \\lambda & 0 & 0 \\\\ 2 & 3 - \\lambda & 6 \\\\ -1 & 1 & 2 - \\lambda \\end{pmatrix}) =\n\n= (5 - \\lambda)det \\begin{pmatrix} 3 - \\lambda & 6 \\\\ 1 & 2 - \\lambda \\end{pmatrix} = (5 - \\lambda)[(3 - \\lambda)(2 - \\lambda) - 6(1)] =\n= (5 - \\lambda)(\\lambda^2 - 3\\lambda) \\Rightarrow \\lambda = 0, \\lambda = 5\n\nAUTOESPAÇO V_0 \\quad V_0 = K0f(A - 0I_3)\nEsc(A - 0I_3) = \\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\end{pmatrix} \\Rightarrow x = 0 \\quad y + 2z = 0 \\Rightarrow \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ -2z \\\\ z \\end{pmatrix}\n\nAUTOESPAÇO V_5 \\quad V_5 = K0f(A - 5I_3) = K0f( \\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 2 & 6 \\\\ -1 & -1 & -3 \\end{pmatrix} ) \\Rightarrow \\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\end{pmatrix} \\Rightarrow x - y + 3z = 0\n\nD \\in P \\quad A = (T_A)_{\\beta \\to P} = M_{\\beta \\to P}(T_A)_{\\in \\beta \\to P} M_{\\tau \\to P}^{-1}\n= (0 \\quad 3) \\Rightarrow D M_{\\beta \\to P} \\therefore D = P^{-1}AP.