Resolução-p2-ma327-2s2015

ATENÇÃO: Não é permitido destacar as folhas\n2ª Prova de MA327 22/10/2015, 08:00-10:00 hs\nNOME:_____________ Turma:______ RA:_____\n1. a) (0.75 pt) Escreva a definição de transformação linear T: V -> W. Mostrar que T(0) = 0.\n- Sejam V e W espaços vetoriais... uma função T: V -> W é uma transformação linear.\n(T(x) + T(y) = T(x + y)) para todos x, y em V e todos escalares.\n\n- Sabe-se que a função T é uma transformação linear...\nT(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0)\nT(0) = 0.\nb) 1) (D) (tais que as seguintes aplicações são transformações lineares:\n1) T: R^2 -> R^2 onde T(x, y) = (2y, -1.0);\nT(0, 0) = (0^2, 0.2 - 0.3, 0) = (0, -3, 0)\n2) T: R^2 -> R^2 onde T(x, y) = ... (ex.: 0^2, 0^2, 0) = (0, 0)\n\n... (continuação da questão) (0.75 pt) Seja T: R^2 -> R^2 uma transformação linear tal que\nT(1, 1) = (-2, -1, 3), T(0, 1) = (1, 2, -3), T(1, 0) = [2, 0, 1]\nDeterminar T(1, 2, 3).\n\nSabe-se que T(1, 1, 1) = (1, 3, 0), (1, 3, 0), (1, 0, 0)\n\n... (continuação da questão) (0.5 pt) Seja T: V -> W uma transformação linear. Defina o núcleo N(T) e a imagem I(T). Defina quantas vezes mais é injetiva e quantas vezes é sobrejetiva.\nSejam V e W espaços vetoriais... N(T) e I(T).\n- T é sobrejetiva, pois dim I(T) = 3 e dim P_3 = 4.T não é injetiva, pois dim N(T) ≠ {0}.\n... (continuação da questão) 3. a) (0.5) Sejam T : V \\rightarrow W uma transformação linear, B = \\{v_1, \\ldots, v_n\\} uma base de V \\in C = \\{w_1, \\ldots, w_m\\} uma base de W. Define a matriz [T]_B da transformação linear T em relação às bases B e C. \n\nDe fato, \\{v_1, \\ldots, v_n\\} é uma base de V e Todo x \\in V n deve ser de maneira única como combinação linear de V_1, \\ldots, v_n ou seja, éste escalar \\alpha_j, \\ldots, \\alpha_n. Os v_i são elementos de V em relação da base B, \\{v_1, \\ldots, v_n\\} no \n\n\\[ \begin{bmatrix} \\cdots \\end{bmatrix} \\]\n\n\\[ \\begin{bmatrix} \\cdots \\end{bmatrix} \\] \n\n1. \\{ \\begin{bmatrix} T(v) \\end{bmatrix} \\}\n\nComo sabemos, o resultado T(V) como combinações lineares da base C, está listo! Veja que essas codess,\n\n\\[ \\begin{bmatrix} \\cdots \\end{bmatrix} \\]\n\nSeja: \\{ \\begin{bmatrix} T(v_i) \\end{bmatrix} \\}\n\n[\\{[T(v)]_C}\\] é A_{V_B}. \n\nT(v) = T(\\alpha_1 v_1 + ... + \\alpha_n v_n) = \\alpha_1 T(v_1) + ... + \\alpha_n T(v_n) \n\nE. \\{ [T(v)]_B \\} = | A | . b) (2.5 pt) Seja T : R^2 \\rightarrow R^2 a transformação linear tal que \nT(1,0)=(2,1,0), T(0,1)=(0,0,0), T(1,1)=(1,0,3) \n\nb1) Seja B = \\{v_1 = (1,0), v_2 = (0,1)\\}. Encontre a matriz A que representa T em relação a base B e A = [T]_{B}. \n\nSeja C = \\{w_1 = (1,1), w_2 = (1,0), w_3 = (0,1)\\}. Execute a matriz D que responde T em relação a base C. L = D = T_v. \n\nb2) D = [T]_{C} = [T(w_1), T(w_2), T(w_3)] \nT(w_1) = (2,3,0) = \\alpha_1(1,0) + \\beta_1(0,1) \nT(w_2) = (2,1,0) = \\alpha_2(1,0) + \\beta_2(0,1) \nT(w_3) = (4,3,3) = \\alpha_3(1,0) + \\beta_3(0,1) \n T(w_2) = T(v_1) + T(v_2) = (2,3,0) + (1,0,0) = (3,3,0) \nT(3,0) =\\alpha_1(0,0) + (0,0,0) \nT(w_1) = (1,1,1) \nT(w_3) = T(v_1) + T(v_2) + T(v_3) = (3,3,0) + (1,1,1) \n11,0 = 3 2 3 \nD = \\left[ \\begin{matrix} \\cdots \\end{matrix} \\right] \nD = P =\\left[ \\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 3 \\end{matrix} \\right]. 4. (2.0 pt) Responda falso ou verdadeiro (justificando):\na) existe uma transformação linear invertível T : R2 -> R2 tal que o traço de T é 0;\n\nVERDADEIRO\n\nA =\n[ 0 0 ]\n[ 0 0 ]\n\ndim AF o = A é imutável\n\nEntao A = 0\n\ndim = 2\n\nb) para cada transformação linear T : U -> V e S : V -> W, onde U, V, W tem dimensões finitas, temos que\ndim N(ST) > dim N(S) + dim N(T);\n\nFALSO\n\n906.339, 1 traço 3.3\n\nc) a transformação linear derivada D : P2 -> P2 é um isomorfismo; VERDADEIRO\n\nN(D1) = ?\n\np ∈ P2 |(p)(1) = 0 ou (p)(a5) = 0 e D(p) = (b1, b2, 0)\n\nisto c = 0\n\nN(0) = 0;\n\np = 0 \n\nd) O núcleo N(T) de uma transformação linear T : V -> V é um subespaço de V.\n\nVERDADEIRO\n\n* para x1, x2 ∈ N(T), então T(x1) = 0; logo, T(x1 + x2) = T(x1) + T(x2) = 0 + 0 = 0, para x1 + x2 ∈ N(T)\n* para x ∈ N(T) e α ∈ um escalar, então T(αx) = αT(x) = α0 = 0\n\nlogo, x ∈ N(T).\n\n* O pertenc ao núcleo de T.\n\nlogo, N(T) é um subgrupo de V.