P3 Cursão

MA 327 - Turma B - Álgebra Linear Prova 3, 19 novembro 2015 Nome do aluno / RA: SOLUÇÕES Instruções: ● Não pode falar com ninguém, exceto me. ● Mostre e justifique o seu trabalho. Incluir na prova, por favor, todas as "contas" feitas nas resul- ções. Respostas não acompanhadas de argumentos que as justifiquem não serão consideradas. Não precisa de se lembrar os números das teoremas que fomos na aula, mas você precisa de explicar o que estija escrevendo. (exemplo "por um teorema feito na aula/livro temos que BLAH" ou "Pós sabemos que BLAH é verdadeiro..." onde BLAH é a afirmação que você quer que eu entienda) ● O escore total T maximo da prova é 105. Ao mesmo tempo, a nota final N deste exame vai ser N = T, se T ≤ 100 ou vai ser N = 100, se 101 ≤ T ≤ 105. Ao final do curso, para calcular a nota final, se dividirá N por 10. Questão Pontos Score 1 30 2 30 3 20 4 25 Total: 105 Prova 1, Pagina 2 de 5 1. Sejam u1 e u2 dois vetores, fixes, linearmente independentes do E n e considere H = {y e R n | <y, u1> = <y, u2> = 0} (a) (10 pts) Determine H⊥. POR CONSTRUÇÃO H = {y e R n | y ⊥ u1 e y ⊥ u2 e y ⊥ = Span(u1,u2) (b) (10 pts) Dado um elemento y e R n, determine as suas projeções ortogonais sobre os espaços H e H⊥. SEJA g 1 , g 2 BASE ORTOGONAL DE H⊥= Span(v1,v2) (SEMPRE PODEMOS ACHA-LA USANDO GRAM-SCHMIDT), POR DEFINIÇÃO proj H(y) = <y, g1> g1 + <y, g2> g2 PELO TEOREMA DE DECOMPOSIÇÃO ORTOGONAL proj H (y) = y - proj H⊥ (y) = y - <y, g1> g1 + <y, g2> g2 († (c) (10 pts) Fixamos o espaço vetorial R 4, com o produto interno usual, e os vetores u1 = (1,0,1,0) e u2 = (0,-1,0,1), determine a imagem da projeção do vetor (1,1,1,1) sobre H. USAMOS GRAM-SCHMIDT PARA ACHAR UMA BASE ORTONORMAL DE H⊥ = Span(v1, v2) W1 = u1 = (1 0 1 0) W2 = u2- <u2,v1> v1 u2 - 0 v1 = u2 = (0 0 0 0) g1 = 1/||v1|| = 1/√2(1 0 1 0) USANDO A FORMULA (†) EM (b) VEMOS QUE proj H⊥ (1 -1/√2 1/0 1) = (1/√2 1/2 1/√2) - (0/√2) -0/1/√2 1/2 0) = |0| |1| |0| |1| Prova 1, Pagina 3 de 5 2. (30 pts) (10 pontos por implicação) Seja V um espaço vetorial real munido do produto interno < , > e T: V → V um operador linear. Mostre que duas quaisquer das propriedades implicam a outra: (a) T é simétrico. (b) T é uma isometria sobre V. (c) T² = I. (b) + (c) => (a) SEJAM v,w e V MONO ENÃO T² = T <T(v),w> = <v,T²(w)> = <v,T(w)> => T simétrico (a) + (c) => (b) SEJAM v,w e V ENÃO T² = I T(v),w> = <v,w> => T ORTGONAL (= ISOMETRIA) (a) + (b) => (c) SEJA {q1, q2} BASE ORTONORMAL DE V T simetrico T isometrio o sr inc que {(qj),qj}<= T (qj), T(qj,} => {qj,qj} Z = 1 SE i = j COMPONENT DE ENTRADA i,j DA REPRESENTAÇÃO MARTICIAL DE T2 => REPRESENTAÇÃO MARTICIAL = I m => T2 = I Prova 1, Pagina 4 de 5 3. (20 pts) Considere a matriz: |3 0 0 0 0| M = |0 1 0 0 0| |0 0 0 1 2 0| |0 0 0 0 1 | |0 0 0 1 2 0| Determine se M é diagonalizável e encontre a matriz diagonal similar a M. ( MATRIZ EM 2 BLOCOS ) A MATRIZ (M) É SIMÉTRICA, ENTÃO DIAGONALIZÁVEL PELO TEOREMA ESPETRAL. CALCULAMOS O POLINÔMIO CARACTERÍSTICO PARA ACHAR A FORM DIAGONAL. Pa(λ) = det | 3 - λ 0 0 0 0 | | 0 1 - λ 0 0 0 | | 0 0 0 - λ 1/√2 0 | | 0 0 1/√2 - λ | | 0 0 1/√2 0 0 | = det |(3 - λ) 0| det é PRODUTO DOS TAM BLOCOS evoluindo o determinante, obtemos: ⇒ (___) = (__) = (___) = (__) = 0 do polinômio característico obtemos que: (encontrar os λ's) ( ) = ( ) com det (4. Seja a matriz A = |3 1 2| |0 3 0| |0 0 3| Neste exercício queremos achar a forma canônica de Jordan da matriz A. (a) (10 pts) Calcule as bases dos autovetores generalizados, em cada passo estendendo a base anterior. POLINÔMIO CARACTERÍSTICO Pa(λ) = (3 - λ)^3 Ker (A - 3I)^3 = Ker ( 1 2 | ker ( 0 )[ ) 0 o | span 0 ] letalona-e ( | | __ ker | | span ( 1 )] | | Ker (A - 3I)^3 = Ker ( 0 ) ( ) ker ( 0 |) [EIGEN / Span ( ) | |n|welcome Ker (A - 3I)^3 gravitida each mode span_(3, 1 ) =раниченнаяь A spontaneously subjective Society ⟨하⟩basis span[ ®da botelleric em Tel Aviv as Tevini A s ) is the _On All Time Pelime Horis All 4\Autonomous sele ønskemål ][Cores" Assisted Span(3,1) ו takeไof ฟ gospodar use the robot hearts. Newก O exercício 4 continua.... Prova 1, Pagina 5 de 5 (b) (10 pts) Modifique e ordene a base de vetores de R3 achada no ponto anterior. α1 = v3 = 00 b1 = (A - 3I)(α1) = |2 |0 c1 = (A - 3I)²(α1) = |0 | POIS α1, b1, c1, SÃO L.I. =>NOVA BASE DE Ker(A-3I)³= R³ LEMOS A COLUNA DE BAIXO PARA CIMA E CRIAREMOS A NOVA BASE Y= {c1, b1, α1 POIS ALTURA COLUNA = 3 ]otrecendri[ tresam um blODO de ljma karta a vardomspec će un bLOk ao (c) (5 pts) Excreva A = PJP⁻¹ onde J è forma de Jordan de A e P = M²lem]ef Nmŏco (base canôNica e lua de Jordan). NãO precisA de acilciar PL〉 э expliciclomante. A = ⎾|c1 b1 a1| |1 0 0 | ⎽|......| = | |1 0 0 3 | 1 1 0 | 0 3 1 | | |_A_| |_ |\|⎾\ | .Expr 3 j! _companion Ps beholder 3 _M^rep_ j_simple ='_ dadDo Italia das_ocals為 a  um unlandistan regulating разобраться对 ToР 扇numero시장olóia ANDale ・ Советская управление провинции на 미 Here in " art is _f. 용 国цки оnls⟨— back. Напротивне of democ"result__ collar as minimal лесть__