Resolução-p2-ma327-2s2015

1a 1b 1c 2a 2b 3a 3b 4a 4b 4c 4d ATENCÃO: Não é permitido destacar as folhas 2a Prova de MA327 — 22/10/2015, 08:00–10:00 hs NOME:________________________________________________________ Turma:_____ RA:__________________ 1. a) (0,75 pt) Escreva a definição de transformação linear T : V -> W. Mostre que T(0) = 0. - Sejam V e W os espaços vetoriais. Uma função T: V -> W é uma transformação linear se: T(x+y) = T(x) + T(y) T(cx) = cT(x) para todos x, y ∈ V e todos escalares c. - Segue da definição que toda transformação linear transforma o vetor zero de V no vetor zero de W. Pois x = x e um vetor qualquer de V, não importando o. T(0) = T(0x) = 0T(x) = 0. b) (1,0 pt) Quais das seguintes aplicações são transformações lineares: b1) T: R^2 -> R^2, onde T(x,y) = (2x, 2y - 1,0). T não é... b2) T: R^3 -> R^3, onde T(x,y,z) = (2x - 9y, 10z - y). - Para %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% c) (0,75 pt) Seja T : R^3 -> R^2 uma transformação linear tal que T(1, 1, 1) = (-2, -1, 3), T(1, 1, 0) = (1, 2, -3), T(1, 0, 0) = (2, 0, 1) Determine T(1, 2, 3). Saja que T ? { (1,1,1), (1,3,0,0) } a (1,3,1) + b (1,3,0,0) + c (1,0,0) = (x,y,z) a+b+c = x c= x-b-a c=z(, x-y+z = z a=z 4 que R^3 a (1,3,1) + b (1,3,0) + c(1,0) = (0,0,0, a+b+c = b=0 a=0 c como a que R^3 (1,2,3) = a(1,3,-1) + b(1,3,0) + c(1,0,0) x=1, a=2,3 = b(1,y,a) + (b,b,a) + (c,c (0,0) a+b+c = T(1,3,33) = T(1,2,3)= aT(1,3,3)+ bT(1,3,0) +cT(1,3,0) T(1,2,3) = 3(-2 -3) +(2-3) + 3 T(1,=3) = =(-6).... -3 -3, -9) T(3, 9, 3) = (-9, -9, -5, 3)) 2. a) (0,5 pt) Seja T : V -> W uma transformação linear. Defina o núcleo N(T) e a imagem I(T). Defina quando T é injetiva e quando T é sobrejetiva. Sejam V e W espaços vetoriais. Seja T : V -» W uma transformação linear. O núcleo de T é definido pelo subconjunto N(T) = \x ∈ V |f (x) = 0\; a imagem de T é defini- da por d = {T(x) | x e V}. . . T. /, » inject ou e só N(T) = b) (0,201 pt) Seja T: F. » P3 a transformação linear T(p) = f, onde p3 é o espaço vetorial de polinômios com coeficientes reais e grau no máximo 3. Calcule uma base de N(T) e uma base de I(T). Verifique se T é sobrejetiva ou injetiva. Seja p(x) = a3 + bx3 + b + b3f3 um polinômio genérico de o39 p(b+ D23.2a3d3 g(t) = 0d03 T(a) = [b+ 2c+ d]o3 + (2c+ 6d)3 [. 3d3 (a3d3) p(b+ b3(2) I(T) = |f3a43b33 + (3,32,0o3) 03? L.. (3o3...) lago uma base para N(T) é ...}.,. aixa 3))))). 1o+x0x30,3x33x033. a89e.....,3x33 0o3 T não é QU... integ; Pack38 3. a) (0.5) Sejam T: V -> W uma transformação linear, B = {V1,..., Vn} uma base de V e C = {W1,..., Wm} uma base de W. Defina a matriz [T]BC da transformação linear T em relação as bases B e C. Dado y pertence a W e uma base B de V. Todo vetor v pertencente a V se escreve de maneira única como combinação linear de V1,..., Vn, ou seja, existem escalares a1,..., an tais que v = a1v1 + ... + anvn. Definirmos y como sendo o conjunto de coordenadas de V em relação à base B = {y1,..., yn} e por: [V]B = [a1, a2, ..., an] Sejam B = {y1,..., yn} e C = {z1,..., zm} bases dos espaços vetoriais V e W respectivamente. Queremos medir o efeito da transformação f em v, utilizando as bases B e C no vetor [T(v)]C = [T(v1) T(v2) ... T(vn)]C = [a1 a2 ... an] Então, T(v) = T(a1v1 + ... + anvn) = a1 T(v1) + ... + an T(vn) = a1 (a11w1),...,+ an (anmnwm) Como consideramos o vetor T(v) como combinação linear dos vetores da base C, esta escrito em coordenadas não em coordenadas do T(v) em coordenadas do vetor, ou seja, [T(v)]C = [aij a12 ... a1n] a21 a22 ... a2n .. .. ... .. am1 am2 ...amn em que A = [[T(v1)]C ... [T(vn)]C]. Esta matriz da transformação linear T em relação às bases B e C é denotada por [T]BC. b) (2.5 pt) Seja T: R^3 -> R^3 a transformação linear tal que T(1,0,0) = (2,1, 0), T(0,1,0) = (1,0,0), T(0,0,1) = (1,0,3) b1) Seja B = {(1,0,0), W2 = (1,0,1), W3 = (0,0,1)}. Encontre a matriz A que representa T em relação à base B. A = [T]BC. b2) Seja C = {(1,0,0), W2 = (1,1,0), W3 = (1,1,1)}. Encontre a matriz D que representa T em relação à base C i.e. D = [T]CC. b3) Encontre uma matriz invertível P tal que D = P^-1AP. b4) Encontre a matriz que representa T^2 = TT em relação à base B. b3) A = [T]BC = [[T(v1)]C [T(v2)]C [T(v3)]C] T(v1) = (2,1,0) = a1(1,0,0) + b1(0,1,0) + c1(0,0,1) (2,1,0) = a1(1,0,0) + b1(1,0,0) + c1(1,0,3) (2,1,0) = a1; b1 = 2; c1 = 0 T(v2) = (3,1,0) = a2(1,0,0) + b2(0,1,0) + c2(0,0,1) (3,1,0) = a2, b2 = 0; c2 = 2 T(v3) = (4,1,3) = a3(1,0,0) + b3(0,1,0) + c3(0,0,1) (4,1,3) = a3 = 4; b3 = 1; c3 = 3 A = [T]BC = [ 2 0 3 1 0 0 0 0 3 ] b2) D = [T]CC = [[T(w1)]C [T(w2)]C [T(w3)]C] T(w2) = (3,1,0) = a2(1,0,0) + b2(0,1,0) + c2(0,0,1) (3,1,0) = (a2 + b2, c2, b2) c2 = 0 b2 + c2 = 3 b2 = 3 a2 = 2 T(w3) = (4,1,3) = a3(1,0,0) + b3(0,1,0) + c3(0,0,1) (4,1,3) = (a3 + b3 + c3, c3, b3) b3 + c3 = 3 a3 + b3 + c3 = 4 b3 = 3 - 3 a3 = 3 D = [T]CC = [ 3 2 3 3 1 -2 0 0 3 ] b3) D = P^-1 AP; A = [T]BC D = [T]BC [T]BC => P = [T]BC P = [T]CC = [[T(w1)]B [T(w2)]B [T(w3)]B] T(w1) = (2,1,0) = a1(1,0,0) + b1(0,1,0) + c1(0,0,1) a1 = 2; b1 = 3; c1 = 0 T(w2) = (3,1,0) = a2(1,0,0) + b2(0,1,0) + c2(0,0,1) a2 = 2; b2 = 3; c2 = 0 T(w3) = (4,1,3) = a3(1,0,0) + b3(0,1,0) + c3(0,0,1) a3 = 3; b3 = 3 P = [T]BC [T]CC P = [ 2 3 4 3 4 3 0 3 3 ] 4. (2.0 pt) Responda falso ou verdadeiro (justificando): a) existe uma transformação linear invertível T:R^2→R^2 tal que o traço de T é 0; VERDADEIRO [2 0 | 0 0] det A ≠ 0 ⇒ A é invertível A = [.0 3] 0 0 traço A = 0 [0 01 ] 0 -soma da diagonal principal det p = 2 b) para cada duas transformações lineares T:U→V e S:V→W, onde U, V, W tem dimensões finitas, temos que dim N(ST) > dim N(S) + dim N(T); FALSO . . . . Ver pag. 339 pag.336-3.3 . Proposição 3.22. ( 3.3 do Reginaldo Santos ) c) a transformação linear derivada D:P3→P3 é um isomorfismo; VERDADEIRO . . só se x é o vetor. . . . de p IV(3) b2c5 El diz hamte ao c- polinômio e uni treme da luma de beleza de b polinômio IV(3) = 2 . V (p₂): b₂ 12 e T b₂Fço90 (p): b1 9 p H 0+0 302 N(T) = 至 O . Esto Ihomma do nuclei e de sua imagem.. SOriglhã dim r3 - dim N(T) + dim r2(p) dim r3(o). . V y sitis mela gil i BI mar dim p2 = D dim T3(0): =dim p₂ ¡-dim I101) ≥ (Ori loroiso dim 1 = kho globerg dim N(T) dim F(SI(1) = 2 = Ralaglica . . . = . . . r . d) o núcleo N(T) de uma transformação linear T:V→V é um subespaço de V; VERDADEIRO . . 9кої possui. . De x1, x2 e N(T), então T (x1): T (x) = o̲, logo, T(X1 + X₁): T(k₁) + T($) = O+Ö = 6 , arr etega, x₁ + x₁ € N(T) para. . . . De x₂ € N(T) + a el um escalar, então T( x₂) T (k₁): a T ( x ) = ao̲ logo qX e N(aT). . [0 pertence ao núcleo de T, logo N(T) € um substoco de V,