Slide - Círculo de Mohr - 2024-1

CÍRCULO DE MOHR Prof. Dr. Daniel Iwao Suyama RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS FCA UNICAMP • LIMEIRA Círculo de Möhr • Equações de transformação de tensão: σ_x' = \frac{σ_x + σ_y}{2} + \frac{σ_x − σ_y}{2} cos2θ + τ_xy sen2θ τ_x'y' = −\frac{σ_x − σ_y}{2} sen2θ + τ_xy cos2θ σ_y' = \frac{σ_x + σ_y}{2} − \frac{σ_x − σ_y}{2} cos2θ − τ_xy sen2θ FCA UNICAMP • LIMEIRA Círculo de Möhr σ_x' − \frac{σ_x + σ_y}{2} = \frac{σ_x − σ_y}{2} cos2θ + τ_xy sen2θ τ_x'y' = −\frac{σ_x − σ_y}{2} sen2θ + τ_xy cos2θ FCA UNICAMP • LIMEIRA Círculo de Möhr • O parâmetro θ pode ser eliminado: – Elevando as duas equações ao quadrado; – Somando-se as duas equações. \left[σ_x'− \left(\frac{σ_x + σ_y}{2}\right)\right]^2 + τ_x'y'^2 = \left(\frac{σ_x − σ_y}{2}\right)^2 + τ_xy^2 FCA UNICAMP • LIMEIRA Círculo de Möhr • Lembrando que: [Imagem com círculo de Möhr] FCA UNICAMP • LIMEIRA Círculo de Möhr • Podemos escrever: [σ_{x'} - σ_{med}]^2 + τ_{x'y'}^2 = R^2 • No qual: σ_{med} = \left(\frac{σ_x + σ_y}{2}\right) FCA UNICAMP • LIMEIRA Círculo de Möhr • Se estabelecermos: – Eixo σ positivo para a direita; – Eixo τ positivo para baixo. • Equações representam um círculo de raio R e centro em C (σ_{med},0). • Círculo de Möhr. FCA UNICAMP - LIMEIRA Círculo de Möhr σ C (σ_x - σ_y) / 2 τ_xy P τ σ_x σ_avg = σ_x + σ_y / 2 C R = √((σ_x - σ_y) / 2)^2 + τ_xy^2 FCA UNICAMP - LIMEIRA Círculo de Möhr σ_y τ_xy = τ_x'y' σ_x = σ_x' θ = 0° x, x' σ_x = σ_x' τ_xy y, y' Círculo de Möhr Ponto de referência FCA UNICAMP - LIMEIRA Círculo de Möhr σ_y x' τ_xy σ_y y' θ = 90° σ_x σ_x x σ_y τ_xy Círculo de Möhr • Círculo de Möhr pode ser utilizado para determinar as tensões principais, a tensão de cisalhamento máxima em um plano orientado em ângulo qualquer. Círculo de Möhr • Ex. – Um estado plano de tensões é mostrado a seguir. – Determine o estado de tensões principais. Tensões: \( \sigma_x = -20\ MPa \) \( \sigma_y = 90\ MPa \) \( \tau_{xy} = 60\ MPa \) Aplicar as equações de tensões principais; Verificar orientação do estado de tensões. Tensões principais: \( \sigma_{1,2} = \frac{-20 + 90}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-20 - 90}{2}\right)^2 + 60^2} \) \( \sigma_{1,2} = 35 \pm 81,3941 \) \( \sigma_1 = 116,3941\ MPa \) \( \sigma_2 = -46,3941\ MPa \) • Orientação do estado de tensões principais. \( \tan 2\theta_p = \frac{2 \cdot \tau_{xy}}{(\sigma_x - \sigma_y)} \) \( \tan 2\theta_p = \frac{2 \cdot 60}{(-20 - 90)} \) \( 2\theta_p = -47,4896° \) \( \theta_p = -23,7448° \text{ ou } 66,2552° \) • Definindo \( \theta_{p1} \text{ e } \theta_{p2} \). \( \sigma_{x'} = \frac{-20 + 90}{2} + \frac{-20 - 90}{2} \cos(2\cdot -23,7448) + 60\sen(2\cdot -23,7448) \) \( \sigma_{x'} = -46,3941 \ MPa = \sigma_2 \) • Assim: \( \theta_{p1} = 66,2552° \text{ e } \theta_{p2} = -23,7448° \) Círculo de Möhr • Círculo de Mohr.