Aula 7 - Análise de Posição de Mecanismos - 4, 5 Barras e Klann

SEM 104 Mecanismos Prof Rodrigo Nicoletti Escola de Engenharia de São Carlos Departamento de Engenharia Mecânica AULA 7 Mecanismo de N Barras Mecanismo de Klann Análise de Posição Mecanismo 5 barras secundário Mecanismo 4 barras principal 1 Faça a análise de posição do mecanismo principal 4 barras A B C D 𝛼 𝛽 𝛾 Assim é possível encontrar 𝛽 𝛽 𝛼 𝛾 𝛾 𝛼 X Y Análise de Posição Equação de Posição do Mecanismo Principal ቊ𝐿𝐴𝐵 cos 𝛼 𝐿𝐵𝐶 cos 𝛾 𝐿𝐷𝐶 cos 𝛽 𝑥𝐷 0 𝐿𝐴𝐵 sin 𝛼 𝐿𝐵𝐶 sin 𝛾 𝐿𝐷𝐶 sin 𝛽 𝑦𝐴 0 𝜶 é o ângulo de entrada do mecanismo motor X Y Ԧ𝑟𝐷𝐶 Ԧ𝑟𝐷 Ԧ𝑟𝐵𝐶 Ԧ𝑟𝐴𝐵 Ԧ𝑟𝐴 C B D A X Y Análise de Posição 2 Faça a análise de posição do mecanismo secundário 5 barras C F D E G Ԧ𝑟𝐷𝐶 Ԧ𝑟𝐷 Ԧ𝑟𝐹𝐺 Ԧ𝑟𝐸𝐹 Ԧ𝑟𝐸 Ԧ𝑟𝐶𝐺 𝜃 𝛽 𝛾 10𝑜 𝛿 Equação de Posição do Mecanismo Secundário ቊ𝐿𝐸𝐹 cos 𝛿 𝐿𝐹𝐺 cos 𝜃 𝐿𝐶𝐺 cos 𝛾 10𝑜 𝐿𝐷𝐶 cos 𝛽 𝑥𝐷 𝑥𝐸 0 𝐿𝐸𝐹 sin 𝛿 𝐿𝐹𝐺 sin 𝜃 𝐿𝐶𝐺 sin 𝛾 10𝑜 𝐿𝐷𝐶 sin 𝛽 𝑦𝐸 0 Assim é possível encontrar 𝛿 𝛿 𝛽 𝛾 𝜃 𝜃 𝛽 𝛾 E F G C D X Y 𝛼 𝛽 𝛾 X Y Análise de Posição 3 Encontre a equação de posição do ponto de interesse ponto H Ԧ𝑟𝐷𝐶 Ԧ𝑟𝐷 Ԧ𝑟𝐺𝐻 Ԧ𝑟𝐶𝐺 C H D G 𝜃 40𝑜 𝛽 𝛾 10𝑜 Equação de Posição do Ponto de Interesse H ቊ𝑥𝐻 𝑥𝐷 𝐿𝐷𝐶 cos 𝛽 𝐿𝐶𝐺 cos 𝛾 10𝑜 𝐿𝐺𝐻 cos 𝜃 40𝑜 𝑦𝐻 𝐿𝐷𝐶 sin 𝛽 𝐿𝐶𝐺 sin 𝛾 10𝑜 𝐿𝐺𝐻 sin 𝜃 40𝑜 X Y H G C D 𝜃 𝛽 10𝑜 𝛾 Análise de Posição Portanto sabendose o ângulo de entrada 𝜶 podese encontrar A B C D E F G H 𝛼 𝛽 𝛽 𝛼 𝛾 𝛾 𝛼 𝛿 𝛿 𝛽 𝛾 𝜃 𝜃 𝛽 𝛾 𝑥𝐻 𝑥𝐻 𝛽 𝛾 𝜃 𝑦𝐻 𝑦𝐻 𝛽 𝛾 𝜃 Resolvendose ቊ𝐿𝐴𝐵 cos 𝛼 𝐿𝐵𝐶 cos 𝛾 𝐿𝐷𝐶 cos 𝛽 𝑥𝐷 0 𝐿𝐴𝐵 sin 𝛼 𝐿𝐵𝐶 sin 𝛾 𝐿𝐷𝐶 sin 𝛽 𝑦𝐴 0 ቊ𝐿𝐸𝐹 cos 𝛿 𝐿𝐹𝐺 cos 𝜃 𝐿𝐶𝐺 cos 𝛾 10𝑜 𝐿𝐷𝐶 cos 𝛽 𝑥𝐷 𝑥𝐸 0 𝐿𝐸𝐹 sin 𝛿 𝐿𝐹𝐺 sin 𝜃 𝐿𝐶𝐺 sin 𝛾 10𝑜 𝐿𝐷𝐶 sin 𝛽 𝑦𝐸 0 Como resolver MÉTODO NUMÉRICO método de NewtonRaphson Observe que a solução é o zero das funções Método de NewtonRaphson Método de NewtonRaphson A Série de Taylor de uma função truncada na primeira ordem é dada por 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥0 𝑑𝑓ቤ 𝑑𝑥 𝑥0 𝑥 𝑥0 Se eu quero o zero da função então 𝑓 𝑥 0 Assim 𝑥 𝑥0 𝑑𝑓ቤ 𝑑𝑥 𝑥0 1 𝑓𝑥0 Dado um chute inicial 𝑥1 podese encontrar a solução que torna 𝑓 𝑥 0 de forma iterativa Método de NewtonRaphson Podese escrever esta equação de forma iterativa 𝑥𝑘1 𝑥𝑘 𝑑𝑓ቤ 𝑑𝑥 𝑥𝑘 1 𝑓𝑥𝑘 Método de NewtonRaphson O Método de NewtonRaphson também pode ser usado em sistema de equações Dado um chute inicial 𝒙1 podese encontrar a solução que torna 𝒇 𝒙 𝟎 de forma iterativa Método de NewtonRaphson Neste caso o Método NewtonRaphson tem a forma 𝒙𝑘1 𝒙𝑘 𝜱𝑘 1𝒇𝒙𝑘 Considere um sistema com N equações 𝒇 𝒙 𝑓1 𝑓1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑧 𝑓2 𝑓2 𝑎 𝑏 𝑐 𝑧 𝑓𝑁 𝑓𝑁 𝑎 𝑏 𝑐 𝑧 Onde 𝒙 𝑎 𝑏𝑐 𝑧 Onde a Matriz Jacobiana é dada por 𝜱𝑘 𝑑𝑓1ቤ 𝑑𝑎 𝑘 𝑑𝑓1ቤ 𝑑𝑏 𝑘 𝑑𝑓2ቤ 𝑑𝑎 𝑘 𝑑𝑓2ቤ 𝑑𝑏 𝑘 𝑑𝑓1ቤ 𝑑𝑧 𝑘 𝑑𝑓2ቤ 𝑑𝑧 𝑘 𝑑𝑓𝑁ቤ 𝑑𝑎 𝑘 𝑑𝑓𝑁ቤ 𝑑𝑏 𝑘 𝑑𝑓𝑁ቤ 𝑑𝑧 𝑘 Método de NewtonRaphson mecanismo de Klann Consiedere o Mecanismo de Klann Onde 𝒙 𝛾 𝛽 𝛿 𝜃 Então a Matriz Jacobiana é dada por 𝜱 𝐿𝐵𝐶 sin 𝛾 𝐿𝐷𝐶sin 𝛽 𝐿𝐵𝐶 cos 𝛾 𝐿𝐷𝐶 cos 𝛽 0 0 0 0 𝐿𝐶𝐺 sin 𝛾 10𝑜 𝐿𝐷𝐶 sin 𝛽 𝐿𝐶𝐺 cos 𝛾 10𝑜 𝐿𝐷𝐶 cos 𝛽 𝐿𝐸𝐹 sin 𝛿 𝐿𝐹𝐺 sin 𝜃 𝐿𝐸𝐹 cos 𝛿 𝐿𝐹𝐺 cos 𝜃 Dado um chute inicial 𝒙1 𝛾1 𝛽1 𝛿1 𝜃1 𝑇 podese encontrar a solução de forma iterativa Método de NewtonRaphson 𝒙𝑘1 𝒙𝑘 𝜱𝑘 1𝒇𝒙𝑘 𝑓1 𝐿𝐴𝐵 cos 𝛼 𝐿𝐵𝐶 cos 𝛾 𝐿𝐷𝐶 cos 𝛽 𝑥𝐷 𝑓2 𝐿𝐴𝐵 sin 𝛼 𝐿𝐵𝐶 sin 𝛾 𝐿𝐷𝐶 sin 𝛽 𝑦𝐴 𝑓3 𝐿𝐸𝐹 cos 𝛿 𝐿𝐹𝐺 cos 𝜃 𝐿𝐶𝐺 cos 𝛾 10𝑜 𝐿𝐷𝐶 cos 𝛽 𝑥𝐷 𝑥𝐸 𝑓4 𝐿𝐸𝐹 sin 𝛿 𝐿𝐹𝐺 sin 𝜃 𝐿𝐶𝐺 sin 𝛾 10𝑜 𝐿𝐷𝐶 sin 𝛽 𝑦𝐸 𝒇 𝒙 Método de NewtonRaphson mecanismo de Klann Tomemos os parâmetros 𝐿𝐴𝐵 120 𝑚𝑚 𝐿𝐵𝐶 350 𝑚𝑚 𝐿𝐷𝐶 140 𝑚𝑚 𝑥𝐷 350 𝑚𝑚 𝑦𝐴 90 𝑚𝑚 𝐿𝐶𝐺 360 𝑚𝑚 𝐿𝐸𝐹 270 𝑚𝑚 𝐿𝐹𝐺 360 𝑚𝑚 𝐿𝐺𝐻 430 𝑚𝑚 𝑥𝐸 290 𝑚𝑚 𝑦𝐸 230 𝑚𝑚 Se 𝛼 60𝑜 e 𝒙1 𝛾1 15𝑜 𝛽1 60𝑜 𝛿1 45𝑜 𝜃1 60𝑜 Então usando o Método de NewtonRaphson 𝒙2 105138 670074 367323 457048 𝑇 𝒙3 106570 673283 344691 457564 𝑇 𝒙4 106570 673283 344634 457220 𝑇 𝒙5 106570 673283 344634 457220 𝑇 𝒙6 106570 673283 344634 457220 𝑇 CONVERGIU Portanto Para 𝛼 60𝑜 𝒙 𝛾 10657𝑜 𝛽 673283𝑜 𝛿 344634𝑜 𝜃 45722𝑜 Este procedimento se repete para cada ângulo de entrada 𝜶 Método de NewtonRaphson mecanismo de Klann Tomemos os parâmetros 𝐿𝐴𝐵 120 𝑚𝑚 𝐿𝐵𝐶 350 𝑚𝑚 𝐿𝐷𝐶 140 𝑚𝑚 𝑥𝐷 350 𝑚𝑚 𝑦𝐴 90 𝑚𝑚 𝐿𝐶𝐺 360 𝑚𝑚 𝐿𝐸𝐹 270 𝑚𝑚 𝐿𝐹𝐺 360 𝑚𝑚 𝐿𝐺𝐻 430 𝑚𝑚 𝑥𝐸 290 𝑚𝑚 𝑦𝐸 230 𝑚𝑚 491 mm Tarefa X Y 𝐿 Implemente o método de NewtonRaphson no MatlabOctave para obter ângulo da barra BC em função do ângulo de entrada AB ângulo do disco DC em função do ângulo de entrada AB 𝑅𝐴𝐵 100 𝑚𝑚 𝐿𝐵𝐶 500 𝑚𝑚 Considere 𝐿𝐴𝐷 500 𝑚𝑚 𝑅𝐷𝐶 120 𝑚𝑚 F Compare os resultados com os resultados obtidos pelao Método Geométrico Dúvidas Utilize o FÓRUM no eDisciplinas edisciplinasuspbr