Solucao de Exercicios de Calculo Diferencial e Integral - Analise Matematica

Questão 1 Exercício 1 Seja f diferenciável em um intervalo I contendo o zero e assuma que xn é uma sequência em I tal que xn 0 e xn 0 Se fxn 0 para todo n N mostre que f0 0 e f0 0 Solução Como a função é diferenciável segue que a função é contínua em I Então segue que por continuidade vale que lim fxn flim xn f0 mas veja que fxn 0 para todo nN logo temos que f0 lim fxn lim 0 0 e temos que f0 0 Por outro lado como a fx é ainda diferenciável segue que que fx é contínua também e logo temos também que f lim fxn flim xn Por outro lado veja que da definição de derivada da função temos que f0 flim xn lim fxn lim lim fx fxn x xn lim lim fx flim xn x xn lim fx flim xn lim x xn lim fx f0 lim x 0 lim fx lim x fxn xn 0 e disso segue que f0 f0 0 Daí o resultado fica demonstrado Questão 2 Exercício 2 Seja f a b R uma função contínua tal que f 0 Dado c R tal que 0 c ab ftdt prove que existe um d a b tal que ad ftdt c Solução Para provar a existência de um ponto d a b tal que ad ftdt c vamos utilizar o Teorema do Valor Médio para Integrais Com efeito veja que esse Teorema assegura que existe d a b tal que fd 1 b a ab ftdt ab ftdt fd b a o qual é completamente aplicável uma fez que a função f é contínua em a d e portanto integrável nesse compacto Por outro lado veja que por hipótese a função f é não negativa desse modo segue que para quaisquer que sejam a b R vale que ab ftdt 0 Ademais veja que uma vez que o número c é tal que 0 c ab ftdt segue que c 0 ab ftdt Agora definamos a função gx por g a b R x a b gx ax ftdt Com efeito veja que a função gx é contínua uma vez que ft é contínua por hipótese e ainda segue do Teorema Fundamental do Cálculo que gx é diferenciável no aberto a b Então de posse da função gx veja que temos que ga aa ftdt 0 gb ab ftdt 0 De posse disso podemos ver que o número c é tal que 0 c ab ftdt ga c gb ou seja segue que c ga gb Sabendo disso segue do Teorema do Valor intermediário aplicado a função gx a qual é contínua está definida num compacto a b e satisfaz que ga 0 ab ftdt que existe um ponto d em a b tal que gd c Consequentemente isso nos dá que gd ad ftdt c que prova o desejado Questão 3 Exercício 3 Seja f uma função real definida no intervalo a b Mostre que se fr 0 para cada r Q a b então fx 0 para todo x a b Exercício de Analise real Exercício 1 Seja f diferenciável em um intervalo I contendo o zero e assuma que xn é uma sequência em I tal que xn 0 e xn 0 Se fxn 0 para todo n N mostre que f0 0 e f0 0 Exercício 2 Seja f a b R uma função contínua tal que f 0 Dado c R tal que 0 c ab ftdt prove que existe um d a b tal que ad ftdt c Exercício 3 Seja f uma função real definida no intervalo a b Mostre que se fr 0 para cada r Q a b então fx 0 para todo x a b Exercício 4 Suponha que an bn cn para todo n Prove que se as séries an e cn são convergentes então a série bn é convergente também Exercício 5 Sejam an e bn duas sequências tais que an a Cbn em que a é um certo número real e C uma constante positiva Usando a definição de limite mostre que se lim bn 0 então lim an a Solução Vamos mostrar que fx 0 x R Q a b Então suponhamos por absurdo que fz 0 para algum z R Q a b ou seja estamos supondo que existe um número irracional z em a b tal que fz 0 Então tomemos um número ε 0 real e positivo de modo que ε fz 0 Uma vez que a função f é real bem definida e contínua segue que por continuidade que existe δ δε tal que a implicação x z δ fx fz ε seja satisfeita para todo ε 0 e para todo x a b Então escolhemos um x z δ z δ Q isto é estamos escolhendo um x racional no intervalo z δ z δ De fato observe que podemos fazer tal escolha e a mesma deve ser consistente uma vez que temos a continuidade da função Desse modo segue que fx fz 0 fz fz ε que é um absurdo uma vez que a função f é contínua Portanto segue que a suposição de que existe um irracional z em a b tal que fz 0 é uma contradição Logo segue que para todo racional e irracional em a b consequentemente todos os números do intervalo a b nós temos que fx 0 e assim o resultado fica demonstrado Questão 4 Exercício 4 Suponha que an bn cn para todo n Prove que se as séries an e cn são convergentes então a série bn é convergente também Solução Da desigualdade dada temos que ao somarmos sobre todos os índices n segue que an bn cn an bn cn Agora ao aplicarmos o limite em ambos os lados teremos que lim an lim bn lim cn n1 an n1 bn n1 cn Note que se a série n1 cn é convergente então temos por transitividade que n1 bn n1 cn n1 bn e logo segue que série n1 bn também é convergente Com efeito veja que não é necessário termos a convergência da série de termo geral an Decerto esse resultado é conhecido como teste da comparação para séries Questão 5 Exercício 5 Sejam an e bn duas sequências tais que an a C bn em que a é um certo número real e C uma constante positiva Usando a definição de limite mostre que se lim bn 0 então lim an a Solução De fato veja que lim bn 0 então segue da definição de limite que existe n0 N tal que se n n0 então vale que bn bn 0 ϵ C onde C é uma constante positiva e ϵ é um número positivo arbitrário Então tomando o mesmo n0 temos que se n n0 vale para a sequência an que an a Cbn Cbn 0 C ϵ C ϵ ou seja pela definição de limite de uma sequência segue que lim an a conforme desejado 4