Lista de Exercicios Resolvidos - Integral de Riemann e Calculo Integral

A integral de Riemann Seção 2 Integral de Riemann 01 Defina f 01 R pondo f 0 0 e f x 1 2 n se 1 2 n1 x 1 2 n n N 0 Prove que f é integrável e calcule 0 1 f x dx 04 Seja f ab R uma função integrável com fx0 para todo x ab Se f é contínua no ponto c ab e fc0 prove que a b f x dx0 Seção 3 Propriedades da integral 02 Prove que fg ab R são integráveis então são também integráveis as funções φ ψ ab R definidas por φ x max f x gx e ψ x min f x gx Conclua daí que são integráveis as funções f f ab R dadas por f 0 se fx0 f xfx se fx0 f 0 se fx0 e f x fx se fx0 supondo ainda integrável 04 Uma função limitada f ab R que se anula fora de um conjunto de medida nula pode não ser integrável Nessas condições supondo f integrável prove que sua integral é igual a zero Cálculo com integrais Seção 1 Os teoremas clássicos do Cálculo Integral 01 Seja f ab R integrável continua à direita no ponto x 0 ab Prove que FabR dada por F x a x f t dt é derivável à direita no ponto x 0 com F x 0 f x 0 Enuncie fato análogo com esquerda em lugar de direita Dê exemplos com f integrável descontínua no ponto x 0 nos quais a Existe F x 0 b Não existe F x 0 02 Seja f ab R integrável com f integrável Prove que para quaisquer x c ab têmse f x f c c x f t dt Conclua o Teorema 5 vale com integrável em vez de contínua 05 Sejam f ab R contínua e αβI ab deriváveis Defina φIR pondo φ x αx βx f x dt para todo x I Prove que φ é derivável e φ x f β x β x f α x α x 06 Sejam f 01 R a função do Exercício 23 do capitulo 10 e g 01 R definida por g 0 0 e g x 1 se x 0 Mostre que f e g são integráveis porém gof 01 R não é integrável Seção 2 A integral como limite de somas de Riemann 02 Dada f ab R limitada ou não faz sentido considerar a soma de Riemann f P para toda partição pontilhada P Prove que existe lim P 0 f P então f é uma função limitada 03 Prove a reciproca do Teorema 7 se existir lim P 0 f P L então a função limitada f ab R é integrável e a b f x dxL 04 Sejam fg ab R integráveis Para toda partição P t 0 t n de ab sejam P Pξ e P Pη pontilhamentos de P Prove que lim P 0 f ξ i g η i t i t i1 a b f x g x dx 06 Dada f ab R seja para cada n ϵ N M fn 1 n i1 n f aih h ba n a média aritmética dos valores f ah f a2 h f anh fb Prove que se a função f é integrável então lim n M fn 1 ba a b f x dx Por este motivo o segundo membro desta igualdade se chama o valor médio da função f no intervalo ab Seção 3 Logaritmos e exponenciais 01 Sejam f ab R e g R R funções contínuas não identicamente nulas tais que f xy f x fy e g uv g u gv para quaisquer xyR e u v R Prove que existem aR e bR tais que f x e αx para todo xR e g x b log x para todo x R 03 Prove que lim x0 x log x0 04 Prove que para todo xR temse lim n 1 x n n e x Seção 4 Integrais impróprias 06 Seja faR integrável em cada intervalo limitado ax Prove que a integral imprópria a f x dx lim x a x f t dt existe se e somente se para todo ε0 dado A0 tal que Axy implica x y f t dt ε Critério de Cauchy 07 Prove o Teorema 12 Teorema 12 Seja faR contínua monótona nãodecrescente Para todo número natural na seja a n fn A série a n converge se e somente se a integral a f x dx converge