Exercícios Resolvidos de Análise Real - Demonstrações e Aplicações

Exercícios de analise real Exercício 1 Admitindo que ex ex e que lim y eyy prove que a função f ℝ ℝ definida por fx e1x² quando x 0 e f0 0 possui derivada igual a zero no ponto x 0 Exercício 2 Se u e v são funções deriváveis e f é uma função contínua desenvolva uma fórmula para ddx ux a vx ft dt Exercício 3 Seja f e g funções reais definida no intervalo ab tais que fr gr para cada número irracional r em ab Mostre que se fx gx para cada para todo x ab Exercício 4 Considere a série an de termos positivos Mostre que a série an1an converge se a série an convergir Exercício 5 Para cada n ℕ seja 0 tn 1 Se lim xn lim yn a prove que limtn xn 1 tn yn a 1 Pon hipótese temos que ex ex e que lim y eyy Sendo f ℝ ℝ fx e1x² se x 0 0 se x 0 Pon definição f0 lim x0 fx f0x 0 se existin Daí f0 lim x0 e1x²x lim x0 1x e1x² Veja que lim x0 x e1x² lim x0 e1x²1x 2 Hospital lim x0 e1x² 1x lim x0 2x³ e1x²1x² lim x0 2 e1x²x Como lim x0 2 e1x² 2e0 2 temos que lim x0 x e1x² lim x0 2x se x 0 se x 0 Logo lim x0 1x e1x² lim 1t t 0 Portanto f0 existe e f0 0 2 Se u e v são funções deriváveis e f é função contínua então Definindo Fx ux a vx ft dt temos que Fx ux a c ft dt c a vx ft dt c a ux ft dt c a vx ft dt O Teorema Fundamental do cálculo nos garante que sendo f contínua existe Hx c a x ft dt com Hx fx Daí temos que Fx c a ux ft dt c a vx ft dt Hux Hvx Usando a regra da cadeia temos que Fx Hux ux Hvx vx Fx fux ux fvx vx Portanto ddx ax a vx ft dt fvx vx fux ux Segom fig ab R contínuas se fr gr para cada número irracional r em ab Então Dado x R Q já sabemos que fx gx Agora se c Q dado ε 0 existe δ 0 tal que xc δ fx fc ε2 xc δ gx gc ε2 ou seja para todo x cδ cδ vale a desigualdade acima Tomando x R Q com x cδ cδ temos fc gc fc fx fx gc fc fx gx gc fc fx gx gc ε2 ε2 ε ou seja para todo ε 0 e c a b existe δ 0 tal que fc gc ε sempre que xc δ Portanto fx gx para todo x ab Pon hipótese temos que an 0 para todo n N Daí an 1an an 1 an ou seja an 1an an para todo n N Isto implica que n1 an 1an n1 an Logo se n1 an convergir temos que n1 an 1an n1 an L ou seja n1 an 1an L e como an 1an 0 para todo n N concluimos que n1 an 1an é convergente Pon hipótese temos que 0 tn 1 e lim xn a lim yn ou seja dado ε 0 existe no N tal que n no xn a ε e yn a ε Daí usando a definição do limite temos que tn xn 1 tn yn a tn xn 1 tn yn tn a 1 tn a tnxn a 1 tn yn a tnxn a 1 tnyn a tn xn a 1 tn yn a como tn 0 e 1 tn 0 temos para todo n no que tn xn 1 tn yn tn xn a 1 tn yn a tn ε 1 tn ε ε logo por definição de limite temos que lim tn xn 1 tn yn a