Equacoes Diferenciais - Nocoes Basicas e Aplicacoes

Nocoes de Equacoes Diferenciais Vanderlea de Lima Inaba Departamento de Matematica Universidade Estadual de Maringa 2013 Sumario 1 Equacoes Diferenciais 4 2 Equacoes Diferenciais Ordinarias de Primeira Ordem 6 21 Existˆencia e Unicidade de Solucoes 6 22 Equacao de Variaveis Separaveis 7 23 Equacoes com Coeficientes Homogˆeneos 8 24 Outras Substituicoes 8 25 Equacao Exata 9 26 Fatores Integrantes 9 27 Equacao Linear 10 28 Equacao de Bernoulli 11 29 Equacao de Riccati 11 210 Equacao de Clairaut 11 211 Algumas Aplicacoes 12 2111 Problemas de Decaimento e Crescimento 12 2112 Problemas de Temperatura 12 2113 Queda dos corpos com resistˆencia do ar 12 2114 Problemas de Diluicao 13 2115 Trajetorias Ortogonais 14 3 Equacoes Diferenciais Lineares de Ordem n n 1 15 31 Existˆencia e Unicidade de Solucoes 16 32 Equacoes Homogˆeneas com Coeficientes Constantes 17 33 Independˆencia Linear e o Wronskiano 18 34 Metodo de Reducao de Ordem 19 35 Solucao Particular 20 351 Metodo dos Coeficientes a Determinar 21 2 352 Metodo de Variacao dos Parˆametros 24 36 Equacao de Euler 26 37 Movimento Vibratorio de Sistemas Mecˆanicos 27 371 Movimento livre sem amortecimento 28 372 Movimento livre com amortecimento 28 373 Movimento forcado 28 4 Sistemas de Equacoes Diferenciais Lineares 29 Capıtulo 1 Equacoes Diferenciais Uma equacao diferencial e uma equacao envolvendo derivadas de uma funcao desconhecida chamada de incognita de uma ou mais variaveis Se a funcao incognita depender apenas de uma variavel a equacao e dita ordinaria EDO e caso depende de mais de uma variavel ela e dita parcial EDP A ordem de uma equacao diferencial e a ordem da derivada de mais alta ordem da funcao incognita que ocorre na equacao Uma equacao de ordem n pode ser apresentada como Fx y y yn 0 em que x e a variavel independente y yx e a funcao incognita e yn dny dxn Uma solucao para uma equacao diferencial e uma funcao que satisfaz a equacao Fx y y yn 0 em um intervalo I A solucao mais geral possıvel que admite uma equacao diferencial e denominada solucao geral enquanto que uma solucao obtida da solucao geral e chamada de solucao particular Uma solucao singular e aquela que nao pode ser deduzida da solucao geral Apenas alguns tipos de equacoes diferenciais apresentam solucoes singulares Geometricamente a solucao geral de uma equacao diferencial representa uma famılia de curvas curvas integrais Por exemplo a solucao da equacao dydx 4x e y 2x2 k onde k e uma constante que representa uma famılia de curvas uma curva para cada valor da constante k Veja na Figura 11 as curvas integrais de y 2x2 k para k 2 1 0 e 1 Figura 11 Curvas integrais para k 2 1 0 e 1 4 Exemplos 1 yx ex é uma solução particular de y y 0 2 yx Cex é a solução geral de y y 0 3 yx senx é uma solução particular de y y 0 4 yx Asenx Bcosx é a solução geral de y y 0 Os problemas do tipo y fxy yx0 y0 são chamados de problemas de valor inicial PVI ou problemas de Cauchy Os exemplos a seguir ilustram alguns tipos e classificação de equações diferenciais Tipo Equação Ordem Grau Var dependente Var independente EDO dydx 2x 1 1ª 1º y x EDO x dydx 2y 0 1ª 1º y x EDO d2ydx23 2ydydx4 4 dydx 2x 2ª 4º y x EDP ut 3 2ux2 a 2ª 1º u tx EDP 2Zx2 2Zy2 constante 2ª 1º Z xy EDP 2φx2 2φy2 2φz2 0 2ª 1º φ xyz EDP u 2ur2 rst 5 2ª 1º u rst Capıtulo 2 Equacoes Diferenciais Ordinarias de Primeira Ordem 21 Existˆencia e Unicidade de Solucoes Considere o problema de valor inicial y y12 y0 0 Tal PVI nao tem unicidade de solucao pois y1x 0 e solucao e y2x x2 4 x 0 x2 4 x 0 tambem e solucao verifique Portanto temos duas solucoes Vemos ainda que o PVI y 3y23 y0 0 tambem nao tem unicidade de solucao pois yx 0 e solucao e observamos que para qualquer c R a funcao yc R R dada por ycx x c3 x c 0 x c tambem e solucao e portanto temos infinitas solucoes Logo dado o PVI y fx y yx y onde f e uma funcao definida num aberto A do R2 surgem as seguintes questoes 1 Sabemos que o PVI acima tem de fato uma solucao sem exibıla explicitamente 2 Como sabemos que existe somente uma solucao desse PVI Talvez existam duas trˆes ou mesmo infinitas solucoes 3 Qual a utilidade de determinarmos se tal PVI tem uma unica solucao se nao somos capazes de exibıla Para esta ultima questao podemos dizer que o fato de sabermos se o PVI tem uma unica solucao e muito importante pois a partir disto poderemos usar tecnicas computacionais para obter aproximacoes 6 da solução yx O próximo teorema nos dá condições para a existência e unicidade de soluções para o PVI Teorema 21 Existência e Unicidade Local Sejam f e fy contínuas num aberto Ω ℝ2 ab 0 tal que R xy ℝ2 x x0 a e y y0 b Sejam M maxxy Rfxt e α mina bM Então o PVI y fxy com yx0 y0 tem uma e somente uma solução yx no intervalo I x0 α x0 α Exemplos 1 Mostre que a solução yx do PVI y y2 cosx2 y0 0 existe no intervalo 0 x 12 Usaremos o teorema anterior Neste caso fxy y2 cosx2 e fy xy 2y são contínuas em qualquer retângulo R xy x a y b onde ab ℝ Calculando M maxxy Rfxt maxy b x ay2 cosx2 b2 1 vemos que yx existe para 0 x α com α min a bb21 Como apriori podemos tomar qualquer valor de a temos que o valor máximo de α será quando bb21 for máximo Este máximo é 12 Portanto o Teorema 21 garante que a solução de yx existe e é única para 0 x 12 2 Mostre que yx 1 é a única solução do PVI y x1 y y0 1 Observamos que yx 1 é solução do PVI Como fxy x1 y e fy xy x são contínuas em qualquer retângulo temos que o PVI dado tem uma única solução e portanto será yx 1 Exemplo 22 Verifique se as funções são soluções das equações diferenciais 1 y 2ex xex d2ydx2 2 dydx y 0 2 y 1 d2ydx2 2 dydx y 0 3 y A senkx B coskx ABk constantes y k2 y 4 y lnx xy y 0 para x 0 22 Equação de Variáveis Separáveis Uma EDO com variáveis separáveis é da forma y gx hy Supondo gx 0 para todo x no intervalo I temos 1 Se hy 0 temos y 0 cuja solução é y a a ℝ Essa solução é chamada de solução constante 2 Se hy 0 dividimos a equação y gx hy por hy e obtemos 1hy y gx ou melhor 1hyx yx gx Integrando temos 1hyx yx dx gx dx 23 Equações com Coeficientes Homogêneos Definição 23 Dizemos que uma função contínua f é homogênea de grau n se fλx λy λn fxy para todo λ ℝ e λx λy Domf Se f é uma função homogênea de grau 0 temos que para x 0 fxy f x 1 x yx x0 f 1 yx ou seja fxy Fyx Por exemplo fxy x2 5xyxy y2 é homogênea de grau 0 De fato fλx λy λ2 x2 5xyλ2xy y2 fxy λ 0 Além disso para x 0 fxy x2 5xyxy y2 x2 5xyx2 xy y2x2 1 5yx yx yx2 Fyx Definição 24 A EDO y fxy é dita homogênea ou de coeficientes homogêneos se a função f é homogênea de grau zero Assim uma equação homogênea pode ser escrita na forma y Fyx com x 0 Fazendo a mudança de variável v yx transformamos a equação homogênea em uma equação com variáveis separáveis De fato como y x v segue que y dydx 1 v x v Daí obtemos a equação v x v Fv Logo xv Fv v ou ainda v Fv v 1x 24 Outras Substituições Mudanças de variáveis em geral são usadas para transformar uma equação diferencial que não sabemos resolver ou mais complexa em uma outra conhecida Faremos substituições do tipo x Fuv e y Guv para F e G adequadas Homogeneização EDOs da forma y a1x b1 y c1a2 x b2 y c2 ai bi ci ℝ i 12 são homogêneas se c1 c2 0 Supondo c1 0 ou c2 0 a equação não é homogênea Antes de mais nada vamos estudar a posição relativa das retas r a1 x b1 y c1 0 e s a2 x b2 y c2 0 Dessa forma i Se a1 b1 a2 b2 0 ou seja a1 b2 a2 b1 a2a1 b2b1 k então r s e além disso temos r a1 x b1 y c1 0 e s ka1 x b1 y c2 0 Assim fazendo a mudança de variável u a1 x b1 y obtemos uma equação com variáveis separáveis De fato como u a1 b1 y segue a1 b1 y b1 a1 x b1 y c1a2 x b2 y c2 a1 u b1 u c1k u c2 a1 ii Se a1 b1 a2 b2 0 as retas r e s são concorrentes Seja x0 y0 o ponto de interseção de r e s A mudança de variáveis adequada agora é aquela na qual a origem do novo sistema de coordenadas é o ponto x y isto e u x x e v y y ou melhor x u x y v y Portanto a1x b1y c1 a1u x b1v y c1 a1u b1v a1x b1y c1 a1u b1v pois a1x b1y c1 0 uma vez que x y r e analogamente a2x b2y c2 a2u b2v Portanto segue a equacao homogˆenea nas variaveis u e v dv du a1u b1v a2u b2v 25 Equacao Exata Definicao 25 Dadas as funcoes M e N contınuas num aberto Ω R2 a EDO Mx y dx Nx y dy 0 21 e chamada exata se existir uma funcao diferenciavel V Ω R tal que V x x y Mx y e V y x y Nx y x y Ω Ou ainda se existe V tal que dV Mx y dxNx y dy Ora se dV 0 a solucao geral e V x y c que e chamada de curva integral O proximo teorema e utilizado para identificar quando uma EDO e exata Teorema 26 Teste de Exatidao Suponhamos que as funcoes M e N sejam de classe C1 num retˆangulo R x y R2a x b e c y d Entao a EDO Mx y dx Nx y dy 0 e exata se e somente se M y x y N x x y x y R 26 Fatores Integrantes Queremos resolver a equacao 2y 3x 1 xdx x dy 0 x 0 que nao e de variaveis separaveis nem homogˆenea e nem exata Note que ao multiplicala por x obtemos a equacao 2xy 3x2 1dx x2dy 0 que e exata pois M y x y 2x N x x y Neste caso a funcao µx x e chamada de fator integrante da equacao dada Definicao 27 Suponhamos que em um aberto Ω R2 a equacao Mx y dx Nx y dy 0 nao seja exata Dizemos que a funcao nao nula µ µx y definida num aberto Ω1 Ω e um fator integrante fi da equacao se a equacao µx y Mx y dx µx y Nx y dy 0 for exata em Ω1 Considere a EDO nao exata Mx y dx Nx y dy 0 em um aberto Ω R2 Supondo que M N e µ sejam de classe C1 em um retˆangulo R Ω temos que µ e um fi de se e somente se yµx yMx y xµx yNx y x y R Queremos determinar um fi µ sabendo que µ depende apenas de uma variavel 9 i μ μx Como y μxMxy x μxNxy temos que μxMy μx N μx Nx ou melhor μxMy Nx μx N ou ainda μxμx My NxN Integrando em relação a x obtemos lnμx My NxN dx e portanto seque que um fi μ μx da equação é dado por μx e My NxN dx ii μ μy De modo análogo ao item i o fi para a equação é dado por μy e Nx MyM dy 27 Equação Linear Uma EDO de primeira ordem da forma y pxy qx 22 com p e q funções contínuas num intervalo aberto I é chamada de equação linear de primeira ordem Se qx 0 para todo x I a equação é dita linear homogênea caso contrário é dita linear não homogênea Para resolver a equação 22 vamos reescrevêla na forma pxy qxdx dy 0 Tomando Mxy pxy qx e Nxy 1 segue que My px e Nx 0 i Se p 0 em I temos a solução geral de 22 dada por yx qx dx ii Se p 0 em I a equação 22 não é exata Neste caso procuraremos um fi para ela Como My NxN px então μx e px dx Assim multiplicando a equação 22 por μx temos que ye px dx pxye px dx qxe px dx ou melhor ddx yxe px dx qxe px dx Integrando obtemos ye px dx qxe px dx dx Dessa forma a solução geral da equação linear 22 é dada por yx e px dx qxe px dx dx 28 Equacao de Bernoulli A EDO de primeira ordem da forma y pxy qxyα 23 com α R p e q funcoes contınuas em um intervalo aberto I e chamada de Equacao de Bernoulli Para α 0 ou α 1 a equacao e linear Caso α 0 a funcao yx 0 e uma solucao constante para todo x I Dividindo a equacao 23 por yα obtemos y yα px 1 yα1 qx Fazendo u 1 yα1 obtemos uma equacao linear em u De fato u α 1 yα2 y yα12 1 α y yα que substituindo na equacao anterior segue a equacao u 1 α pxu qx ou ainda u px1 αu qx1 α 29 Equacao de Riccati Uma EDO de primeira ordem na forma y pxy qxy2 fx 24 com p q e f funcoes contınuas em um intervalo aberto I e qx 0 para todo x I e chamada de Equacao de Riccati Supondo que y1 seja uma solucao nao identicamente nula da equacao de Riccati 24 fazendo a mudanca de variavel y y1 1 u obtemos uma equacao linear em u 210 Equacao de Clairaut A equacao de Clairaut tem a forma y xy fy 25 Se em 25 fazemos y p obtemos y xp fp 26 Derivando 26 temos y p xp fp p e como y p entao p p xp fp p xp fp p 0 x fp p 0 p 0 ou x fp 0 Se p 0 entao p c com c R e de 26 obtemos a solucao geral y xc fc em que c R A igualdade acima representa uma famılia de retas que e solucao de 25 11 Se x fp 0 entao obtemos as seguintes solucoes singulares da equacao de Clairaut yx xpx fpx 211 Algumas Aplicacoes 2111 Problemas de Decaimento e Crescimento Seja yt a quantidade de uma determinada substˆancia ou populacao sujeita a um processo de cres cimento ou decrescimento Se admitirmos que dydt taxa de variacao da quantidade de substˆancia e proporcional a quantidade de substˆancia presente entao dy dt ky k R onde k e a constante de proporcionalidade Observacao 28 O tempo necessario para reduzir uma substˆancia a metade da quantidade inicial e chamado meiavida da substˆancia 2112 Problemas de Temperatura Lei de Resfriamento de Newton A velocidade de resfriamento de um corpo e proporcional a diferenca entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente Se T e a temperatura do corpo no instante t entao dT dt e a velocidade de resfriamento do corpo no instante t Portanto segue a EDO dT dt kT Ta k R k 0 onde Ta e a temperatura constante do ambiente e k e uma constante positiva de proporcionalidade que depende do material com que o corpo foi construıdo 2113 Queda dos corpos com resistˆencia do ar Consideremos um corpo de massa m em queda vertical influenciada apenas pela gravidade g e pela resistˆencia do ar proporcional a velocidade do corpo Admitimos que tanto a gravidade como a massa permanecam constantes e por conveniˆencia escolhemos o sentido para baixocomo sentido positivo A Segunda Lei de Newton do movimento nos diz que F m a 27 onde F e a forca resultante que atua sobre o corpo e a e a aceleracao dada por a dv dt v e a velocidade do corpo ambas consideradas no instante t Neste caso existem duas forcas atuando sobre o corpo 1 a forca devida a gravidade dada pelo peso do corpo e que e igual a mg 2 a forca devida a resistˆencia do ar dada por kv onde k 0 e uma constante de proporcionalidade 12 O sinal negativo se torna necessario porque esta forca se opoe a velocidade isto e atua no sentido para cima ou seja no sentido negativo De 27 e de a dv dt temos mg kv m dv dt ou dv dt k mv g 28 como equacao do movimento do corpo Observacao 29 1 Se a resistˆencia do ar e desprezıvel ou nao existente entao k 0 e 28 se simplifica para dv dt g 2 Quando k 0 a velocidade limite vl e definida por vl mg k 29 3 As equacoes 28 e 29 sao validas somente se as condicoes dadas forem satisfeitas Tais condicoes nao sao validas por exemplo se a resistˆencia do ar nao for proporcional a velocidade e sim ao quadrado da velocidade ou se considerar como positivo o sentido para cima 2114 Problemas de Diluicao Consideremos um tanque com uma quantidade inicial de V0 galoes de salmoura que contem a libras de sal Despejase no tanque uma outra solucao de salmoura com b libras de sal por galao a razao de e galmin enquanto simultaneamente a solucao resultante bem misturada se escoa do tanque a razao de f galmin O problema consiste em determinar a quantidade de sal presente no instante t Seja Q a quantidade de sal em libras presente no tanque num instante qualquer A taxa de variacao de Q dQdt e igual a taxa a qual o sal entra no tanque menos a taxa a qual o sal se escoa do tanque Ora o sal entra no tanque a taxa de b e lbmin Para determinar a taxa de saıda do sal devemos primeiro calcular o volume de salmoura presente no tanque no instante t que e o volume inicial V0 mais o volume adicionado e t menos o volume escoado f t Assim o volume de salmoura no instante t e V0 e t f t A concentracao de sal no tanque em um instante qualquer e dada por Q V0 e t f t de onde concluımos que o sal sai do tanque a taxa de f Q V0 e t f t lbmin Assim dQ dt b e f Q V0 e t f t ou ainda dQ dt f V0 e t f tQ b e 13 2115 Trajetorias Ortogonais Consideremos uma famılia de curvas a um parˆametro no plano xy definida por Fx y c 0 210 onde c e o parˆametro O problema consiste em determinar outra famılia de curvas chamadas trajetorias ortogonais da famılia 210 e dada analiticamente por Gx y k 0 tais que cada curva dessa famılia intercepta ortogonalmente cada curva da famılia original 210 Primeiro derivamos implicitamente 210 em relacao a x em seguida eliminamos c entre esta equacao derivada e a equacao 210 Obtemos uma equacao entre x y e y que resolvemos em relacao a y chegando a uma equacao diferencial da forma dy dx fx y As trajetorias ortogonais de 210 sao as solucoes de dy dx 1 fx y 14 Capıtulo 3 Equacoes Diferenciais Lineares de Ordem n n 1 Vimos que a EDO linear de primeira ordem e da forma y pxy qx com p e q sao funcoes contınuas e pode ser resolvida usando um fator integrante Nesta secao estudaremos EDOs lineares de ordem maior que um Definicao 31 Uma equacao diferencial linear de ordem n e da forma axdny dxn a1xdn1y dxn1 an1xdy dx anxy Fx 31 onde ax a1x an1x e anx sao frequentemente denotadas por a a1 an por simplicidade Se todos os coeficientes ax a1x an1x e anx sao constantes isto e sao numeros reais chamamos a equacao 31 de equacao diferencial linear com coeficientes constantes Entretanto se nem todos os coeficientes sao constantes dizemos que 31 e uma equacao diferencial com coeficientes variaveis Se Fx 0 entao a equacao 31 e chamada de homogˆenea A solucao geral da equacao homogˆenea axdny dxn a1xdn1y dxn1 an1xdy dx anxy 0 32 sera chamada de solucao complementar e sera denotada por yc Uma solucao selecionada da equacao 31 sera chamada de solucao particular e a denotaremos por yp Observacao 32 Nao confundir a palavra homogˆenea empregada aqui com a homˆonima usada no estudo de equacoes diferenciais homogˆeneas de primeira ordem relacionada com funcoes homogˆeneas de grau zero da secao 113 Exemplo 33 As equacoes y 5y 4y 3sen4x e 2y 5y 7y lnx2 3x3 sao equacoes diferenciais lineares com coeficientes constantes de ordens 2 e 3 respectivamente Ja as equacoes x2y 2y xy ex 3 e d4y dx4 xy 0 sao equacoes diferenciais lineares com coeficientes variaveis de ordens 2 e 4 respectivamente 15 Teorema 34 1º Teorema Fundamental Se y ux e uma solucao qualquer da equacao 31 e y vx e uma solucao qualquer da equacao 32 entao y ux vx e uma solucao de 31 Teorema 35 2º Teorema Fundamental A solucao geral da equacao 31 pode ser obtida encontrando se uma solucao particular yp desta equacao e somandoa a solucao complementar yc que e solucao geral da equacao 32 Exemplo 36 Encontre a solucao geral de y 5y 6y 3x A equacao homogˆenea associada a equacao dada e y 5y 6y 0 Veremos mais adiante como achar as solucoes dessas equacoes Por enquanto vamos verificar que yc c1e3x c2e2x e a solucao complementar ou seja e solucao da equacao homogˆenea Tambem pode se verificar que yp 1 2x 5 12 e uma solucao particular da equacao dada Logo do 2º Teorema Fundamental temos que a solucao geral que procuramos e y yc yp c1e3x c2e2x 1 2x 5 12 Estudaremos como obter as solucoes complementar e particular da equacao 31 nas secoes seguintes para o caso mais importante em que as equacoes diferenciais tem coeficientes constantes O caso de coeficientes variaveis somente pode ser resolvido de uma forma exata em algumas situacoes especiais Os problemas do tipo axdny dxn a1xdn1y dxn1 an1xdy dx anxy Fx yx y yx y1 yn1x yn1 33 sao chamados de problema de valor inicial PVI 31 Existˆencia e Unicidade de Solucoes Teorema 37 Existˆencia e Unicidade Sejam ax 0 a1x anx e Fx funcoes contınuas no intervalo a x b e suponha que y y1 yn1 sao constantes dadas Entao existe uma unica solucao yx satisfazendo o PVI 33 com a x b Como no Teorema de Existˆencia e Unicidade para equacoes de primeira ordem este teorema fornece somente condicoes suficientes Isto e se as condicoes afirmadas no teorema nao sao satisfeitas a solucao unica podera ainda existir Exemplo 38 Dado o PVI y 4y 12x y0 4 y0 1 a funcao y 3e2x e2x 3x e solucao para o PVI Se for solucao esta solucao e unica Temos y 6e2x 2e2x 3 e y 12e2x 4e2x Assim 16 y 4y 12e2x 4e2x 43e2x e2x 3x 12e2x 4e2x 12e2x 4e2x 12x 12x Ou seja y e solucao da equacao Alem disso y0 3e0 e0 30 4 e y0 6e0 2e0 3 1 Logo y e solucao do PVI Note que a equacao e linear os coeficientes e Fx 3x sao contınuas e a 1 0 em qualquer intervalo contendo x x 0 Portanto do teorema anterior y e a unica funcao que e solucao do PVI 32 Equacoes Homogˆeneas com Coeficientes Constantes Nesta secao estudaremos metodos para obter a solucao geral da equacao linear homogˆenea com coeficientes constantes ayn a1yn1 any 0 34 Associaremos a equacao acima a equacao aλn a1λn1 an 0 chamada de Equacao Caracterıstica ou Equacao Auxiliar Veremos que a solucao da equacao 34 e uma funcao exponencial do tipo y eλx Dessa forma a funcao y eλx e solucao de 34 se e somente se λ for raız da equacao caracterıstica aλn a1λn1 an 0 Estudaremos a solucao da equacao 34 a partir dos tipos de raızes da equacao caracterıstica 1º CASO A equacao caracterıstica tem k raızes reais distintas 1 k n λ1 λ2 λk Neste caso a solucao correspondente a essas k raızes e da forma yx c1eλ1x c2eλ2x ckeλkx com ci R 2º CASO A equacao caracterıstica tem uma raız real λ de multiplicidade k 1 k n As funcoes y1 eλx y2 xeλx yk xk1eλx sao solucoes da equacao 34 e a solucao corres pondente a essas k raızes iguais e dada por yx c1eλx c2xeλx ckxk1eλx com ci R 3º CASO A equacao caracterıstica tem pares distintos de raızes complexas conjugadas λ1 αβi e λ2 α βi α β R e β 0 Para cada par distinto as funcoes y1 eαxcosβx e y2 eαxsenβx sao solucoes de 34 e a solucao correspondente a cada par desse e dada por yx eαxc1cosβx c2senβx c1 c2 R 4º CASO A equacao caracterıstica tem pares de raızes complexas conjugadas λ1 α βi e λ2 α βi de multiplicidade k 1 k n 2 17 As funções y1 eαx cosβx y2 xeαx cosβx yk xk1 eαx cosβx e w1 eαx senβx w2 xeαx senβx wk xk1 eαx senβx são soluções de 34 e a solução correspondente a esses k pares distintos de soluções é a combinação linear deles dada por yx Σ i1 to k ci yi ai wi com ci ai R 33 Independência Linear e o Wronskiano Consideremos a equação diferencial y 6y 11y 6y 0 De acordo com a seção anterior como a equação característica associada a essa equação possui as raízes λ 1 λ 2 e λ 3 que nos fornecem ex e2x e e3x como soluções então a solução geral dessa equação é a função yx c1 ex c2 e2x c3 e3x Suponha contudo que de alguma forma tenhamos chegado às três funções e2x 2ex 5e2x 4ex ex e2x as quais como podemos verificar são todas soluções Podemos então dizer que yx Ae2x 2ex B5e2x 4ex Cex e2x com A B C constantes é a solução geral Se observarmos notaremos que a última função pode ser escrita como yx 2A 4B C ex A 5B C e2x ou yx c1 ex c2 e2x que não possui três constantes arbitrárias e portanto não pode ser a solução geral Note que existem três constantes a b c nem todas nulas tais que ae2x 2ex b5e2x 4ex cex e2x 0 por exemplo a 3 b 1 e c 2 Neste caso apesar de termos três soluções elas são de alguma forma dependentes Isso nos leva a seguinte definição Definição 39 Um conjunto de funções distintas y1x y2x ynx que denotaremos simplesmente por y1 y2 yn é dito linearmente dependente LD em um intervalo I se existe um conjunto α1 α2 αn de constantes nem todas nulas tais que no intervalo I tenhamos α1 y1 α2 y2 αn yn 0 Por outro lado o conjunto é dito linearmente independente LI em I se α1 y1 α2 y2 αn yn 0 implicar que α1 α2 αn 0 Na resolução de equações diferenciais lineares que fizemos até aqui usamos o conceito de independência linear sem no entanto definirmos tal conceito Por exemplo de acordo com a seção anterior na resolução da equação y 3y 2y 0 obtivemos ex e e2x como soluções e então a solução geral é yx c1 ex c2 e2x Estávamos assumindo implicitamente a independência linear destas funções Vamos mostrar que de fato as funções ex e e2x são LI Para isso vamos supor que existam α1 α2 R tais que α1 ex α2 e2x 0 Dividindo ambos os membros por ex obtemos α2 ex α1 o que é impossível a menos que α1 α2 0 Portanto as funções são linearmente independentes Na sequência apresentamos uma condição para a independência linear de funções Teorema 310 Sejam y1 y2 yn soluções da equação linear homogênea 32 e diferenciáveis pelo menos n 1 vezes O conjunto de funções y1 y2 yn é linearmente independente num intervalo I se e somente se Wy1 y2 yn y1 y2 yn y1 y2 yn y1n1 y2n1 ynn1 0 em I Definição 311 O determinante Wy1 y2 yn do teorema anterior é chamado de Wronskiano de y1 y2 yn e o denotaremos simplesmente por W Exemplo 312 Sejam y1 ex e y2 e2x Como W y1 y2 y1 y2 ex e2x ex 2e2x e3x que não é identicamente nulo então as funções y1 e y2 são LI em qualquer intervalo Teorema 313 Sejam y1 y2 yn soluções LI para a equação homogênea 32 Então toda solução para 32 é da forma y c1 y1 c2 y2 cn yn com ci R Observação 314 1 A solução y c1 y1 c2 y2 cn yn do teorema anterior é chamada solução geral da equação 32 2 y1 y2 yn é chamado conjunto fundamental de soluções sempre existe esse conjunto para algum I Exemplo 315 Note que as funções y1 ex e y2 e2x são soluções da equação y 3y 2y 0 verifique Do Exemplo 312 essas funções são LI Portanto pelo teorema anterior a solução geral para a equação y 3y 2y 0 é y c1 ex c2 e2x 34 Método de Redução de Ordem Dada uma solução não constante y1x da equação y a1xy a2xy 0 35 com a1x e a2x contínuas para todo x I podemos encontrar uma segunda solução y2x vx y1x LI com y1x reduzindo a ordem da equação 35 Para isso temos i Queremos que y1x e y2x sejam soluções LI de 35 Então calculemos Wy1y2 Wy1y2 y1 vy1 y12v y1y1 v y1y1 v y12v 0 pois v não pode ser y1 vy1 vy1 constante uma vez que v 0 ii Para obtermos a função v derivamos duas vezes a função y2 vy1 em relação a x e substituímos em 35 Temos y2 vy1 vy1 e y2 v y1 2vy1 vy1 Portanto y2 a1xy2 a2xy2 0 v y1 2v y1 vy1 a1xvy1 a1xvy1 a2xvy1 0 vy1 a1xy1 a2xy10 v y1 2v y1 a1xvy1 0 v 2y1y1 a1x v 0 para todo x I com y1x 0 Fazendo u v na equação v 2y1y1 a1x v 0 segue a EDO linear de primeira ordem em u u 2y1y1 a1x u 0 cuja solução é ux e2y1y1 a1x dx Assim vx ux elny12 a1xdx ea1xdx y1x2 Logo vx ea1xdx y1x2 dx e portanto a solução procurada é y2x y1x ea1xdx y1x2 dx e a solução geral da equação 35 é a combinação linear de y1 e y2 Exemplo 316 Dadas as EDOs abaixo verifique se a função indicada é solução da equação no intervalo dado e obtenha sua solução geral 1 3xy y 0 y1 1 em 0 Resp yx c1 34 c2 x43 2 x2 y 3xy 4y 0 y1 x2 em 0 Resp yx c1 x2 c2 x2 ln x 35 Solução Particular Dos Teoremas 34 e 35 para obter a solução geral de aoxdn ydxn a1x dn1 ydxn1 an1x dydx anx y Fx 36 precisamos encontrar uma solucao particular desta equacao e somala com a solucao geral da equacao homogˆenea axdny dxn a1xdn1y dxn1 an1xdy dx anxy 0 37 Nesta secao estudaremos como obter solucoes particulares da equacao nao homogˆenea 36 Existem mui tos metodos para a obtencao de solucoes particulares Estudaremos dois deles o Metodo dos Coeficientes a Determinar e o Metodo da Variacao de Parˆametros 351 Metodo dos Coeficientes a Determinar Esse metodo se aplica as equacoes diferenciais 36 com coeficientes constantes em que a funcao Fx pertence a uma classe de funcoes relativamente pequena funcoes polinomiais exponenciais senos cossenos ou combinacoes de somas e produtos destes Estudaremos esse metodo a partir dos seguintes exemplos Exemplo 317 Determine a solucao de y 4y 2y 2x2 3x 6 1º passo Resolver a equacao homogˆenea y 4y 2y 0 Para isso associamos a equacao caracterıstica λ2 4λ 2 0 cujas raızes sao λ1 2 6 e λ1 2 6 Logo a solucao complementar e yc c1e2 6x c2e2 6x 2º passo A funcao Fx 2x23x6 e um polinˆomio quadratico logo supomos que a solucao particular seja da forma yp Ax2BxC em que os coeficientes A B e C precisam ser determinados Substituindo yp e as derivadas y p 2Ax B e y p 2A na EDO dada obtemos y p 4y p 2yp 2x2 3x 6 2A 42Ax B 2Ax2 Bx C 2x2 3x 6 2A 8Ax 4B 2Ax2 2Bx 2C 2x2 3x 6 2Ax2 8A 2Bx 2A 4B 2C 2x2 3x 6 Comparando os polinˆomios da ultima igualdade devemos ter 2A 2 8A 2B 3 2A 4B 2C 6 A 1 2B 3 8 2A 4B 2C 6 A 1 B 52 2C 6 2 10 A 1 B 52 C 9 Assim yp x2 5 2x 9 3º passo A solucao geral para a EDO dada e y yc yp c1e2 6x c2e2 6x x2 5 2x 9 Exemplo 318 Determine a solucao de y 3y 4y 3e2x 1º passo Resolver a equacao homogˆenea y 3y 4y 0 A essa equacao associamos a equacao caracterıstica λ2 3λ 4 0 cujas raızes sao λ 4 e λ 1 Assim a solucao complementar e yc c1e4x c2ex 21 2º passo A funcao Fx 3e2x e exponencial Como procuramos uma funcao yp tal que y p 3y p 4yp 3e2x e a derivada de uma funcao exponencial e um multiplo dela mesma logo supomos que a solucao particular seja da forma yp Ae2x Para determinar A vamos calcular y p 2Ae2x e y p 4Ae2x e substituir na EDO dada Ou seja y 3y 4y 3e2x 4Ae2x 32Ae2x 4Ae2x 3e2x 4A 6A 4Ae2x 3e2x 6Ae2x 3e2x A 1 2 Assim yp 1 2e2x 3º passo A solucao geral para a EDO dada e y yc yp c1e4x c2ex 1 2e2x Exemplo 319 Determine a solucao de y 3y 4y 2senx 1º passo No Exemplo 318 obtemos a solucao complementar yc c1e4x c2ex 2º passo Nesse caso temos Fx 2senx Entao procuramos uma funcao yp que dependa da funcao senx Como a derivada dessa funcao e cosx entao supomos que a solucao particular seja da forma yp AsenxBcosx em que A e B sao constantes a serem determinadas Assim y p AcosxBsenx e y p Asenx Bcosx que substituindo na EDO dada e juntando os termos segue A 3B 4Asenx B 3A 4Bcosx 2senx 5A 3B 2 3A 5B 0 A 5 17 B 3 17 Logo a solucao particular e yp 5 17senx 3 17cosx 3º passo A solucao geral para a EDO dada e y yc yp c1e4x c2ex 5 17senx 3 17cosx Para resumir nossas conclusoes ate agora se o termo nao homogˆeneo Fx na Equacao 36 for um polinˆomio suponha que yp seja um polinˆomio de mesmo grau se Fx for uma funcao exponencial eαx suponha entao que yp Aeαx se Fx for igual a senβx ou cosβx suponha que yp seja uma combinacao linear de senβx e cosβx isto e yp A senβx B cosβx O mesmo princıpio se estende ao caso em que Fx e um produto ou soma de quaisquer dois ou trˆes desses tipos de funcoes como mostra os proximos exemplos respectivamente Exemplo 320 Determine a solucao de y 3y 4y 8excos2x 1º passo Vimos no Exemplo 318 que a solucao complementar e yc c1e4x c2ex 2º passo Nesse caso a funcao yp e um produto de ex com uma combinacao linear de cos2x e sen2x isto e yp Aexcos2x Bexsen2x Assim y p A 2Bexcos2x 2A Bexsen2x e y p 3A4Bexcos2x4A3Bexsen2x Substituindo essas expressoes na EDO dada obtemos 10A 2B 8 2A 10B 0 A 10 13 B 2 13 Logo a solucao particular e yp 10 13excos2x 2 13exsen2x 3º passo A solucao geral para a EDO dada e y yc yp c1e4x c2ex 10 13excos2x 2 13exsen2x 22 Exemplo 321 Determine a solucao de y 3y 4y 3e2x 2senx 8excos2x Separando a expressao a direita do sinal de igualdade obtemos trˆes equacoes y 3y 4y 3e2x y 3y 4y 2senx e y 3y 4y 8excos2x Foram encontradas solucoes dessas trˆes equacoes nos Exemplos 318 319 e 320 respectivamente Portanto uma solucao particular da EDO dada e a soma das solucoes particulares dessas equacoes isto e yp 1 2e2x 5 17senx 3 17cosx 10 13excos2x 2 13exsen2x Portanto a solucao geral e y c1e4x c2ex 1 2e2x 5 17senx 3 17cosx 10 13excos2x 2 13exsen2x O procedimento ilustrado nesses exemplos nos permite resolver uma grande classe de problemas de um modo razoavelmente facil No entanto existe uma dificuldade que ocorre as vezes O proximo exemplo mostra como isso acontece Exemplo 322 Determine a solucao de y 4y 3cos2x Procedendo como nos exemplos anteriores obtemos a solucao complementar yc c1cos2xc2sen2x Em seguida procuramos uma funcao yp que seja solucao particular da EDO dada Como no Exemplo 319 supomos yp Acos2x Bsen2x que substituindo na EDO dada obtemos 4A 4Acos2x 4B 4Bsen2x 3cos2x 0cos2x 0sen2x 3cos2x De acordo com a ultima igualdade nao existe escolha de A e de B que satisfaca a equacao Portanto nao existe solucao particular da EDO dada que tenha a forma suposta Isso ocorre pois ao resolvermos a equacao homogˆenea y 4y 0 obtemos que as funcoes y1 cos2x e y2 sen2x sao solucoes desta equacao Assim a forma suposta da solucao particular era de fato solucao da equacao homogˆenea em consequˆencia nao pode ser solucao da equacao nao homogˆenea Para encontrar uma solucao particular da EDO dada temos portanto que considerar uma forma um pouco diferente As funcoes mais simples diferentes de cos2x e sen2x que ao serem diferenciadas contˆem termos envolvendo cos2x e sen2x sao x cos2x e x sen2x Entao vamos supor que yp Ax cos2x Bx sen2x Calculando y p e y p e substituindo na EDO dada segue 4Asen2x 4Bcos2x 3cos2x A 0 e B 34 Logo uma solucao particular e yp 3 4x sen2x Portanto a solucao geral da EDO dada e y yc yp c1cos2x c2sen2x 3 4x sen2x 23 Tabela 31 A solucao particular yp de ay by cy Fix Fix yp Pnx axn a1xn1 an xsAxn A1xn1 An Pnxeαx xsAxn A1xn1 Aneαx Pnxeαx senβx cosβx xsAxn A1xn1 Aneαxcosβx Bxn B1xn1 Bneαxsenβx Observacao s denota o menor inteiro naonegativo s01 ou 2 que garanta que nenhuma parcela de yp seja solucao da equacao homogˆenea correspondente Equivalentemente para os trˆes casos s e o numero de vezes que 0 e uma raiz da equacao caracterıstica α e uma raiz da equacao caracterıstica e α βi e uma raiz da equacao caracterıstica respectivamente 352 Metodo de Variacao dos Parˆametros Esse metodo tambem e usado para encontrar uma solucao particular da equacao naohomogˆenea 36 E conhecido como Metodo de Lagrange Comparado ao metodo dos coeficientes a determinar a principal vantagem da variacao de parˆametros e que este ultimo e um metodo geral Vejamos um exemplo Exemplo 323 Encontre a solucao de y 4y 3cossecx Primeiro observe que Fx 3cossecx e essa funcao nao se enquadra no grupo de funcoes do metodo dos coeficientes a determinar uma vez que o termo naohomogˆeneo Fx envolve um quociente em vez de soma ou produto de cosx ou senx Precisamos portanto de uma abordagem diferente A equacao homogˆenea associada a EDO dada e y 4y 0 e sua solucao geral e yc c1cos2x c2sen2x A ideia basica no metodo de variacao de parˆametros e substituir as constantes c1 e c2 da solucao complementar yc por funcoes Ax e Bx respectivamente e depois determinar essas funcoes de modo que a expressao resultante y Axcos2x Bxsen2x seja solucao da equacao naohomogˆenea dada Para isso devemos impor algumas condicoes A primeira condicao e imposta pelo fato da funcao y Axcos2x Bxsen2x ser solucao da equacao naohomogˆenea Temos y 2Axsen2x 2Bcos2x Axcos2x Bxsen2x Como estamos procurando uma solucao da equacao naohomogˆenea temos liberdade para escolher a segunda condicao que deve ser imposta Para simplificar os calculos convenientemente exigimos que Axcos2x Bxsen2x 0 Disso segue a equacao y 2Axsen2x 2Bcos2x Assim y 4Axcos2x 4Bxsen2x 2Axsen2x 2Bxcos2x Substituindo y e y na EDO dada obtemos 2Axsen2x 2Bxcos2x 3cossecx 24 Então queremos escolher Ax e Bx de modo a satisfazer as equações Axcos2x Bx sen2x 0 2Ax sen2x 2Bx cos2x 3cosecx Resolvendo esse sistema obtemos Bx Ax cos2xsen2x que substituindo na segunda equação do sistema segue Ax 3 cosecx sen2x 2 3cosx Agora substituindo essa expressão para Ax de volta na equação Bx Ax cos2xsen2x e usando as fórmulas para o ângulo duplo vemos que Bx 3cosx cos2xsen2x 31 2sen2 x 2 senx 32 cosecx 3senx Integrando Ax e Bx obtemos Ax 3senx c1 e Bx 32 lncosecx cotgx 3cosx c2 Logo a solução procurada é y 3 senx cos2x 32 lncosecx cotgx sen2x 3 cosx sen2x c1 cos2x c2 sen2x As parcelas na solução geral envolvendo as constantes c1 e c2 correspondem à solução da equação homogênea associada enquanto a soma restante forma uma solução particular da equação nãohomogênea Portanto a equação encontrada é a solução geral da EDO dada Esse método é justificado pelo seguinte teorema Teorema 324 Se as funções p q e F são contínuas em um intervalo aberto I e se yc c1 y1x c2 y2x for a solução complementar da equação homogênea associada à equação nãohomogênea y pxy qxy Fx então uma solução particular para essa última equação é yp y1x y2x Fx Wy1y2x dx y2x y1x Fx Wy1y2x dx e a solução geral é y c1 y1x c2 y2x yp onde Wy1y2 é o Wronskiano de y1 e y2 Exemplo 325 Sabendo que y1x x2 e y2x x1 são soluções da EDO homogênea associada à equação não homogênea x2 y 2y 3x2 1 x 0 determine a solução geral da EDO Primeiro vamos reescrever a EDO dada y 2x2 y 3 1x2 Nesse caso Fx 3 1x2 Temos que Wy1y2 x2 x1 1 2 3 2x x2 Logo pelo teorema anterior a solução particular da EDO é dada por yp x2 x1 3 1x2 3 dx 1x x2 3 1x2 3 dx x23 3x1 x3 dx 13x 3x2 1 dx x23 3 ln x x22 13x x3 x x2 ln x 12 x23 Portanto a solução geral é yx c1 x2 c2 x1 x2 ln x 12 x2 3 36 Equação de Euler É uma EDO da forma xn yn an1 xn1 yn1 a0 y 0 em que x 0 e ai ℝ para todo i 0 n1 Estudaremos a solução da equação diferencial de Euler de ordem 2 ou seja a equação x2 y α x y β y 0 38 com α β ℝ A equação 38 tem uma solução da forma yx c1 y1x c2 y2x em que y1 e y2 são linearmente independentes Consideremos x 0 Note que xr r xr1 e xr r r 1 xr2 Logo supondo que temos uma solução da forma y xr da equação 38 obtemos x2 r r 1 xr2 α x r xr1 β xr 0 r r 1 xr α r xr β xr 0 r r 1 α r β xr 0 r2 α 1 r β xr 0 r2 α 1 r β 0 39 A equação 39 é chamada de equação indicial da equação 38 Dessa forma se r é raiz da equação indicial então y xr é uma solução da equação 38 Analisemos as raízes r1 e r2 dessa equação 1º CASO Raízes reais e distintas r1 r2 Temos duas soluções da forma y1 xr1 e y2 xr2 Para sabermos se essas soluções são LI temos W xr1 xr2 r2 r1 xr1 r2 1 0 x 0 r1 xr1 1 r2 xr2 1 Logo a solução geral da equação de Euler é a combinação linear de y1 e y2 isto é yx c1 xr1 c2 xr2 com c1 c2 ℝ 2º CASO Raízes reais e iguais r1 r2 Neste caso temos apenas uma solução da forma y1 xr e de acordo com o método de redução de ordem aplicado à equação y αx y βx2 y 0 a outra solução LI com y1 é dada por y2x y1x e αx dx y1x2 dx xr eα ln x xr2 dx xr xα x2r dx xr 1 x2r xα dx Como r é solução real de multiplicidade 2 da equação 39 segue que r 1α2 Assim y₂xxʳ 1x¹ᵅ xᵅ dx xʳ 1x dx xʳ ln x Portanto a solução geral da equação de Euler 38 é dada por yx c₁xʳ c₂xʳ ln x com c₁ c₂ ℝ 3º CASO Raízes complexas conjugadas r₁ α βi e r₂ α βi Neste caso as funções y₁ xᵅ cosβ ln x e y₂ xᵅ senβ ln x são soluções LI da equação 38 Portanto a solução geral é yx xᵅ c₁ cosβ ln x c₂ senβ ln x c₁c₂ ℝ Observação 326 1 Os resultados acima também são válidos para x 0 2 As soluções da equação de Euler da forma x xₒ² y αx xₒ y β y 0 são semelhantes às obtidas acima bastanto substituir x xₒ no lugar de x nas soluções 37 Movimento Vibratório de Sistemas Mecânicos Estudaremos o movimento de uma massa presa a uma mola fixa numa extremidade e livre para vibrar na vertical veja a figura a seguir Figura 31 Sistema massamola Supondo que um corpo de massa m está preso à mola e que o sistema todo fica em equilíbrio com o peso no ponto y 0 localizado s unidades abaixo do comprimento natural l da mola temos as seguintes forças agindo sobre o corpo 1 Força da gravidade F₁ mg 2 Força de restauração da mola F₂ Pela Lei de Hooke se k é a constante da mola para um estiramento y s temos F₂ ky s 3 Força da resistência do meio amortecimento F₃ a dydt a 0 é a constante de amortecimento 4 Resultante das forças externas que agem sobre o corpo F Aplicando a 2ª Lei de Newton temos a equação diferencial m d²ydt² F₁ F₂ F₃ F ou melhor m d²ydt² mg ky s a dydt Ft Assim obtemos a equação do movimento do corpo my ay ky Ft onde a é a constante de amortecimento k é a constante da mola e m é a massa do corpo 371 Movimento livre sem amortecimento Não existe força externa movimento livre nem resistência do meio sem amortecimento Neste caso Ft 0 e a 0 Assim temos a equação diferencial my ky 0 cuja solução geral é yt c₁ cosω₀ t c₂ sen ω₀ t em que ω₀ km é a frequência angular Temos que yt é chamado de Movimento Harmônico Simples O deslocamento máximo do corpo chamado de amplitude A é dado por A c₁² c₂² O período T do movimento é dado por T 2πω₀ e a frequência natural é dada por 1T ω₀2π Em geral o movimento pode ser escrito na forma yt A senω₀ t ϕ em que ϕ é o ângulo de fase 372 Movimento livre com amortecimento Não existe força externa F 0 Nesse caso obtemos uma equação diferencial com coeficientes constantes isto é my ay ky 0 1º Caso Subamortecimento Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas r₁ α ω₀ i e r₂ α ω₀ i α 0 e ω₀ 0 o movimento é descrito por yt eᵅt c₁ cosω₀ t c₂ sen ω₀ t em que eᵅt é chamado de fator de amortecimento 2º Caso Amortecimento crítico Quando a equação característica tem raízes reais negativas e iguais r₁ r₂ r o movimento é dado por yt c₁ eʳt c₂ t eʳt Como r 0 limᵗ yt 0 3º Caso Super amortecimento Quando as raízes da equação característica são reais negativas e distintas r₁ e r₂ temos o movimento dado por yt c₁ eʳ¹t c₂ eʳ²t Ainda limᵗ yt 0 373 Movimento forçado Quando a frequência de uma força externa periódica aplicada a um sistema mecânico é igual ou ligeiramente inferior à frequência natural do sistema ressonâncias mecânicas podem ocorrer as quais provocam oscilações de tremenda magnitude que podem levar o sistema a entrar em colapso Capıtulo 4 Sistemas de Equacoes Diferenciais Lineares Um sistema de n equacoes diferenciais lineares de primeira ordem e da forma x 1 a11tx1 a12tx2 a1ntxn g1t x 2 a21tx1 a22tx2 a2ntxn g2t x n an1tx1 an2tx2 anntxn gnt Se gi 0 em um intervalo I para todo 1 i n dizemos que o sistema acima e homogˆeneo O sistema acima pode ser escrito na forma matricial X AtX Gt 41 com At a11t a12t a1nt a21t a22t a2nt an1t an2t annt Xt x1t x2t xnt Gt g1t g2t gnt e Xt x 1t x 2t x nt Teorema 41 Existˆencia e Unicidade Seja X AtX Gt um sistema de n EDOs lineares de primeira ordem definido em um intervalo I como 41 com as funcoes aij e gi contınuas em I Entao dados t I e X Rn existe uma unica solucao X Xt de 41 definida em I tal que Xt X Teorema 42 Se Xt x1t x2t xnt e ˆXt ˆx1t ˆx2t ˆxnt sao solucoes do sistema homogˆeneo X AtX entao qualquer combinacao linear c1X c2 ˆX com c1 c2 R tambem e solucao desse sistema homogˆeneo Teorema 43 Teste para independˆencia linear Sejam X1t X2t Xkt solucoes do sistema homogˆeneo X AtX em I e seja t I Entao X1t X2t Xkt sao solucoes linearmente in 29 dependentes LI se e somente se os vetores X1t X2t Xkt sao linearmente independentes em Rn Teorema 44 A dimensao do espaco de solucoes S de qualquer sistema homogˆeneo n n X AtX e n Dessa forma se conhecermos n solucoes LI X1t X2t Xkt do sistema homogˆeneo X AtX entao toda solucao desse sistema sera dada por Xt c1X1t c2X2t cnXnt com ci R para todo i 1 n que e a solucao geral de X AtX Resolucao de sistemas de EDOs lineares homogˆeneas de primeira ordem com coeficientes constantes Metodo dos Autovalores e Autovetores Dado o sistema homogˆeneo X AX com Xt x1t x2t xnt e A aij aij R 1 i j n queremos determinar n solucoes LI X1t X2t Xnt Analogamente ao estudo de EDO procuraremos solucoes do sistema X AX que sejam da forma Xt eλtv onde v v1 v2 vn 0 0 0 vi R 1 i n e λ R Observando que d dteλtv λeλtv e Aeλtv eλtAv ao substituir Xt eλtv em X AX obtemos λeλtv eλtAv Portanto Xt eλtv e solucao do sistema se e somente se Av λv Dessa forma Xt eλtv e solucao de X AX se e somente se λ e v satisfazem a equacao Av λv Definicao 45 Os valores de λ para os quais a equacao Av λv tem solucao naonula sao chamados de autovalores ou valores proprios de A E para cada autovalor λ os vetores naonulos que satisfazem a equacao Av λv sao chamados de autovetores ou vetores proprios de A correspondentes a λ Note que a equacao Av λv e equivalente a equacao A λIv 0 onde I e a matriz identidade n n Para que a equacao A λIv 0 tenha solucao v 0 a matriz A λI nao pode ser invertıvel Assim devemos ter detA λI 0 Como pλ detAλI e o polinˆomio caracterıstico de A um polinˆomio de grau n ele tem n raızes λ1 λ2 λn Dessa forma temos trˆes casos para analisar 1º Caso Autovalores reais e distintos λ1 λ2 λn Como autovetores correspondentes a autovalores distintos sao LI temos que os autovetores v1 v2 vn de A correspondentes respectivamente aos autovalores reais distintos λ1 λ2 λn sao LI 30 Assim as n funções X₁t eλ₁t v₁ X₂t eλ₂t v₂ Xₙt eλₙt vₙ são soluções LI de X A X Exemplo 46 Determine a solução do PVI x x 3y y x y x0 1 y0 7 As equações simultâneas acima podem ser escritas na seguinte forma X 1 31 1 X onde X x y e a matriz dos coeficientes é dada por A 1 31 1 X0 17 O polinômio característico é dado por pλ detA λ I 1λ 31 1λ λ² 4 Logo os autovalores de A são λ₁ 2 e λ₂ 2 reais distintos Para λ₁ 2 procuramos um vetor v₁ a b 00 tal que A 2I v₁ 0 ou seja 1 3 1 3 a b 00 Resolvendo o sistema a 3b 0 a 3b 0 obtemos o autovetor v₁ 31 para λ₁ 2 e portanto uma solução do sistema dado é X₁t e²t 31 Para λ₂ 2 obtemos um autovetor v₂ 1 1 e uma outra solução X₂t e²t 11 Como λ₁ λ₂ as soluções X₁ e X₂ são soluções LI Dessa forma a solução geral do sistema dado é dada por Xt c₁ X₁t c₂ X₂t c₁ 3e²t e²t c₂ e²t e²t ou melhor Xt Yt 3 c₁ e²t c₂ e²t c₁ e²t c₂ e²t c₁ c₂ ℝ Como temos a condição inicial X0 17 segue que c₁ 2 e c₂ 5 Logo a solução do PVI dado é XtYt 6 e²t 5 e²t 2 e²t 5 e²t 2º Caso Autovalores complexos λ α βi β 0 Como λ é raiz do polinômio característico de coeficientes reais então seu conjugado λ α βi também é autovalor de A Além disso se z é um autovetor correspondente à λ então z é um autovetor correspondente à λ Nesse caso as funções X₁t eαt Fλ cosβt Hλ sen βt e X₂t eαt Hλ cosβt Fλ senβt em que Fλ zλ zλ2 e Hλ zλ zλ2 i são soluções LI do sistema Exemplo 47 Resolva o sistema X 1 1 5 3 X O polinômio característico é pλ detA λI 1 λ 1 5 3 λ λ2 2λ 2 0 Logo os autovalores são λ 1 i e λ 1 i Para λ 1 i temos que determinar zλ z1 z2 0 0 tal que Azλ 1 izλ isto é 1 1 5 3 z1 z2 z1 z1 i z2 z2 i z1 z2 5z1 3z2 z1 z1 i z2 z2 i z1 z2 z1 z1 i 5z1 3z2 z2 z2 i 2z1 z2 z1 i 5z1 2z2 z2 i 4z1 2z2 2z1 i 5z1 2z2 z2 i Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos z1 z2 i 2z1 i Fazendo z1 1 segue z2 i 1 2i ou ainda z2 1 2ii ii i 2i2 i2 z2 2 i Logo um autovalor associado à λ 1 i é zλ 1 2 i Assim um autovetor associado à λ 1 i é zλ 1 2 i Dessa forma as soluções LI do sistema dado são X1t et Fλ cost Hλ sent e X2t et Hλ cost Fλ sent em que Fλ zλ zλ2 1 2 e Hλ zλ zλ2 i 0 1 Logo X1t et 1 2 cost 0 1 sent et cost 2cost sent e X2t et 0 1 cost 1 2 sent et sent cost 2sent Portanto a solução geral do sistema dado é da forma Xt c1 X1t c2 X2t et c1 cost c2 sent 2c1 c2 cost c1 2c2 sent 3º Caso Autovalores reais de multiplicidade k 1 k n Se λ1 λ2 λk λ é um autovalor de A podemos ter duas situações i Existir k autovalores LI correspondentes à λ ii Existir menos que k autovalores LI para λ Em i como no primeiro caso se v1 v2 vk forem os autovetores LI correspondentes à λ então as funções eλt v1 eλt v2 eλt vk serão k soluções LI do sistema Exemplo 48 Determine a solução do sistema X 3 2 4 2 0 2 4 2 3 X pλ detA λI 3 λ 2 4 2 λ 2 4 2 3 λ 0 λ 12 λ 8 0 Assim os autovalores de A são λ1 8 e λ2 λ3 1 λ Para λ1 8 vamos determinar v1 a b c 0 0 0 tal que Av1 λ1 v1 ou seja 3 2 4 2 0 2 4 2 3 a b c 8a 8b 8c 3a 2b 4c 8a 2a 2c 8b 4a 2b 3c 8c a c 2b Logo um autovetor de A associado à λ1 8 é v1 2 1 2 e uma solução do sistema é dada por X1 e8t 2 1 2 Para λ 1 vamos encontrar v2 a b c 0 0 0 tal que Av2 λv2 ou seja 3a 2b 4c a 2a 2c b 4a 2b 3c c b 2a 2c Se a 1 e c 0 temos b 2 e assim v2 1 2 0 Por outro lado se a 0 e c 1 temos b 2 e assim v3 0 2 1 Sendo v2 e v3 LI então teremos duas soluções LI associadas ao autovalor λ que são X2 et 1 2 0 e X3 et 0 2 1 Portanto a solução geral do sistema é Xt c1 X1 c2 X2 c3 X3 2c1 e8t c2 et c1 e8t 2c2 et 2c3 et 2c1 e8t c3 et Em ii haverá menos que k soluções do sistema X AX da forma eλt associada a esse autovalor λ Portanto para construir a solução geral do sistema é preciso encontrar outras soluções de forma diferente Se existem l autovetores LI v1 v2 vl com l k asssociados à λ então eλt v1 eλt v2 eλt vl serão soluções LI Como encontrar mais k l soluções LI à partir das l soluções Suponha que λ seja um autovalor de A com multiplicidade 2 e a dimensão do autoespaço associado é 1 Seja v um autovetor associado ao autovalor λ Então Xt eλt v é uma solução de X AX A segunda solução X tal que X e X sejam LI é dada por Xt tv w eλt 42 com w satisfazendo A λI w v Vejamos um exemplo que ilustra esse caso Exemplo 49 Resolva o PVI X 1 9 1 5 X X0 1 1 O polinômio característico de A é dado por detA λI 1 λ 9 1 5 λ 1 λ5 λ 9 λ2 4λ 4 0 Portanto os autovalores de A são λ1 λ2 2 Resolvendo Av 2v obtemos que um autovetor associado à 2 é da forma 3v2 v2 Logo o autoespaço associado ao autovalor 2 é E2 v2 31 v2 R cuja dimensão é 1 Com isso temos que uma solução do sistema dado é Xt 3 1 e2t Como a multiplicidade do autovalor 2 é maior do que a dimensão do autoespaço a ele associado encontraremos uma segunda solução X usando 42 Temos A λI w v 1 9 1 5 2 0 0 2 w1 w2 3 1 3 9 1 3 w1 w2 3 1 w w1 w2 1 3 w2 w2 Fazendo w2 0 obtemos w 1 0 Logo a segunda solução é X t 3 1 t e2t 1 0 e2t Portanto a solução geral do sistema é Xt c1 3 1 e2t c2 3 1 t e2t 1 0 e2t Como X0 1 1 então 1 1 c1 3 1 c2 1 0 3c1 c2 1 c1 1 c2 2 c1 1 E a solucao particular do PVI e Xt 3 1 e2t 6 2 te2t 2 0 e2t 1 1 e2t 6 2 te2t 35