Lista de Exercicios Resolvidos Matematica Conjuntos e Numeros Reais

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING A MATEM ATICA Lista de Exercıcios No 01 Conjuntos Finitos numeraveis e nao enumeraveis 1 Dados dois numeros naturais a e b prove que existe um numero natural m tal que ma b 2 Use inducao para demonstrar os seguintes fatos a 2123n nn1 b a11aa2 an an1 1 3 Use o segundo princıpio de inducao para demonstrar o Teorema Fundamental da Aritme tica Todo numero natural pode ser escrito como produto de fatores primos 4 Seja a N defina indutivamente an onde n N 5 Escreva a definicao de funcao injetiva sobrejetiva e bijetiva 6 Defina um conjunto finito e dˆe exemplos 7 Mostre que se X e um conjunto finito entao todo subconjunto Y X e finito 8 Defina conjunto infinito e mostre que o conjunto dos numeros naturais e infinito 9 Estabeleca equivalencias para a definicao de conjunto finito 10 Escreva a definicao de conjunto enumeravel e mostre que todo subconjunto X do conjunto dos numeros naturais e enumeravel 11 Escreva quando dois conjuntos tem o mesmo numero cardinal 1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING A MATEM ATICA Lista de Exercıcios Nº 02 O corpo dos numeros reais Parte 1 1 O que significa que o corpo K munido das operacoes de adicao e multiplicacao e um corpo 2 Seja K um corpo Para xyz K mostre que xy z x yz Que consequencias obtemos desse resultado 3 Seja K um corpo Para x K mostre que x x 4 Seja K um corpo Para xyz K mostre que x y z x yz 5 Formule e demonstre as leis de cancelacao em um corpo K 6 Prove a unicidade do elemento neutro para a adicao em K 7 Seja K um corpo demonstre que x Kx0 0 8 Seja K um corpo Para xy K demosntre que xy 0 x 0 e y 0 9 Usando o exercıcio anterior formule e demonstre a propriedade referenre a unicidade do inverso multiplicativo 10 Enuncie e demonstre as regras dos sinais 11 Seja K um corpo Para xy K Para xy K verifique que x2 y2 x y 12 Demonstre que num corpo ordenado K verificase que a Ka 0a2 P 13 Explique como R e um corpo ordenado 14 Seja K um corpo ordenado Para xyzxy K demonstre os seguintes resultados 1 a x y e y z x z b x y xz yz c x y e z 0 xz yz d x y e z 0 xz yz e x y e x y xx yy f 0 x y e 0 x y xx yy g x 0 e y 0 xy 0 h x 0 e y 0 x y 0 i x 0 y 0 x y y1 x1 2 Lista 1 1 Sejam a e b números naturais Sabemos que a 1 Então multiplicando ambos lados por b1 b1a b1 b b1a b ma b com m b1 2 a 2123n nn1 Prova Se n1 então 21 2 1 11 Logo a igualdade vale para n1 Hipótese de indução Suponha que para nk vale 2123k kk1 Então 2123 k k1 k1k2 De fato 2123kk1 212k 2k1 kk1 2k1 por hipótese de indução k2 k 2k 2 k2 3k 2 k1k2 Logo a igualdade é válida para todo n N b a11aa2an an1 1 Prova Se n1 então a11a a a2 1 a a2 1 a11 1 Portanto a igualdade vale para n1 Hipótese de indução Suponha que para nk vale a11aa2ak ak1 1 Então a11aa2akak1 ak2 1 De fato a11aa2akak1 a11aak a1ak1 ak1 1 a1ak1 ak1 1 ak2 ak1 ak2 1 Portanto a igualdade vale para n N 3 Unicadde da Fatoracao em primos Seja n ℕ com n 1 Se n k1n pk k1n qk onde cada pk e qk são primos no necessariamente distintos então m n e pk qk k se necessário uma remoção dos termos Prova Para n 2 a propriedade é válida Suponha a validade para t n vamos mostrar que vale para n n pm k1m1 pk qs k1n1 qk pm divide o produto k1n qn então deve dividir um dos fatores por exemplo qs caso contrario renomeamos os termos como pm qs então pm qs k1m1 pk pm k1n1 qk k1m1 pk k1n1 qk n0 n como n0 n por hipótese de indução m 1 n 1 qk pk k 1m 1 Logo m n e qk pk k 1m 4 Seja a e IN Fixado Defina a Função f IN IN dada indutivamente f1 a e fn1 a fn Temos f2 a a f3 a a a Logo fn aⁿ 5 Função injetiva Uma Função f A B é dita injetiva se x y A tais que fx fy então x y Função sobrejetiva Uma Funçã f A B é dita sobrejetiva se y B x A tal que fx y Função bijetora Uma Função f A B é dita bijetora quando é injetora e sobrejetora 6 Seja In p IN 1 p n Um conjunto X é dito finito quando é vazio ou quando existe para algum n IN uma bijeção f In X Ex X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 Seja X um conjunto finito e Y X Suponha que X In Se n 1 então I₁ 1 Logo os únicos subconjuntos de I₁ são I₁ e portanto são finitos Suponha que todo subconjunto de In é finito Vamos mostrar que vale para In1 Seja Y In1 Se Y In então por hipótese de indução Y é finito Agora se n1 Y então Y n1 In Existe uma bijeção f Ip Y n1 com p n Definimos assim uma bijeção l Ip1 Y porob lx fx x Ip e lp1 n1 Portanto Y é finito 8 Conjunto infinito Um conjunto X é dito infinito quando não é vazio nem existe seja qual for n N uma bijeção f In X IN é infinito IN não é limitado pois mesmo tomandose n N com n muito grande sempre existe outro maior Como IN não é limitado logo IN é infinito 9 Seja X ø são equivalentes i X é finito ii X é limitado iii X possui um maior elemento Prova i ii seja X x1xn T Tome p x1 xn temos p x x X Portanto X é limitado ii iii suponha X limitado então o conjunto A p N p n n X ø Pelo principio da boa ordenação p0 A que é o menor elemento de A Afirmação p0 X De fato se p0 X então p0 n n X Como X ø então p0 1 donde p0 p1 1 Se existir n X com p1 n teríamos p0 p1 1 n e p0 n Absurdo Pois p0 X logo p1 n n X ou seja p1 A o que é absurdo pois p1 p0 e p0 menor elemento de A Portanto p0 X como p0 n n X então p0 é o maior elemento de X iii ii se existe p X tal que p x x X então X Ip logo X é finito 10 Conjunto enumerável Um conjunto X é dito enumerável quando é finito ou quando existe uma bijeção f IN X Todo subconjunto X IN é enumerável Prova Se X é finito por definição X é enumerável Suponha que X não é finito Enumeramos os elementos de X por b X1 menor elemento de X e suponha X1 X2 Xn Escreva An X X1 Xn Logo An pois X é infinito defina Xn1 menor elemento de An Afirmação X X1 X2 Xn Se existe x X tal que x Xn n então x An n IN Logo x seria um número natural maior que todos os elementos do conjunto infinito X1 Xn T Absurdo Portanto X é enumerável 11 Dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal se existe uma bijeção fXY Lista 2 1 K é um corpo significa que estão definidas em K duas operações adição e multiplicação que satisfazem i Associatividade x y z x y z x y z K ii Comutatividade x y y x x y K iii Elementos neutros Existem 0 1 K distintos tais que x 0 x e x 1 x x K iv Inversos x K existe inverso aditivo x K tal que x x 0 Se x 0 existe inverso multiplicativo x¹ K tal que x x¹ 1 v Distributividade x y z xy xz x y z K 2 Suponha que x y z Somando y à ambos lados da igualdade x y y z y x z y Agora suponha x y z Subtraindo y em ambos lados da igualdade x y y z y x y y y z x y z Como consequência temos que o zero é único ou seja se x θ x para x K Então θ x x 0 3 Seja x k Temos x x 0 Somando x a ambos os lados x x x 0 x x x 4 Suponha que xy z ou seja xy1 z Multiplicando a ambos lados por y xy1 y zy xy1 y zy x1 zy x yz Reciprocamente suponha que x yz Multiplicando a ambos lados por y1 xy1 y1yz xy1 y1 y z xy z 5 Lei do cancelamento em IR Sejam xyz IR com x 0 Se xy xz então y z Prova Suponha que xy xz como x 0 existe x1 IR Multiplicando a ambos lados por x1 x1xy x1xz x1 x y x1 x z 1y 1z y z 6 Suponho que exista o e K tal que x 0 x Pelo exercício 2 temos x x 0 ou seja 0 0 Portanto o elemento neutro é único 7 Sejam K um corpo e x K Da distributividade temos x0 x x0 x1 x0 1 x1 x ou seja x0 x x Somando x à ambos os lados obtemos x0 0 x K 8 Sejam K um corpo e xy K Suponha que xy 0 e x 0 Então xy x0 y 0 lei cancelamento Portanto xy 0 x 0 y 0 9 Sejam xy K tais que xy 1 Então y x¹ Prova Suponha que xy 1 como y 0 pelo exercício existe y¹ K Multiplicando a ambos lados por y¹ xyy¹ 1y¹ xyy¹ y¹ x y¹ 10 Regra dos sinais Sejam K corpo e xy K Temos i xy xy xy ii xy xy Prova i Pela distributividade xy xy xy y x0 0 Logo xy xy 0 somando à ambos lados xy obtemos xy xy analogamente pela distributividade xy xy x xy 0y 0 Somando xy à ambos lados xy xy II Por I e II xy xy xy iii Por ii temos xy xy xy xy 11 Sejam K um corpo e xy K Temos x² y² 0 x² y² xyxy xy0 ou xy0 xy ou xy x y 12 Seja K um corpo ordenado Seja a K com a 0 Se a P então a² aa P pois o produto de números positivos são positivos Se a P como a 0 então a P Logo a² aa P pois produto de números positivos é positivo Portanto a 0 a K a² P 13 IR é um corpo ordenado pois existe um subconjunto IR IR conjunto dos reais positivos tais que P1 A soma e o produto de números reais positivos são positivos P2 Dado x IR vale ou x 0 ou x IR ou x IR 14 a Se x y e y z então y x z y P Logo y x z y P ou seja z x P Portanto x z b Se x y y x P Logo y z x z y x P x z y z c Se x y e z 0 y x P z P Logo y xz P ou seja yz xz P Portanto xz yz d Se x y e z 0 y x P z P Logo xz yz y xz P Portanto yz xz e x y y x P x y y x P Logo y x y x y y x x P x x y y 4 Temos yy xx yy yx yx xx y y x y x x 0 Portanto xx yy g Suponha y 0 Logo multiplicando a ambos lados por x 0 temos xy x0 xy 0 h Se x 0 y 0 Então y 0 Logo xy 0 xy 0 i x 0 x 0 y 0 y 0 Suponha que x y logo x x y y x y xx y yy x y x