Lista de Exercícios UEM - Séries e Sequências de Números Reais

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ MATEMÁTICA Lista de Exercícios Nº 05 Séries de números reais 1 Mostre que a série harmônica diverge 2 A série 1nn1 é convergente 3 A série 1n1 1 1 1 1 é convergente 4 Mostre que a série 1nr com r 1 é convergente 5 Estude a convergencia absoluta da série n an 6 Use o teste da razão para estudar a convergencia absoluta da série 1 2a a2 2a3 2a2n1 a2n UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ MATEMÁTICA Lista de Exercícios Nº 04 Sequências de números reais 1 Defina sequências de números reais e apresente exemplos 2 O que significa dizer que uma sequência é limitada Que consequencias obtemos desse resultado 3 Defina sequências monótonas e apresente um exemplo de cada 4 Escreva por extenso os elementos da sequencia xn sen²nπ2 5 Defina subsequência de números reais 6 Considere a sequencia xn an das potências de a com expoente n inteiro positivo a Verifique que quando a 0 ou a 1 a sequência é constante b Verifique que quando 0 a 1 a sequência é decrescente c Mostre que quando a 1 obtemse uma sequência crescente 7 Dado a Z com 0 a 1 seja xn 1 a a² an 1 an11a Verifique que a sequência x1 x2 x3 x4 xn é crescente e limitada 8 Verifique que a sequência xn 1 11 12 13 1n é crescente e limitada 9 Mostre que a sequência xn ⁿn é monótona 10 Escreva a definição de limite de uma sequência 11 Mostre que se lim xn a então para todo k N lim xnk a 12 Mostre que toda sequência monótona e limitada é convergente Apresente um exemplo 13 Mostre que se lim xn a e lim yn b então a lim xn yn a b b lim xn yn a b 14 Mostre que toda sequência limitada de números reais possui uma subsequência convergente 15 Escreva a definição de sequencia de Cauchy e apresente exemplos 16 Mostre que toda sequência convergente é de Cauchy A reciproca vale