Atividade de Análise Real

ESTUDO DIRIGIDO ELEMENTOS DE ANÁLISE REAL Sugestões Antes de resolver cada exercício faça uma revisão dos conceitos e resultados envolvidos Em cada questão apresente uma solução detalhada justificando todas as respostas Procure resolver todos os exercícios A avaliação da disciplina será baseada nesta atividade 1 Desenvolva os cálculos mostre qual é o período e expresse os números racionais como decimais periódicos a 49 b 2930 c 1927 d 1136 2 Desenvolva os cálculos e encontre a fração geratriz ou seja o número racional que é representado pelo decimal periódico a 1 2 b 0 36 c 3 257 d 0 714 3 Considere a sequência xn 13 19 127 a Determine o termo geral da sequência xn b Está é uma sequência convergente Se sim calcule o limite Se não justifique c Verifique se esta sequência é uma sequência monótona Caso seja classifiquea como não decrescente ou não crescente d Calcule quantos termos da sequência estão fora do intervalo 0 004 0 004 e Considere o conjunto B dos valores da sequência xn ou seja B xn n ℕ 13 19 127 ℝ Observe que o conjunto B é um subconjunto dos reais limiado superiormente e limitado inferiormente Determine as cotas superiores as cotas inferiores o supremo e ínfimo do conjunto B 4 Utilize o Teorema do Sanduiche para sequências para provar que as sequências xn abaixo convergem para zero a xn cosnn b xn nnn 5 Considere a série 2 25 252 253 a Escreva a série utilizando a notação de sigma b Encontre a sequência associada a série c Encontre a sequência das somas parciais sn d Utilizando a sequência das somas parciais determine se a série converge ou diverge Caso seja convergente converge para qual valor 6 Estude a convergência das séries geométricas n1 qn1 q ℝ q 0 7 Estude a convergência das pséries n1 1np p ℚ p 0 8 Considere a sequência xnnℕ onde xn 1n a Enuncie a Propriedade Arquimediana Teorema 56 Ref1 b Mostre utilizando a definição Definição 62 Ref1 que a sequência xn converge para zero Dica Utilize a Propriedade Arquimediana c Mostre que a sequência xn é monótona decrescente d Mostre que a série harmônica n1 1n diverge e Mostre que a série alternada n1 1n1n é convergente Dica Utilize o Teste das Séries Alternadas f Considere o conjunto B dos valores da sequência xn ou seja B xn n ℕ 1n n ℕ 1 12 13 14 ℝ Observe que o conjunto B é um subconjunto dos reais limiado superiormente e limitado inferiormente Determine as cotas superiores as cotas inferiores o supremo e ínfimo do conjunto B g Justifique porque o zero é um ponto de acumulação de B 9 Utilize os testes de convergência para séries para determinar se as séries abaixo são convergentes ou divergentes a n1 4n2 8n 32n2 5 b n1 12n n c n4 nn3 d n1 6n 25n d n1 n10n e sum from n1 to infinity of 21 3n5n n3 Consider a função constante f R R dada por fx 5 for all x element of R a Mostre utilizando a definição de limite Definição 122 Ref1 que limit as x approaches 1 of fx 5 b A função f é contínua em x 1 Justifique sua resposta c Utilize a definição de derivada para mostrar que f1 0