Exercícios Resolvidos-Variáveis Complexas-Cálculo Integral

1ª 20 pontos a Sejam sa C a 0 Considere fz za um ramo da função potência Prove que fz a za1 b Calcule todos os valores de z Podemos afirmar que os valores z são reais 2ª 20 pontos a Usando a definição de integral de linha calcule γ z z₀n dz onde γt z₀ Reit R 0 0 t 2π e n Z b Calcule γ z1 dz onde γt 2 eit 0 t 2π 3ª 20 pontos Sem usar a fórmula de Cauchy calcule γ 1 zz² 1 dz onde γ é a elipse x² y²4 1 percorrida no sentido antihorário 4ª 20 pontos Usando a fórmula de Cauchy calcule γ 1 zz² 1 dz onde γ é a elipse x² y²4 1 percorrida no sentido antihorário 5ª 20 pontos Usando a fórmula de Cauchy para derivadas calcule γ z1 z³z² 1 dz onde γ é um contorno percorrido no sentido antihorário e que envolve os pontos z0 e z1 Variáveis Complexas 1 a Sendo fz za e considerando Todos os varius da função podemos uscriála na forma fz ea ln z fz a ln z ea ln z a ea ln z z fz a za z fz a za 1 b Da fórmula de Euler cos π2 i sm π2 ei π2 i ei π2 logo ii ei π2i ei² π2 eπ2 ii eπ2 Lo Número real 2 a γ z z₀n dz com γt z₀ R ei t Parametrizando z z₀ R ei t dz R i ei t dt γ z z₀n dz ₀2π z₀ R ei t z₀n R i ei t dt i Rn1 ₀2π ei t 1n dt i R1n ei t 1n 1 n i ₀2π Vemos que γ z z₀n dz 2π i se n 1 0 se n 1 b γ d3 3 com γt 2 cit Parametrizando 3 2 cit d3 u cit dt γ d3 3 0²π u cit2 eit dt u 0²π eit2 eit dt Substituindo u 2 eit du u cit dt 3 2e2πi duu ln u 3 2e2πi ln 2e2πi 3 como e2πi 1 então γ 31 d3 ln3 ln3 0 3 γ d3 33² 1 com x² y²4 1 Parametrizando γ2t a cit γ1t a eit e γ3t i a cit com a 0 e também 133² 1 13 12 13 i 13 13 i Frações parciais então γ3 d3 33² 1 γ3 d33 12 γ3 d33 i 12 γ d33 i 2πi 0 0 Questão 2a Questão 2b e também γ2 d3 3 γ2 d33 i 0 e γ2 d33 i 2πi por fim γ3 d33 γ3 d33 i 0 e γ3 d33 i 2πi e portanto γ3 d3 33² 1 2πi πi πi 0 4 sendo γ d3 33² 1 γ d33 12 γ d33 i 12 γ d33 i e pela fórmula de Cauchy γ d3 33² 1 2πi f0 12 πi f0 12 πi f0 2πi πi πi γ d3 33² 1 0 3 γ 31 33 31 d3 envolvendo 30 e 31 Considerando dois contornos γ 31 33 31 d3 γ1 3131 33 d3 γ2 3133 31 d3 Pela fórmula de Cauchy γ1 f13 33 d3 2πi2 δ1 0 πi δ0 4πi γ2 f23 31 d3 2πi 1 f21 4πi Portanto γ 31 33 31 d3 4πi 4πi 0