Revolução dos Exercícios

1 Séries 1 Determine se a sequência dada converge ou diverge 1 3mi2n1 2 n1nn1 3 minn 4 4n3mi2n1 2 Determine o círculo e o raio de convergência da série de potências dada 1 Σk0 112ik z2ik 2 Σk0 11i2 k 3 Σk0 13ikzik 4 Σk0 kπk 3 Nos seguintes exercícios expanda a função dada em uma série de Maclaurin Especifique o raio de convergência de cada série 1 fz 11z 2 fz 14z 3 fz cosπ3 4 fz senz2 4 Expanda as funções dadas a seguir em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado 1 fz cos z z 0 z 2 fz ez2 0 z 3 fz ez 0 z1 5 Expanda fz 1zz3 em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado 1 0 z 3 1 2 0 z3 3 3 1 z4 4 4 z 3 5 z3 3 6 1 z1 4 6 Determine os zeros e suas ordens para a função dada 1 fz z2i2 2 fz z4 z2 3 fz ezez 4 fz z4 16 7 Determine a ordem dos polos da função dada 1 fz 3z1 z22z5 2 fz 5 36 3 fz 1z1z21 4 fz 1iz2zi4 8 Use a série de Laurent adequada e calcule o resíduo indicado 1 fz zz1z4 Resfz1 2 fz 1zz12 Resfz0 3 fz 4z6z2z2 Resfz0 9 Calcule o resíduo em cada polo da função dada 1 fz z216 2 fz 1z2z22 3 fz 4z82z1 Integração complexa 1 Primeira Fórmula Integral de Cauchy Teorema 11 Se f for uma função complexa analítica em uma curva suave C e em todos os pontos no interior de C e se z0 for um ponto qualquer no interior de C então C fzzz0 dz 2πifz0 1 Calcule a integral ao longo das curvas fechadas usando a primeira fórmula integral de Cauchy 1 C 4z3i dz onde C z 5 2 C z23z4iz2i dz onde C z 4 3 C cos z3zπ dz onde C z 11 2 Segunda Fórmula Integral de Cauchy Teorema 21 S f for uma função complexa analítica em uma curva suave C e em todos os pontos no interior de C e se z0 for um ponto qualquer no interior de C então C fzzz0n1 dz 2πi n fnz0 1 Calcule a integral ao longo das curvas fechadas usando a segunda fórmula integral de Cauchy a C ez2 zi3 dz onde C zi 1 1 a 3mi2 mmi 3mi2 m1i lim am 2 4i2 m CONVERGE b m 1im m1 lim am im DIVERGE m c m im m DIVERGE im muda de valor d 4m3mi 2m1i 43i m 2m1i lim am 43i i m 2 a Σ k0 112ik1 32ik 112ik1 Rc 1 12i b Σ k0 1k i 11ik Rc i 11i lz z4 2z2 26 2z4 2z 4 2z4 lz 14 616 z 12 80256 z2 14 38 z 532 z2 c lz cosz2 lz 12 senz2 lz 1 0 14 0877 z2 lz 14 cosz2 lz 1 0109 z2 d lz senz2 lz 2z cosz2 lz 0 0z 0z2 n admite a série lz 4z2 senz2 24 a lz cos z z an 12πi lz dz z cn1 12πi cos zzn1 2πi1 n1 0 b lz e13 z2 an e13 z2 zm1 1 n1 a1 m c lz z2 3 1 an 12πi z2 3 1 ln2πi 1 5 lz 1 33 3 A3 B3 3 a A 13 lz 13 3 13 3 3 b FAZSE O INVERSO lz 13 3 3 13 3 6 c lz 13 3 3 13 3 6 ideias a b d lz 13 3 3 13 3 61 e lz 13 3 3 13 3 6 3 3 f lz 13 3 13 3 2 a 3 2 i 0 3 i 2 1ª ordem b 34 32 0 32 32 1 0 312 0 1ª ordem 334 i c e2i3 e3 0 e2i3 e 3 e2i3 e3 0 não possui raízes exceto em 3 0 mais linear d 34 16 0 3 416 31 2 32 2 1ª ordem 33 2i 34 2i 7 a 2ª ordem b 2ª ordem c 4ª ordem d 6ª ordem 8 a F3 2 3134 A 31 B 34 A F3 31 31 25 B F3 34 34 25 b 1 33133 A 33 B 133 A 33 F3 3 0 6 B 133 F3 3 0 6 c A F3 3 30 3 B F3 23 3 2 1 a F3 3 32 16 A F3 3 4i 3 4i 12 B F3 3 4i 3 4i 12 b F3 1 32 3 232 A F3 3 3 0 1 B F3 3 4 3 1 1 c A F3 3 12 3 12 5