Lista de Exercícios Resolvendo Problemas com Numeros Complexos

1 Números complexos e suas propriedades 11 Número complexo a ib 1 Determine as seguintes potências de i a i⁸ b i⁴² c i¹¹ d i¹⁰⁵ 2 Escreva o número dado na forma aib e determine seu conjugado a 2i³ 3i² 5i c 56 23 20118 b 3i⁵ i⁴ 7i³ 10i² 9 d 2i⁶ 2i³ 5i⁵ 12i 3 Demonstrar que z 3i z 3i onde z C 4 Achar os números reais x e y tais que 2x 3iy 2y 5 10i xy2 y x 3i 12 Operações de números complexos Adição substração multiplicação e divis ao 1 Escreva o número dado na forma a ib a 59i 24i b 34i 35 2i c i5 7i d i4i 4i1 2i e 23i4i f 12 14 i 23 53 i g 3i 12 i h i1 i i 2 4i3 5i j 10 5i6 2i k 3i2 3i1 i l 1i12i2i4 3i m 54i 3 7i4 2i 23i n 4 5i 2i³2 i² o i1i2i2 6i p 1 i²1 i³ q 3 6i 4 i3 5i 12 i r 2 3i2 i1 2i² s 2 3i² t 1 12 i³ u 2 2i⁵ v 1 i⁸ 2 Achar os números reais a e b tais que 3a i2 i a ib1 2i 5 6i 3 Achar os números reais a e b tais que a b a bi 2 5i² i2 3i 4 Achar os números reais a e b tais que ia1 ib 3a 4ia 3b 5 Demonstrar que 1 x² ixx i1 x² i x é um número real 2 Plano complexo 1 Dado z x iy Expresse a quantidade dada em termos de x e y a Re1z c Rez² b Im2z 4z 4i d Imz² z² 2 Dado z x iy Expresse a quantidade dada em termos de Re z e Im z a Reiz c Imiz b Im1 iz d Rez² 3 Posicione os pontos z₁ 2 8i z₂ 3i z₃ 6 5i no plano complexo 4 No problema 3 determine se os pontos z₁ z₂ e z₃ são vértices de um triângulo retângulo b Im1 iz d Rez² 3 Posicione os pontos z₁ 2 8i z₂ 3i z₃ 6 5i no plano complexo 4 No problema 3 determine se os pontos z₁ z₂ e z₃ são vértices de um triângulo retângulo 5 Os pontos z₁ 1 5i z₂ 4 i z₃ 3 i são vértices de um triângulo Determine o comprimento da mediana de z₁ al lado z₂z₃ 6 Determine o módulo do número complexo dado a 1 i² c 2i34i b i2 i 41 14 i d 12i1i 2i1 i 7 Determine qual dos dois números complexos dados está mais próximo da origem Qual está mais próximo de 1 i a 10 8i 11 6i b 12 14 i 23 16 i 8 Descreva o conjunto de pontos z no plano complexo que satisfazem a equação dada a Re1 iz 1 0 e Imz² 2 b Imiz² 2 f Rez² 3 i c z i z 1 g z 1 1 d z z¹ h z i 2z 1 2 i z 2 Rez j z Rez 3 Forma Polar 1 Escreva o número complexo na forma polar a z 2 e z 1 i i z 12 5i b z 10 f z 5 5i j z 31 i c z 3i g z 3 i k z 123 i d z 6i h z 2 23 i 2 Escreva na forma a ib o número complexo cuja forma polar é dada a z 5cos 7π6 i sen 7π6 c z 6cos π8 i sen π8 b z 82 cos 11π4 i sen 11π4 d z 10cos π5 i sen π5 3 Determinar z₁z₂ e z₁z₂ Escreva o número na forma a ib a z₁ 2cos π8 i sen π8 z₂ 4cos 3π8 i sen 3π8 b z₁ 2cos π4 i sen π4 z₂ 3cos π12 i sen π12 4 Escreva as seguintes potências na forma polar a 1 3i⁹ d 2 6i⁴ b 2 2i⁵ e 2 cos π8 i2 sen π8¹² c 12 12 i¹⁰ f 3cos 2π9 i sen 2π9¹² 5 Resolver a cos π9 i sen π9¹² 2cos π6 i sen π6⁵ b 8cos 3π8 i sen 3π8³ zₙcos π18 i sen π18¹⁰ 6 Determine um inteiro positivo n para o qual a igualdade é verdadeira a 32 12 iⁿ 1 b 22 22 iⁿ 1 4 Raízes de um número complexo 1 Calcular todas as raízes a 8¹³ e i¹² i 1 3 i¹² b 1¹⁴ f i¹³ j 1 3 i¹⁴ c 9¹² g 1 i¹³ k 3 4i¹² d 125¹³ h 1 i¹⁵ l 5 12u¹² 2 Encontre uma expressão para determinar zⁿⁿ 3 Mostre que os números indicados satisfazem a equação dada Em cada caso explique por que soluções adicionais podem ser encontradas a z⁴ i 0 z₁ 22 22 i Encontre uma solução adicional z₂ b z⁴ 4 z₁ 1 i z₂ 1 i Encontre duas soluções adicionais z₂ e z₃ 4 Resolva cada equação a 2z i2 9i g z² 8z 16 8i b z 2z 7 6i 0 h z² iz 2 0 c z² i i iz² z i 0 d z² 4z j z² 1 iz 6 17i 0 e z 2z 2 i1 3i k z² 1 9iz 20 5i 0 f z1 z 3 4i 11 Número complexo aib 1 a i8 i8 i24 14 1 b i42 i40 i221 121 120 1 11 1 c i11 i14 i25 i 15 i 1 i i d i105 i105 i715 i4 i315 1 i15 i15 i35 i5 i8 i2 1 i i 2 a z 2i3 3i2 5i z 2i3 3i 5i 2i 31 5i 2i 3 5i 3i 3 z 3 3i b z 3i5 i4 7i3 10i2 9 z 3i5 i2 c1 7i 101 9 z 3i 1 7i 10 9 3i 7i 0 4i z 4i c 5i 213 20116 z i14 i29 19 1 z 5i 213 20116 5i 2i 20 1 3i 20 z 20 3i d 2i6 2i3 5i5 12i z z 2 1 2 i 5i 12i 22i 5i 12i 2 19i z 2 19i 3 z 3i z 3i Sabemos que z z Então z 3i z 3i z 3i z 3i z 3i z 3i 4 2x 3iy 2y 5 10i x y 2 y x 3i 2x 2y 5 i 3y 10 x y 2 i y x 3 2x 2y 5 x y 2 i3y 10 i y x 3 x 3y 3 0 2y x 13 0 x 9 y 2 12 Operações com números complexos Adição subtração multiplicação e divisão a 5 9i 2 4i 5 2 9i 4i 7 13i b 32 i 35 2i 34 i 5 2i 31 3i 3 9i c i 5 7i 5i 7i2 5i 71 7 5i d i 4 i 4i 1 2i 4i 1 4i 8 8i 7 7 8i e 2 3i4 i 11 10i f 12 14 i 23 53 i 34 23 i g 3i 12 i 3i 25 15 i 65 i 35 h i1 i 12 12 i i 2 4i3 5i 2 4i3 5i 3 5i3 5i 717 1117 i j 10 5i6 2i 10 5i6 2i 6 2i6 2i 54 54 i k 3 i2 3i 1 i 9 7i 1 i 8 i l 1 i1 2i 2 i4 3i 3 i11 2i 725 425 i m 5 4i 3 7i 4 2i 2 3i 2 11i 6 i 6761 5661 i n 45i 2i3 2 i2 45i 2i 3 4i i o i 1 i 2 i 2 6i 1 i 2 i 2 6i 3 i2 6i 20i p 1 i 2 1 i3 2i 2 2i 4 4i q 3 6i 4 i 3 5i 12 i 3 6i 17 17i 12 i 2 i 2 i 3 6i 14 17i 25 15 i 3 17 25 i 6 17 15 1005 1165 i r 2 3i 2 i 1 2i2 2 3i i2 2 3i 1 2 3i s 2 3i2 22 22 3i 3i2 4 12i 9 5 12i t 1 12 i3 1 12 i2 1 12 i 12 i 12 i2 1 12 i 34 i 1 12 i 14 118 i u 2 2i5 2 2i23 8i3 83 i3 512 i 512 i v 1 i8 1 i24 2i4 24 i4 16 1 16 2 3a i 2 i a ib 1 2i 5 6i 3a i 2 i a ib 1 2i 5 6i 6a i 3a 2i 1 a i 2a ib 2ib 5 6i 6a 1 a 2b i 3a 2 2a b 5 6i 7a 2b 1 i 5a b 2 5 6i 7a 2b 1 5 7a b 2 6 a 20 17 b 36 17 3 a b a bi 2 5i2 i 2 3i a b a bi 21 20i 3 2i 18 22i a b 18 a b 22 a b 18 a b 22 a 2 b 20 4 ia 1 ib 3a 4i a 3b ia a 3b 1 ib 3a 4i i a2 30b 3a 4i i 30b 4ib i a2 i 30b 3a 4i i 30b 4b i a2 3a 4i 4b i a2 3a 4i 4b 0 3a 4b i a2 4 0 0i 5 sqrt1 x2 ix x i sqrt1 x2 i sqrt1 x2 i x x i sqrt1 x2 sqrt1 x2 i xx i sqrt1 x2 x i sqrt1 x2 x i sqrt1 x2 i i 2x2 2x2 1 i 1 2x2 2x2 1 i Veja que a igualdade ocorra é satisfeito se x é somente se x E R pois a razão 1 2x2 2x2 1 deve ser real 2 Plano complexo 1 a Re1z Re1xiy Rex iyx iyx iy Rex iyx2 y2 x x2 y2 b Im2z 4 conjugatez 4i Im2x iy 4x iy 4i Im2x 2iy 4x 4iy 4i Im6x i2y 4y 4 2y 4 c Rez2 Rex2 i2xy y2 x2 y2 d Imconjugatez2 z2 Imx iy2 x iy2 Imx2 i2xy y2 x2 i2xy y2 Im2x2 0 2 a Reiz Reix iy yi Imz b Im1 i z Imx iy ix y x y Imz Rez c Imi conjugatez Imix y x Rez d Reconjugatez2 Rex2 i2xy y2 x2 y2 Rez2 Imz2 3 z1 2 8i z2 3i z3 6 5i O desenho está em escala 4 Nós são pois nenhuma semirreta que parte da origem até um dos pontos está perpendicular com outra semirreta 5 A mediana será o comprimento de z1 dito o ponto médio de conjugadoz2z3 ponto médio de conjugadoz2z3 3 42 i i i2 12 Me z1 12 5 i 12 112 i 5 sqrt5 2 A mediana é 5 sqrt2 5 b a 1 i2 1 i2 2i 2 b i2 i 41 14 i i2 i 41 14 i 1 2i 4 i 3 i sqrt10 c 2i 3 4i 2i 3 4i 825 6i25 25 d 1 2i 1 i 2 i 1 i 1 2i 1 i 2 i 1 i 12 32 i 32 12 i 1 i sqrt2 7 a 10 8i e 11 6i Mais próximo da origem é aquele com menor módulo Veja que 11 6i approx 1252 10 8i approx 1840 11 6i está mais próximo da origem O mais próximo de 1 i é aquele cujo módulo da diferença é menor 10 8i 1 i 9 7i sqrt130 approx 1140 mais próximo DE 1 i 11 6i 1 i 10 7i sqrt149 approx 1220 b 12 14 i e 23 16 i 12 14 i sqrt54 approx 055 MAIS PRÓXIMO DA ORIGEM 23 16 i sqrt146 approx 068 12 14 i 1i 12 54 i 204 134 23 16 i 1i 13 56 i 206 089 MAIS PRÓXIMO DE 1i 8 a Re1iz 1 0 z xiy Re1iz 1 Re1ixiy 1 Rexiy ix y 1 Rex y 1 ixy 0 x y 1 0 y 1 x é a reta que satisfaz a igualdade b Imi z² 2 z xiy z x iy Imi z² Imi x iy² Imi x y² x² 2 x 2 c z i z 1 z i z 1 x² y 1² x 1² y² x² y 1² x 1² y² x² y² 2y 1 x² 2 x 1 y² 2 y 2 x x y z i z 1 x y 0 RETA QUE SATISFAZ A IGUALDADE d z z¹ z x iy z x iy z z¹ x iy 1x iy x iyx iy 1 x² iy² 1 x² y² 1 x² y² 1 CIRCUNFERÊNCIA CENTRADA NA ORIGEM NO SISTEMA E DE RAIO 1 SATISFAZ A IGUALDADE e Imz² 2 Imz² Imx² i 2xy y² 2xy 2 y 1x É A HIPÉRBOLE QUE SATISFAZ A CONDIÇÃO f Rez² 3 i Rez² Rex² i 2xy y² x² y² 2 Logo a hipérbole orientada horizontalmente x² y² 2 é a solução da igualdade Outrambém x² y² 2 y² x² 2 y x² 2 g z 1 1 z 1 1 x 1² y² 1 x² 2 x 1 y² 1 x² 2 x y² 0 y x² 2 x é o conjunto de pontos h z i 2 z 1 z i 2 z 1 x² y 1² 2 x 1² y² x² y² 2 y 1 4 x 1² y² x² y² 2 y 1 4x² 8 x 4 4 y² 3 x² 8 x 2 y 4 1 0 y 32 x² 4 x 32 É A PARÁBOLA QUE SATISFAZ i z 2 Rez z x i y z 2 x 2² y² Rez x x² 4 x 4 y² x² 4 x 4 y² 0 y² 4 x 4 4x 1 y 2x 1 j z Rez z Rez x x² y² x y² 0 y 0 x 0 z Rez y 0 x 0 8 Forma Polar FORMULA POLAR z r cosθ i sen θ 1 a z2 2 cos0 i sen 0 b z 10 10 cosπ i sen π c z 3i 3 cos π2 i sen π2 d z 6i 6 cos π2 i sen π2 e z 1i 2 cos π4 i sen π4 f z 5 5i 52 cos π4 i sen π4 g z 3 i 2 cos 56 π i sen 56 π h z 2 23i 4 cos 23 π i sen 23 π i z 12 5i 13 cos 297π i sen 297π j z 31i 322 cos 34 π i sen 34 π k z 123i 6 cos 16 π i sen 16 π 2 a z 5 cos 7π6 i sen 7π6 z 5 32 12 i 532 52 i a 2cos π8 i 2sin π812 2cos π8 i 2sin π812 2cos π8 isenπ812 64 cos 3π2 i sin 3π2 4 3cos 2π9 isen 2π912 312 cos 24π9 i sen 24π9 729 cos 83 π i sin 83 π 5 a1 cos π9 i sin π912 2cos π6 i sen π65 cos 12π9 i sen 12π912 cos 5π6 i sen 5π6 12 32 i 32 12 i 32 32 32 12 i 163 16i 4 Raizes de um número complexo 1 Usaremos as raizes distintas ck de um número zo ro eiθ nas formas ck nro exp i θn 2 k πn k 012 para determinar os raízes a g13 8 ei θ13 ck 38 exp i θ3 2 k π3 k 012 c0 2 exp i 0 2 c1 2 exp i 2π3 1 3 i c2 2 exp i 4π3 1 3 i b c 114 ei π14 ck 1 exp i π4 2 k π4 k 0123 c0 1 exp i π4 22 22 i c1 1 exp i π4 2π4 22 22 i c2 1 exp i π4 4π4 22 22 i c3 1 exp i π4 6π4 22 22 i c g12 g ei π112 ck 2g exp i π2 2 k π2 k 01 c0 3 exp i π2 3 i c1 3 exp i 3π2 3 i d c 12513 125 ei π13 ck 3125 exp i π3 2 k π3 k 012 c0 5 exp i π3 52 5 32 i c1 5 exp i π3 2 π3 5 c2 5 exp i π3 4 π3 52 5 32 i e ii12 1 ei π212 Ck 21 exp i π4 2 k π2 k 01 Co 1 exp i π4 22 22 i c1 1 exp i π4 π 22 22 i f c i13 1 e π213 Ck 1 exp i π6 2 k π3 k 012 c0 1expi π6 c1 1expi π6 2π3 c2 1expi π6 4π3 4 a 2z i 2 9i 2z i 2 9i 9 2i z 92 i b z 2z 7 6i 0 x i y 2 x i y 7 6i x 3 i y 7 6 i 0 x 3 i y 7 6 i x 7 y 2 z 7 2i c z2 i x i y2 x2 i 2 x y y2 0 i x2 y2 0 2 x y 1 z 12 12 i Or z 12 12 i d z2 4 z x i y2 4 x i y x2 i 2 x y y2 4 x 4 i y x2 y2 4x 2 x y 4 y z 4 z 0 z 2 i 23 z 2 i 23 e z 2z 2 i 1 3 i z 2z x i y 2 x i y 2 i 1 3 i 1610 710 i z 130 i 710 f z 1 z 3 4 i x i y 1 x i y 3 4 i z 1110 15 i g z2 8 z 16 8 i x i y2 8 x i y 16 x2 y2 i 2 x y 8 x 8 i y 16 8 i x2 y2 8 x 16 i 2 x y 8 y 8 i x2 y2 8 x 16 0 8 y 2 x y 8 z 6 2 i z 2 2 i h z2 i z 2 0 x i y2 i x i y 2 0 x2 i 2 x y y2 i x y 2 x2 y2 y 2 i x 0 z 72 12 i z 72 12 i