Simulado Resolvido Introducao as Variaveis Complexas - Exercicios e Solucoes

Simulado 1 de Introdução às Variáveis Complexas Questão 1 Sendo w uma das raiz enésima da unidade diferente dela própria mostre que 1 w w2 wn1 0 Questão 2 Sejam z1 z2 z2 ℂ Mostre que os três pontos de z1 z2 e z2 formam um triângulo equilátero se e só se z12 z22 z32 z1 z2 z2 z3 z3 z1 Questão 3 Represente no plano complexo os seguintes conjuntos a z ℂ Rez 12 Re2zz 1 b z ℂ z 1z 1 2 Rez 1 0 Questão 4 Seja a função f definida por fz z2z z 0 0 z 0 a Prove que não existe f0 b Prove que as partes real e imaginária de f satisfazem as equações de CauchyRiemann em 00 Questão 5 Sejam A C um aberto e conexo e f A ℂ uma função analítica Prove que as seguintes afirmações são equivalentes a Re f é constante em A b Im f é constante em A c a função complexa conjugada de f f é analítica em A d f é constante em A e f é constante em A 1 1 e0 2kπin k 0 1 2 n1 ωn e2πin 1 w w2 w3 w4 wn1 0 onde ω é uma das raízes nésimas ω0 ω2πin ω8πin ω2n1πin essas raízes constituem os vértices de um polígono de n lados inscrito no círculo z1 de forma que se ekπin é raiz ekπin também será Logo 1 w w2 wn1 0 2 z1 z2 z3 ℂ z1 z2 e z3 formam um triângulo equilátero z12 z22 z32 z1 z2 z2 z3 z3 z1 ex VARIÁVEL COMPLEXA 3 a z ℂ Rez 12 Re2zz1 z a b i a b ℝ z 1 a1 b i z12 a1 b i a1 b i a12 2a1 bi b2 Rez12 a12 b2 2 abia1 b i 2a1a 2a1bi 2abi 2b2 2a1a 2b2 2a1bi 2abi Re2zz1 2a1a 2b2 a12 b2 2a1a 2b2 a2 2a 1 2a2 2a 2b2 1 a2 2b2 1 a2 2b2 hiperbole 1 1 a b b z ℂ z1z1 2 Rez1 0 z a b i a b ℝ a1 bi a1 bi 2 a 1 0 a12 b2 2 a1 0 a2 2a 1 b2 2a 2 a2 4a b2 3 0 a 2 b 1 b a2 4a 3 a 3 b 0 a 1 b 0 3 2 1 a al a Como lim ddz z2z lim 2 z2 z z2 z2 0 e por sua vez lim 0 0 os limites laterais não coincidem e portanto não existe f0 b fz z2z z 0 0 z0 z a bi z a bi z2 a bia bi a2 2 a bi b2 z z a2 b2 z z a bia2 2 a bi b2 a3 2 a2 b i a b2 a2 bi 2 a b2 b3 i a3 3 a2 b i 3 a b2 b3 i u a3 3 a b2 a2 b2 e v 3 a2 b b3 a2 b2 Ua 3 a2 3 b2 a2 b2 Vb 6 a b 3 b2 a2 b2 Ub 6ab a2 b2 Va 6ab a2 b2 substituindo a b 0 vemos que Ua Vb Ub Va Cauchy Riemann é satisfeita em 00 5 A C aberto conexo f A C analítica prove que as seguintes afirmações são equivalentes f A C xy uv d e se u vi c u vi k com c e k cte e d se u v i c constante x yi c ou u vi c em todo caso u v i é constante d b d a se u v i é constante igual a c uxy vxyi c uxy e vxy são constantes a e b d se uxy c constante e vxy k constante então fxy c k i também constante d c se f é constante tal que fxy k ci com k c constantes então fxy k ci ou seja é constante logo é analítica