Lista de Exercícios de Análise Real - Prof. Dr. Jaime Rezende de Moraes

UEMS Universidade Estadual do Mato Grosso do Sul 2 Lista de Exercicios Pr Dr Jaime Rezende de Moraes Analise Real Matematica 2020 1 Prove que a Se A é limitado superiormente e B C A entaéo supA supB b Se A é limitado inferiormente e B C A entao infA infB c supA B supA supB d infA B infA infB 2 Mostre que a Se lim xa a e lim an a entao limz a b Se limz a entao lim z a c Se uma sequéncia mondtona possui uma subsequéncia limitada entao a sequéncia é mondtona d Se limz a limy be x y para todo n entao ja b e Sejam ab 0 2 Vab y ote Un41 EnYn Yn Sn Entao 2 Yn convergem para o mesmo limite f Se an Yn limitada e lim y oo entao lim wry Yn 1 g lim Inn 1 0 noo n h Seja x p Mostre que 19L DP 3 Encontre o valor das somas 00 1 00 1 a ra c 4k 14k 5 00 1 00 b k 2 d 12 Vien ht Say k1 k1 00 4 Mostre que se a série S ad for convergente entao lima 0 n1 5 Estude a convergéncia das séries 400 00 oo k k k1e ee b ON AS a RTS ETT 2 ETS kl k1 k1 1 too 00 roo 1 cos n n d j Pink 8 d n i d Inn 00 00 00 1 cosn7 3 1 e h k ened d n Dd Inn oo 00 00 2n n1 cos n x f i Il D l a 6 Mostre que se uma série é absolutamente convergente entao ela é convergente 7 Mostre que se x é limitada e a é absolutamente convergente entao a7 6 convergente 00 1 8 Mostre que a série harmonica S ms é convergente se a 1 e divergente se a 1 use a comparacgao k1 das areas 9 Mostre que a intintX intx b intAN B intA NintB e intA UintB C intAU B Dé um exemplo em que intA U intB F intAU B c AUBAUB d ANBC ANB Dé um exemplo em que ANB 4 ANB e A AUA Conclua que A é fechado se e somente se contém todos seus pontos de acumulacao f A é fechado se e somente se A Cc A g Se A é discreto entao A é enumerdavel h A é fechado Definigao A fronteira de X denotada por frX é o conjunto dos pontos x R tal que toda vizinhanga de x contém pontos de X ede R X 10 Mostre que a R intX UintR XU frxX onde as unides sao disjuntas b AC R é aberto se e somente se AN frA 0 c X CR vale X X U frX Conclua que X é fechado se e somente se frX CX d Prove que uma reuniao finita e uma intersecao arbitrdria de conjuntos compactos é um conjunto compacto 2