Exercicios Resolvidos de Analise Real UEMS - Listas 1 e 2

UEMS Universidade Estadual do Mato Grosso do Sul Exercıcios Pr Dr Jaime Rezende de Moraes Analise Real 1 Prove que a A B Cc Ac Bc Cc b A B Cc Ac Bc Cc 2 Use inducao para provar que a 1 2 n n 12 b 1 1 3 1 3 5 1 2n 1 2n 1 n 2n 1 3 Mosre que se X e Y sao finitos entao X Y e finito e nX Y nX nY nX Y onde n denota o numero de elementos do conjunto 4 Seja PX o conjunto das partes de X Prove por inducao que se X e finito entao nPX 2nX 5 Seja f X Y Prove que a Se Y e finito e f e injetiva entao X e finito b Se X e finito e f e sobrejetiva entao Y e finito 6 Se X e finito e Y X entao nY nX 7 Sejam Y enumeravel e f X Y tal que para cada y Y f 1y e enumeravel Prove que X e enumeravel Lembrete f 1y x X fx y 8 Mostre que se x y R entao a x y x y b x y y x c x y x y 9 Encontre o inf sup min e max do conjunto X Justifique a X 0 1 1 UEMS Universidade Estadual do Mato Grosso do Sul 2ª Lista de Exercícios Pr Dr Jaime Rezende de Moraes Análise Real Matemática 2020 1 Prove que a Se A é limitado superiormente e B A então supA supB b Se A é limitado inferiormente e B A então infA infB c supA B supA supB d infA B infA infB 2 Mostre que a Se lim x₂ₙ a e lim x₂ₙ₁ a então lim xₙ a b Se lim xₙ a então lim xₙ a c Se uma sequência monótona possui uma subsequência limitada então a sequência é monótona d Se lim xₙ a lim yₙ b e xₙ yₙ ε para todo n então a b ε e Sejam ab 0 x₁ ab y₁ ab2 xₙ₁ xₙyₙ e yₙ₁ xₙyₙ2 Então xₙ e yₙ convergem para o mesmo limite f Se xₙ yₙ é limitada e lim yₙ então lim xₙyₙ 1 g lim n lnn 1 n 0 h Seja xₙ p Mostre que nx₁x₂xₙ p 3 Encontre o valor das somas a k1 to 1kk1 b k1 to 1kk1 k2 c k1 to 14k 14k 5 d k1 to 12k 4 Mostre que se a série n1 to aₙ for convergente então lim aₙ 0 5 Estude a convergência das séries a k1 to k²k² 3 b k1 to k2k³ k 1 c k1 to k 1ek2k 3 d k1 to 1k² ln k e k1 to 1n² n 1 f n1 to n 1nn g n1 to cos n n² h n1 to cosnπ3 n i n1 to cos n n² j n1 to nln nn k n2 to 1n ln n l n1 to 1n x2n2n 6 Mostre que se uma série é absolutamente convergente então ela é convergente 7 Mostre que se xₙ é limitada e aₙ é absolutamente convergente então aₙxₙ é convergente 8 Mostre que a série harmônica k1 to 1kα é convergente se α 1 e divergente se α 1 use a comparação das áreas 9 Mostre que a intint X int X b intA B intA intB e intA intB intA B Dê um exemplo em que intA intB intA B c Ȧ B Ȧ B d Ȧ B Ȧ B Dê um exemplo em que Ȧ B Ȧ B e Ȧ A A Conclua que A é fechado se e somente se contém todos seus pontos de acumulação f A é fechado se e somente se A A g Se A é discreto então A é enumerável h A é fechado Definição A fronteira de X denotada por fr X é o conjunto dos pontos x ℝ tal que toda vizinhança de x contém pontos de X e de R X 10 Mostre que a ℝ int X intR X fr X onde as uniões são disjuntas b A ℝ é aberto se e somente se A fr A c X ℝ vale X X fr X Conclua que X é fechado se e somente se fr X X d Prove que uma reunião finita e uma interseção arbitrária de conjuntos compactos é um conjunto compacto 2 b X 01 c X nn1 n ℕ 10 Prove que a Se A é limitado superiormente e B A então supA supB b Se A é limitado inferiormente e B A então infA infB 3 No additional text in image 3 not already included