Lista de Exercícios Resolvidos Analise Real 1 UEMS Demonstrações e Limites

Jonatan Fernando RGM 37005 Amaline Real 2 mostre que a se lim x2m a e lim x2m1 a então lim xn a b Se lim xn a então lim xn a f Se xn yn é limitado e lim yn 0 então lim xn yn 1 g lim lnm1m 0 a Dem Sejam yn x2m e zn x2m1 Como temos lim yn lim zn a para qualquer ε 0 e m0 e n0 tais que para m m0 vale yn aε aε e para n n0 vale zn aε aε escolhendo mz max m0 n0 temos simultaneamente zn yn aε aε x2m1 x2m aε aε então para m mz1 temos xn aε aε logo vale lim xn a a Dem Sejam yn x2m e zn x2m1 Como temos lim yn lim zn a para qualquer ε 0 e m0 e n0 tais que para m m0 vale yn aε aε e para n n0 vale zn aε aε escolhendo mz max m0 n0 temos simultaneamente zn yn aε aε x2m1 x2m aε aε então para m mz1 temos xn aε aε logo vale lim xn a b Dem Se lim xn a então ε 0 m0 ℕ m m0 xn a ε pois temos a desigualdade xn a xn a logo xn a ε e lim xn a f Dem t1 t2 ℝ e m0 tais que para m m0 Vale t1 xn yn t2 t1 yn xn t2 yn como yn 0 dividimos por esse valor t1yn lim xn yn t2yn lim xn yn 1 g Dem Tomando yn m e xn lnm1 vale que Δ yn 1 0 e lim yn Δ xn lnm1m Vale então que lim Δ yn Δ xn lim lnm1m 0 logo lim lnm1m 0 UEMS Universidade Estadual do Mato Grosso do Sul Exercıcios Pr Dr Jaime Rezende de Moraes Analise Real 1 Prove que a A B Cc Ac Bc Cc b A B Cc Ac Bc Cc 2 Use inducao para provar que a 1 2 n n 12 b 1 1 3 1 3 5 1 2n 1 2n 1 n 2n 1 3 Mosre que se X e Y sao finitos entao X Y e finito e nX Y nX nY nX Y onde n denota o numero de elementos do conjunto 4 Seja PX o conjunto das partes de X Prove por inducao que se X e finito entao nPX 2nX 5 Seja f X Y Prove que a Se Y e finito e f e injetiva entao X e finito b Se X e finito e f e sobrejetiva entao Y e finito 6 Se X e finito e Y X entao nY nX 7 Sejam Y enumeravel e f X Y tal que para cada y Y f 1y e enumeravel Prove que X e enumeravel Lembrete f 1y x X fx y 8 Mostre que se x y R entao a x y x y b x y y x c x y x y 9 Encontre o inf sup min e max do conjunto X Justifique a X 0 1 1 b X 01 c X nn1 n N 10 Prove que a Se A é limitado superiormente e B A então supA supB b Se A é limitado inferiormente e B A então infA infB