Lista de Exercicios de Analise Real - UEMS

UEMS Universidade Estadual do Mato Grosso do Sul Exercıcios Pr Dr Jaime Rezende de Moraes Analise Real 1 Prove que a A B Cc Ac Bc Cc b A B Cc Ac Bc Cc 2 Use inducao para provar que a 1 2 n n 12 b 1 1 3 1 3 5 1 2n 1 2n 1 n 2n 1 3 Mosre que se X e Y sao finitos entao X Y e finito e nX Y nX nY nX Y onde n denota o numero de elementos do conjunto 4 Seja PX o conjunto das partes de X Prove por inducao que se X e finito entao nPX 2nX 5 Seja f X Y Prove que a Se Y e finito e f e injetiva entao X e finito b Se X e finito e f e sobrejetiva entao Y e finito 6 Se X e finito e Y X entao nY nX 7 Sejam Y enumeravel e f X Y tal que para cada y Y f 1y e enumeravel Prove que X e enumeravel Lembrete f 1y x X fx y 8 Mostre que se x y R entao a x y x y b x y y x c x y x y 9 Encontre o inf sup min e max do conjunto X Justifique a X 0 1 1 UEMS Universidade Estadual do Mato Grosso do Sul 2ª Lista de Exercícios Pr Dr Jaime Rezende de Moraes Análise Real Matemática 2020 1 Prove que a Se A é limitado superiormente e B A então supA supB b Se A é limitado inferiormente e B A então infA infB c supA B supA supB d infA B infA infB 2 Mostre que a Se lim x2n a e lim x2n1 a então lim xn a b Se lim xn a então lim xn a c Se uma sequência monótona possui uma subsequência limitada então a sequência é monótona d Se lim xn a lim yn b e xn yn ε para todo n então a b ε e Sejam a b 0 x1 ab y1 ab2 xn1 xnyn e yn1 xnyn2 Então xn e yn convergem para o mesmo limite f Se xn yn é limitada e lim yn então lim xnyn 1 g limn lnn1n 0 h Seja xn p Mostre que nx1 x2 xn p 3 Encontre o valor das somas a k1 1kk1 b k1 1kk1 k2 c k1 14k14k5 d k1 12k 4 Mostre que se a série n1 an for convergente então lim an 0 5 Estude a convergência das séries a k1 k2k2 3 b k1 k2k3 k 1 c k1 k 1ek2k 3 d k1 1k2 ln k e k1 1n2 n 1 f n1 n 1nn g n1 cos n n2 h n1 cosnπ3 n i n1 cos n n2 j n1 n ln nn k n2 1n ln n l n1 1n x2n 2n 6 Mostre que se uma série é absolutamente convergente então ela é convergente 7 Mostre que se xn é limitada e an é absolutamente convergente então an xn é convergente 8 Mostre que a série harmônica k1 1kα é convergente se α 1 e divergente se α 1 use a comparação das áreas 9 Mostre que a intint X int X b intA B intA intB e intA intB intA B Dê um exemplo em que intA intB intA B c Ā B Ā B d A B Ā B Dê um exemplo em que A B Ā B e Ā A A Conclua que A é fechado se e somente se contém todos seus pontos de acumulação f A é fechado se e somente se A A g Se A é discreto então A é enumerável h A é fechado Definição A fronteira de X denotada por fr X é o conjunto dos pontos x ℝ tal que toda vizinhança de x contém pontos de X e de ℝ X 10 Mostre que a ℝ int X intℝ X fr X onde as uniões são disjuntas b A ℝ é aberto se e somente se A fr A c X ℝ vale X X fr X Conclua que X é fechado se e somente se fr X X d Prove que uma reunião finita e uma interseção arbitrária de conjuntos compactos é um conjunto compacto 2 b X 01 c X nn1 n ℕ 10 Prove que a Se A é limitado superiormente e B A então supA supB b Se A é limitado inferiormente e B A então infA infB 3 No text detected 1 a A B Cc A Bc Cc Ac Bc Cc Ac Bc Cc b A B Cc A Bc Cc Ac Bc Cc 2 a 1 2 m mm12 m1 1 112 1 Suponga que vale para m e vamos provar para m1 1 m m1 m1m2 m1 m1m22 b 113 135 12m12m1 m2m1 m1 113 1211 Suponga que vale para m e vamos provar para m1 113 135 12m12m1 12m12m3 m2m1 12m12m3 12m1 m 12m3 2m2 3m 12m12m3 m12m12m32m1 m12m3 3 X finito φ Im X bijeção Y finito ψ Im Y bijeção X Y finito Φ Ip X Y bijeção ξ Immp X Y ξx φx 1 x p ψx p1 x m Ψxm m1 x mmp 4 m1 X a PX a mPX 21 2 Suponga que vale para m e vamos provar para m1 mX m1 mX a m mPX a 2m mPX 2m 2 2m1 5 a Y finito ψ Im Y bijeção f X Y injetivo ψ1 o f X Im injetivo mX mψ1 o fX b X límite ϕ Im X biyecóa f X Y sobreyectiva f o ϕ Im Y sobreyectiva my m 6 X límite ϕ Im X biyecóa ϕ ϕ1y Y biyecóa ϕ1y Im e límite Y e límite 7 Temo X y Y f1y Y enumeración f1y enumeración y Y X e unión enumeral de conjuntos enumeráiles X e enumeral 8 a x x y y x y y x y x y b y y x y x x y x y x x y c Poles items a e b x y x y x y x y x y x y 9 a infX minX 0 supX maxX 1 b infX 0 minX supX maxX 1 c X 1 1 1 m m ℕ infX minX 12 supX 1 maxX 10 a B A x supA x B supB supA b B A x infA x B infB infA 1 a BA x supA x B supB supA b BA x infA x B infB infA c x A y B x y supA supB supA B supA supB d x A y B x y infA infB infA B infA infB 2 a lim x2n lim x2n1 0 N 2N 2N 1 lim xn 0 b lim xn a xn a xn a ε lim xn a c Erroneous and tautological d lim xn a lim yn b lim xn yn a b xn yn ε a b ε 3 a sum k1 to m of 1kk1 sum k1 to m of 1k 1k1 11 1m1 1 1m1 m 1 b Divergente pelo Critério da Comparação c 14 sum k1 to m of 14k1 14k5 14 15 14m5 m 120 d sum k1 to infinity of 12k 12 1 12 1 4 m1 to am convergente Dm k1 to m am convergente s lim sm lim sm1 lim Dm Dm1 0 lim am 0 5 a Divergente pois lim am 1 0 b Convergente pelo Critério da Comparação c Convergente pelo Critério da Comparação d Convergente pelo Critério da Comparação e Convergente pelo Critério da Comparação f Divergente pois 1n m 1mm g Convergente pois cosmm² 1m² h Convergente pois cosmπ3m 1m i Convergente pois cosmm² 1m² 6 S m3 to am m2 to am n m3 to am n ξ am converge 7 Xm M m from m2 to am 0 Σm from k1 to m ak Xk from k1 to m ak Xk from k2 to m ak Xk from km1 to m ak Xk from km2 to m ak Xk M δ ε 8 Pelo Teste Integral from 1 to 1xα dx xα1 1α from 1 to 0 α 1 α 1 9 a intX X intintX intX Como intX é aberto intintX intX b i A B A intA B intA A B B intA B intB intA B intA intB ii A A B intA intB B A B intA B Exemplo A discreto B 01 intA B intA intB 01 c X X X¹ X ℝ fₐx x¹ X X fₐx Logo X X X X fₐx fₐx X d Kᵢ familia de conjuntos compactos K₁ K₂ K₁ K₂ K₁ K₂ K₁ K₂ é fechado x M₁ x K₁ y M₂ y K₂ z maxM₁ M₂ z K₁ K₂ K₁ K₂ é limitado K₁ K₂ é compacto ᵢₑᵢKᵢ ᵢₑᵢKᵢ ᵢₑᵢKᵢ ᵢₑᵢKᵢ ᵢₑᵢKᵢ é fechado x Mᵢ x supᵢₑᵢ Mᵢ x ᵢₑᵢKᵢ ᵢₑᵢKᵢ é compacto