Analise Real - 1a Prova e Lista de Exercicios Resolvidos

Trabalho para 1ª Prova de Análise Real Pr Dr Jaime Rezende de Moraes Nome RGM Questões Valores Notas 1ª 15 2ª 15 3ª 15 4ª 15 Total 60 Questão 1 15 ptos Dado um conjunto A chamase o conjunto das partes de A e indicase por PA o conjunto de todos os subconjuntos de A Por exemplo se A 1 então PA Ø 1 a 05 ptos Ache o conjunto das partes de A 12 e de B 123 b 10 pto Se um conjunto A tem n elementos mostre que PA tem 2n elementos Questão 2 15 ptos Seja Pn a seguinte afirmação 123n n1n2 2 a 05 ptos Mostre que se Pk vale então Pk1 vale b 10 pto Podemos concluir que Pn é válida para todo n N Justifique Questão 3 15 ptos Seja f X Y Prove que se Y é finito e f é injetiva então X é finito Questão 4 15 ptos Encontre o inf sup min e max do conjunto X Justifique c 05 ptos X 1n nN d 10 pto X n n1 n N Lista de Exercícios Análise Real Problema 1 Resposta a O primeiro conjunto é A 1 2 e as partes dele são PA 1 2 1 2 O outro conjunto é B 1 2 3 que resulta nas partes PA 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 b Vimos acima que um conjunto com 2 e 3 elementos têm respectiva mente conjunto das parte com 22 e 23 elementos Suponha por in dução que um conjunto X 1 2 n com n elementos tenha no conjunto das partes 2n elementos Tome o conjunto com um elemento a mais X n 1 1 2 n n 1 e pense num elemento Y em PX a Y a PX e temos que existe uma sobrejeção de PX a para PX e temos que para Z Z a Z PX são tais que ϕZ ϕZ a Z PX Assim cada elemento em PX corresponde a dois elemen tos em PX a e como existem 2n elementos em PX teremos um total de 2 2n elementos em PX a Problema 2 Resposta a Note que Pk 1 2 k k 1k 2 2 Observe que Pk 1 1 k k 1 k 1k 2 2 k 1 k2 3k 2 O resultado em questão é dado por 1 k k 1 kk 3 2 que mostra que Pk Pk 1 1 b Não podemos aplicar indução porque não existe nenhum inteiro que satisfaça a relação para começar a cadeia de indução P1 1 0 3 2 0 P2 1 2 1 4 2 2 P3 1 2 3 2 5 2 5 Observe que n1n2 2 1 n2n 2 nn1 2 e é possível provar que 1 n nn 1 2 que indica que n1n2 2 corresponde sempre a 1 n 1 na realidade Problema 3 Resposta Se f X Y é uma função injetiva com Y finito Tomemos ˆf X Imf Y Sabemos que ˆf é bijetiva e que um subconjunto de Y é finito ou seja existe uma bijeção g 1 n Imf Portanto s g ˆf 1 In X é uma bijeção e X fica caracterizado como finito Problema 4 Resposta a O ínfimo de 1 n n N é 0 Pois observe que para todo ε 0 existe sempre n0 tal que se n n0 temos 0 1 n 0 ε Assim 0 é uma cota inferior máxima b Aqui é semelhante ao anterior tendo que 1 é o supremo pois para todo ε 0 existe n0 tal que n n0 vale 1 ε n n 1 1 1 n 1 1 Note que é equivalente a 0 1 n 1 ε Assim temos que 1 é uma cota superior mínima 2