Diagonalização de Operadores Lineares

Universidade Estadual de Santa Cruz UESC Departamento de Ciências Exatas DCEX Disciplina Álgebra Linear I Prof Liliane X Neves DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES Proposição 1 Se T V V é um operador Linear então 1 Se v é o vetor próprio associado ao valor próprio λ de T então o vetor αv para qualquer real α 0 é também vetor próprio de T associado ao mesmo λ 2 Se λ é um valor próprio de T o conjunto Sλ de todos os vetores v V inclusive o vetor nulo associados ao valor próprio λ é um subespaço vetorial de V O subespaço Sλ v V Tv λv é denominado subespaço associado ao valor próprio λ ou espaço caracte rístico de T correspondente a λ ou autoespaço associado a λ 3 Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico e por isso os mesmos valores próprios Diagonalização de Operadores Sabese que dado um operador linear T V V a cada base B de V corresponde uma matriz TB que representa T na base B Queremos obter uma base do espaço de modo que a matriz de T nessa base seja a mais simples representante de T Veremos que essa matriz é uma matriz diagonal Teorema 2 Vetores próprios associados a valores próprios distintos de um operador T V V são linearmente independentes Corolário 3 Dado um operador T R2 R2 com λ1 λ2 o conjunto v1 v2 formado pelos vetores próprios associados será uma base do R2 Este fato vale em geral isto é se T V V é linear dimV n e T possui n valores próprios distintos o conjunto v1 v2 vn formado pelos correspondentes vetores próprios é uma base de V Exemplo 4 Determinar uma base de R2 formada por vetores próprios do operador T R2 R2 tal que Tx y 3x 5y 2y Observação 5 Dada uma base de um espaço formada por vetores próprios conhecidos os valores próprios associados poderemos determinar o respectivo operador nesse espaço Exemplo 6 Determinar Tx y se os valores próprios de T R2 R2 são λ1 2 e λ2 3 sendo v1 1 1 e v2 1 0 os respectivos vetores associados Observação 7 Chamando de P a base de R2 do exemplo anterior P 1 1 1 0 e observando que T1 1 21 1 21 1 01 0 T10 310 01 1 310 concluémos que a matriz 2 0 Tlp me 5 3 representa o operador T na base dos vetores préprios e uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal sao v1 Ag O seu melhor requer o seu tempo 2