Espaços Vetoriais com Produto Interno - Aula 15

ESPAÇOS VETORIAIS COM PRODUTO INTERNO Aula 15 05 2023 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS DISCIPLINA ÁLGEBRA LINEAR I PROFA LILIANE XAVIER NEVES Retomando Espaços vetoriais com produto interno Problemas propostos 𝑎 𝑢 𝑣 𝑥1𝑥2 3𝑦1𝑦2 𝑐 𝑢 𝑣 2𝑥1 2𝑦12 3𝑥22𝑦22 𝑧12𝑧2 𝑒 𝑢 𝑣 𝑥1𝑥2 𝑦1𝑦2 𝑧1𝑧2 𝑥2 𝑦1 𝑥1𝑦2 Questão 4 Sejam 𝑽 ℝ𝟑 e os vetores 𝒖 𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒛𝟏 e 𝐯 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre ℝ𝟑 Distância entre dois vetores A distância entre dois vetores u e v é o número real representado por du v e definido por du v u v Observação 8 Se v 1 o vetor v é chamado vetor unitário e dizemos que ele está normalizado Para normalizar um vetor não nulo v V fazemos u v v Módulo de um vetor Dado um vetor v de um espaço vetorial euclidiano V chamase módulo norma ou comprimento de V o número real não negativo v v v Proposição 10 Seja V um espaço vetorial euclidiano 1 v 0 v V e v 0 se e somente se v 0 2 αv αv v V α R 3 u v u v uv V 4 u v u v uv V 1 v 0 v V e v 0 se e somente se v 0 por definição v 0 µu 0 µµ 0 µ 0 µ 0 2 αv αv v V αv αv αv α² v v α² v v α v u u u v v u v v u² α² v² v² α² 0 Temos um trinômio do 2º grau em α tal que seu discriminante é negativo ou nulo 4u v² 4u² v² 0 Portanto u v² u² v² 0 1u v² u v uv V u v² u v u v u u u v v u v v u² v² 2u v pela disj de Cauchy u v² Ângulo entre dois vetores Sejam u e v vetores nãonulos de um espaço vetorial euclidiano V definimos cos θ u v u v 0 θ π onde θ é o ângulo dos vetores u e v Exemplo 11 Considerando o produto interno usual determinar o ângulo entre os vetores a u 215 e v 502 b u 1123 e v 2012 Problemas propostos 𝑎𝑝1 𝑝2 𝑏 𝑝1 e 𝑝2 𝑐 𝑝1 𝑝2 𝑑 𝑝2 𝑝2 𝑒 cosseno do ângulo entre 𝑝2 𝑒 𝑝3 Questão 5 Consideremos o seguinte produto interno em 𝑃2 𝑝 𝑞 𝑎2𝑏2 𝑎1𝑏1 𝑎0𝑏0 sendo 𝑝 𝑎2𝑥2 𝑎1𝑥 𝑎0 e q 𝑏2𝑥2 𝑏1𝑥 𝑏0 Dados os vetores 𝑝1 𝑥2 2𝑥 3 𝑝2 3𝑥 4 e 𝑝3 1 𝑥2 calcular Vetores Ortogonais Seja V um espaço vetorial euclidiano Dois vetores u e v são ortogonais e denotamos u v se e só se u v 0 Exemplo 12 Os vetores u 32 e v 43 de ℝ² não são ortogonais considerando o produto interno x₁y₁ x₂y₂ x₁x₂ y₁y₂ Observação DEMONSTRAÇÃO 1 0 𝑢 0 2 𝛼𝑢 𝑣 𝛼 𝑢 𝑣 𝛼0 0 3 Sejam 𝑢1 𝑣 0 e 𝑢2 𝑣 0 então 𝑢1 𝑢2 𝑣 𝑢1 𝑣 𝑢2 𝑣 0 0 0 O seu melhor requer o seu tempo