Valores e Vetores Próprios em Operadores Lineares

Universidade Estadual de Santa Cruz UESC Departamento de Ciências Exatas DCEX Disciplina Álgebra Linear I Prof Liliane X Neves VALORES E VETORES PRÓPRIOS Vetores e Valores Próprios Denição 1 Seja T V V um operador linear Um vetor v V v 0 é vetor próprio do operador T se existe λ R tal que Tv λv O número real λ tal que Tv λv é denominado valor próprio de T associado ao vetor próprio v Observação 2 Os vetores próprios também são denominados vetores característicos ou autovetores e os valores pró prios valores característicos ou autovalores Exemplo 3 Vericar se os vetores u 5 2 e v 2 1 são vetores próprios do operador T R2 R2 denido por Tx y 4x 5y 2x y Exemplo 4 Na simetria denida no R3 por Tv v qualquer vetor v 0 é vetor próprio associado ao valor próprio λ 1 Para determinar os vetores e os valores próprios de um operador T R3 R3 considere a matriz do operador T AT A a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 se v e λ são respectivamente vetor próprio e o correspondente valor próprio do operador T então A v λv onde v é uma matriz coluna 3 1 Equivalentemente temos A v λv 0 Como v I v onde I é a matriz identidade escrevemos Av λIv 0 ou A λIv 0 Para que este sistema admita soluções não nulas devemos ter detA λI 0 A equação detA λI 0 é denominada equação característica do operador T ou da matriz A e suas raízes são os valores próprios do operador T ou da matriz A O determinante detA λI é um polinômio em λ denominado polinômio característico A substituição de λ pelos seus valores no sistema homogêneo A λIv 0 permite determinar os vetores próprios associados Exemplo 5 Determinar os valores próprios e os vetores próprios do operador linear T R3 R3 Tx y z 3x y z x 5y z x y 3z 4 5 Exercicio 6 Determinar os valores préprios e os vetores préprios da matriz A oI 16 10 Exercicio 7 Determinar os valores préprios e os vetores préprios da matriz A ie og O seu melhor requer o seu tempo 2