Espaços com Produto Interno em Álgebra Linear II

1 Universidade Estadual de Santa Cruz Departamento de Ciˆencias Exatas e Tecnologicas CET 1117 Algebra Linear II Profa Elisangela Farias Espacos com Produto Interno Lembremos de inıcio que um dos conceitos fundamentais quando se estuda os vetores em geometria e o de produto escalarou produto interno euclidiano que e uma aplicacao que a cada par de vetores uv associa um numero real dado por u v uvcosθ onde θ e o ˆangulo formado por u e v E em termos de coordenadas se u x1 x2 x3 e v y1 y2 y3 entˆao u v x1y1 x2y2 x3y3 O que faremos e generalizar a definicao de produto escalartornando possıvel introdu zir as nocoes de comprimento distˆancia e ˆangulo em espacos vetoriais arbitrarios enriquecendo essa estrutura Um produto interno num espaco vetorial V e um funcional bilinear simetrico positivo em V mais precisamente 01 Definicao Seja V um espaco vetorial de dimensao finita sobre R ou sobre C Um pro duto interno em V e uma funcao que associa um escalar real ou complexo que denotaremos u v a cada par de vetores u v V de maneira que as seguintes condicoes sao satisfeitas u v w V e k R ou k C a u v v u onde a barra indica conjugacao complexa axioma de simetria b u v w u w v w axioma de aditividade c ku v k u v axioma de homogeneidade d u u 0 sendo u u 0 se e somente se u 0 axioma da positividade Observacoes 1 As condicoes a b c implicam em e u kv w ku v u w 2 2 Quando o espaco é definido sobre o corpo R os complexos conjugados que aparecem nas definicdes acima sao supérfluos 02 PROPOSIGAO Seja V um espaco vetorial sobre R com produto interno entao seuvw V ek um escalar qualquer em R entao a 0v v0 0 b uvtw uvuw cukvu kuv d uvw uywvw e uvw uvuw 03 PROPOSIGAO Seja V um espaco vetorial sobre C com produto interno entao seuvw V ek é um escalar qualquer em C entao a uku k uv b uavbw 4uv4buw Um espago com produto interno é um espaco vetorial real ou complexo munido de um produto especificado sobre aquele espaco Um espaco vetorial real com produto interno e dimensao finita é frequentemente chamado espaco euclidiano Um espaco complexo com produto interno é frequentemente chamado de espaco unitario Exemplo 01 Produto Interno usual do R Se u 1Un V Y15Yn a elementos quaisquer do R entao uv O UV UV HX Yi tee 2n Yn Exemplo 02 A aplicagao dada por ft gt O ft gt fo ftgtdt um produto interno sobre o espaco PR Exemplo 03 Seja V o espaco vetorial das matrizes man sobre R Entao AB trB A é um produto interno em V Exemplo 04 Sejam u 21 X2Ln CV Y1 Yo Yn vetores em C O produto interno canonico dado por uv XY LoYo LnYn Quando uv sao vetores em R temos Yj Yi OC UV MY t Loot UnYn T1iyr tLayotLnYn isto recaise ao exemplo 1 3 Exemplo 05 PRODUTO INTERNO EUCLIDIANO PONDERADO O produto interno euclidiano e o produto interno mais importante do Rn Contudo existem varias aplicacoes nas quais e desejavel modificar o produto interno euclidiano pon derando seus termos diferentemente Mais precisamente se w1 w2 wn sao numeros reais positivos que chamamos pesos e se u u1 un e v v1 vn sao vetores no Rn entao u v w1u1v1 w2u2v2 wnunvn define um produto interno no Rn o produto interno euclidiano ponderado com pesos w1 w2 wn Para ilustrar uma maneira pela qual pode surgir um produto interno euclidiano pon derado suponha que um experimento fısico possa produzir qualquer um dos n possıveis valores numericos x1 x2 xn e que m repeticoes do experimento fornecem estes valores com varias frequˆencias ou seja que x1 ocorre f1 vezes x2 ocorre f2 vezes e assim por diante Como ha um total de m repeticoes do experimento temos f1 f2 fn m Assim a media aritmetica dos valores numericos observados e x f1x1f2x2fnxn f1f2fn 1 mf1x1f2x2fnxn Se escrevermos f f1 f2 fn x x1 x2 xn w1 w2 wn 1 m entao x f x w1f1x1 w2f2x2 wnfnxn 04 Definicao Seja V um espaco com produto interno Definimos a norma ou comprimento de um vetor v em relacao a este produto interno por v v v Se v 1 isto e v v 1 entao v e chamado vetor unitario Dizemos tambem neste caso que v esta normalizado 05 Teorema PROPRIEDADES DO COMPRIMENTO Se u e v sao vetores em um espaco com produto interno V e se k e um escalar qualquer entao a u 0 b u 0 se e somente se u 0 c kv kv d u v u v Desigualdade Triangular 4 06 Teorema DESIGUALDADE DE CAUCHYSCHWARZ Se u e v sao vetores de um espaco com produto interno entao u v uv 1 Bases Ortonormais 07 Definicao Um conjunto de vetores em um espaco com produto interno e chamado um conjunto ortogonal se quaisquer dois vetores distintos do conjunto sao ortogonais Um con junto ortogonal no qual cada vetor tem norma 1 e chamado ortonormal Se v e um vetor naonulo de um espaco com produto interno entao o vetor 1 vv tem norma 1 Esse processo e chamado normalizacao de v Um conjunto ortogonal de vetores naonulos pode ser sempre convertido num conjunto ortonormal normalizando cada um de seus vetores Exemplo 06 Sejam u1 0 1 0 u2 1 0 1 u3 1 0 1 e suponha R3 com o produto interno euclidiano Normalizemoso Num espaco com produto interno uma base consistindo de vetores ortonormais e cha mada Base Ortonormal e uma base consistindo de vetores ortogonais e chamada Base Or togonal 08 Teorema Se S v1 v2 vn e um conjunto ortogonal de vetores naonulos de um espaco vetorial com produto interno entao S e linearmente independente LI 09 Corolario Pitagoras Seja v1 v2 vn um conjunto ortogonal de vetores Entao v1 vn2 v12 vn2 010 Teorema Se S v1 v2 vn e um conjunto ortogonal de vetores naonulos de um espaco vetorial com produto interno entao u V o vetor w uc1v1c2v2cnvn ci uvi vi2 e ortogonal a todo vetor do subespaco gerado pelos vetores de S 011 Teorema Processo de Ortonormalizacao de GramSchmidtTodo espaco veto rial euclidiano V de dimensao finita n 0 admite uma base ortonormal 5 Demonstracao Seja B v1 v2 vn uma base para V Vamos obter a partir de B uma base ortogonal w1 w2 wn para V Facamos w1 v1 Agora pretendemos encontrar w2 que dependa de v2 e seja ortogonal a w1 para isso calculemos c11 tal que w2 v2 c11w1 o que nos da w2 v2 v2 w1 w12 w1 Para encontrar w3 que dependa de v3 e seja ortogonal a w1 e a w2 precisamos calcular c21 e c22 tal que w3 v3 c21w1 c22w2 obtendo w3 v3 v3 w1 w12 w1 v3 w2 w22 w2 e assim sucessivamente ate obter wn vn vn w1 w12 w1 vn w2 w22 w2 vn wn1 wn12 wn1 012 Teorema Se B w1 w2 wr e uma base ortogonal para um subespaco W de V entao podese estender S a uma base ortogonal de V isto e e possıvel achar vetores wr1 wn tais que w1 wn seja uma base ortogonal de V Complementos Ortogonais Seja S um subconjunto de um espaco com produto interno PI V O complemento ortogonal de S consiste dos vetores em V que sao ortogonais a todo vetor u S S v V v u 0 u S Em particular para um dado vetor u V temos u v V u v 0 isto e u consiste de todos os vetores em V que sao ortogonais ao vetor u dado Descricao Geometrica de u 013 Proposicao Se S e um subconjunto qualquer de um espaco vetorial com produto interno V entao S e subespaco de V 6 014 TEOREMA Seja W subespaco de V Entdo V é a soma direta de W e W isto é V W ewe Exemplo 07 Seja W o eiroz isto é W 00c R Entéo W é planozy ou seja W ab0ab R eR WeWwt O interesse em encontrar bases ortonormais de espacos com produto interno é motivado em parte pelo teorema seguinte que mostra que é muito simples expressar um vetor em termos de uma base ortonormal 015 TEOREMA Seja B u1Un uma base ortogonal para V Entdao para qualquer vetor v V temse vu1 UU2 UUn Vv FE tn H Urn U1 U1 U2 U2 Un Un onde cada escalar ky 2 i 1n chamado coeficiente de Fourier de v Uj Ui wil uo em relacao a U Em particular se B ortonormal entado uuj 1k vuj e Vv UUy Ujt U U2 Ua UUn Un Desigualdade de Bessel 016 TEOREMA Seja B e1e wm conjunto ortogonal ou ortonormal de vetores do espaco V com PI Sejav um vetor arbitrario de V ec o coeficiente de Fourier de v em relacao a e Entao r 2 2 Soc lell k1 Observe que o teorema nos diz que no caso ortonormal v esta no subespaco gerado por B se e somente se r v doo k1 ou seja se e somente se a desigualdade de Bessel é na verdade uma igualdade Exercicios 7 1 Verifique se a uv 1y Tayo b UV Xi yox3 Yi Loy3 8A0 produtos internos em R onde u 21 7273 e V 41 Ya Y3 2 Seja V o espaco vetorial das matrizes n x n sobre R ou C Mostre que A B trB A define um produto interno em V 3 Seja V o espaco vetorial dos polinémios sobre R Mostre que fg I ftgtdt define um produto interno em V 4 Seja uv ulu Mostre que u e v sao Linearmente Dependentes LD 5 Sejam fuv e guv produto interno em um espaco vetorial V Prove que a A soma f g é um produto interno em V onde f guv fuv gu v b O produto por escalar kfk 0 6 um produto interno em V onde kfuv kf uv 6 Seja V o espaco vetorial de polindmios sobre R de grau 2 com produto interno fig fo ftgtdt Ache uma base do subespaco W ortogonal a ht 2t 4 1 7 Seja V o espaco vetorial das matrizes quadradasm 2 sobre R com produto interno AB trB A Ache uma base ortogonal para o complemento ortogonal a das matrizes diagonais b das matrizes simétricas 8 Seja u1 Ue uy um conjunto ortogonal de vetores Mostre que kyw1 kota kp é ortogonal para escalares ky k 9 Seja V o espaco vetorial de polindmios ft com Produto Interno fg fe ftgtdt Aplique o algoritmo de GramSchmidt ao conjunto 1 para obter um con junto ortogonal com coeficientes inteiros 10 Ache a matriz que representa o produto interno usual em R em relacao a cada uma das seguintes bases 1 4 2 3 e 1 3 6 2 11 Considere 0 seguinte produto interno em R fuv r1y1221y22r2y1 522y9 onde u 2141 Vv Y1 yz Ache a matriz B que representa esse produto interno em R em relacao a cada uma das bases do problema anterior 8 12 Verifique que a1u1a2u2 b1v1b2v2 a1b1 u1 v1 a1b2 u1 v2 a2b1 u2 v1 a2b2 u2 v2 e generalize 13 Sejam u 1 i 3 4 i e v 3 4i 1 i 2i em C3 Calcule a u v b v u c v d u e du v onde d e a funcao distˆancia entre u e v 14 Seja V um espaco complexo com produto interno Verifique a relacao u av1 bv2 a u v1 b u v2 15 Suponha u v 32i em um espaco complexo V com produto interno Calcule a 2 4iu v b u 4 3iv c 3 6iu 5 2iv 16 Ache o coeficiente de Fourier e a projecao de v 3 4i 2 3i ao longo de w 5 i 2i em C2 17 Ache uma base ortogonal para u em C3 onde u 1 i 1 i 18 Ache uma base ortonormal do subespaco W de C3 gerado por v1 1 i 0 e v2 1 2 1 i 19 Ache o coeficiente de Fourier e a projecao de a u 3 i 5 2i ao longo de w 5 i 1 i em C2 b u 1 i 3i 1 i ao longo de w 1 2 i 3 2i em C3 20 Sejam u z1 z2 e w1 w2 em C2 Verifique se fu v z1w1 1 iziw2 1 iz2w1 3z2w2 e um produto interno em C2 21 Sejam u z1 z2 e w1 w2 em C2 Para que valores de a b c d C u v az1w1 bz1w2 cz2w1 dz2w2 e um produto interno em C2 22 Seja V um espaco real com PI Mostre que 9 a u v se e somente se uvuuv 0 b ju v Jv se e somente se uv 0 Apresente contra exemplos que provem que as afirmacoes dadas acima nao sao validas em geral por exemplo em C 23 Considere em PR o produto interno definido do seguinte modo oe at eo bt eg ab para todo par de polindmios ft ye at e gt ye bt desse espaco A base canonica 1tt de P2R é ortonormal em relacéo a esse produto 24 Mostrar que a base canonica de PR nao é ortonormal em relacgao ao PI dado por 1 fig fp FOaltat 25 Seja B g19n uma base ortonormal de um espaco euclidiano Dados u Soe digi CU doe digi calcular uv 26 Achar uma base do subespaco V onde V é 0 subespaco do R gerado por 10 1 1 e 1120 Ortonormalize esta base 27 Seja V um espaco vetorial sobre um corpo R ou C e f um produto interno sobre V Mostre que a f0v 0Vu EV b Se fu v 0 Vu V entao u 0 28 Seja V um espaco vetorial sobre um corpo F Verifique se a A soma de dois produtos internos sobre V é um produto interno PI sobre V b A diferenca de dois produtos internos sobre V é um PI c Um multiplo positivo de um produto interno sobre V é um PI 29 Mostre que o produto interno candnico sobre C é um produto interno 30 Seja V um espaco com PI Entao sao validas as identidades de polarizagao 10 a Se V e real u v 1 4x y2 1 4x y2 b Se V for complexo u v 1 4x y2 1 4x y2 i 4x iy2 i 4x iy2 31 Mostre que em todo espaco com produto interno vale a identidade do paralelogramo x y2 x y2 2x2 y2 OBS Esta apostila tˆem como objetivo orientar o decorrer da aula onde os concei tos e resultados aqui descritos serao devidamente desenvolvidos explicados e exemplificados sendo portanto imprescindıvel o acompanhamento da aula para que esta apostila seja de fato elucidativa Referˆencias Bibliograficas 1 BuenoHamilton Algebra LinearUm segundo CursoRio de JaneiroSBM2006 Tex tos Universitarios 2 Callioli Domingues e Costa Algebra Linear e Aplicacoes6aedicao reformuladaSao Paulo Atual1990 3Hoffman Kenneth e Kunze Ray Algebra Linear Sao Paulo Editora da Universi dade de Sao Paulo e Polıgono1970 4Lima Elon Lages Algebra Linear 7ed Rio de Janeiro IMPA2008 5 LipschutzSeymour Algebra Linear teoria e problemas3aedicaoSao Paulo Pear son Makron Books1994 Colecao Schaum