Transformações Lineares: Definições e Exemplos

dé Universidade Estadual de Santa Cruz UESC DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Exatas DCEX Sry Disciplina Algebra Linear I Prof Liliane Xavier Neves TRANSFORMACOES LINEARES Transformacgoes Lineares Vamos estudar um tipo especial de fungaéo onde o dominio e o contradominio sao espacos vetoriais reais Assim tanto a varidvel independente como a variadvel dependente sao vetores razdo pela qual essas fungdes séo chamadas de fungdes vetoriais ou transformacoes vetoriais Definigao 1 Sejam U e V espacos vetoriais Uma aplicagao T U V chamada transformagao linear de U em V se i Tu1 ug Tu1 Tu2 ii Tauz aT uz para todo uu2 U e para todo aE R Uma transformacao Linear de U em U é chamada operador Linear sobre U Exemplo 2 1 A transformacéo T R R3 Tx y 32 2y x y é linear 2 A transformagdao identidade I V V Iv v linear 3 A Transformagéo nula T V W Tv 0 é linear 4 A transformagao T R R Tx y x7 3y nao é uma transformagao linear Propriedades das Transformacgoes Lineares 1 SeTU V é uma transformacao linear entao T0 0 A reciproca deste resultado nao é verdadeira porém se T0 4 0 entao T nao é linear 2 Seja W Cc U um subespaco vetorial entao TW é um subespaco vetorial de V onde T U V é uma transformacao linear i1 il Observagao 3 Se B uju2Un uma base de U para todo u U existem a1dn tais que u ayuy 1 AnUn e portanto Tu aT ui anT un Ou seja sempre que forem dados Tu1T un onde u1Un base de U a transformacao T estaré perfeitamente definida Exemplo 4 Seja T R R uma transformacdo linear e B uyu2u3 onde u 010 uz 101 e uz 110 uma base do R Sabendo que Tu1 1 2 Tuz 31 e Tu3 02 determinar a T5 3 2 b Tx y z Exercício 5 Um operador linear é denido por T R2 R2 onde T1 0 2 3 e T0 1 4 1 Determinar Tx y Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear Denição 6 Chamase núcleo de uma transformação linear T U V o conjunto de todos os vetores u U que são transformados em 0 V NT u U Tu 0 Observação 7 1 NT U 2 NT pois 0 NT Exemplo 8 Determinar o núcleo das transformações lineares seguintes a T R2 R2 Tx y x 2y x 3y b T R3 R2 Tx y z x y 4z 3x y 8z Denição 9 Chamase imagem de uma transformação linear T U V o conjunto de todos os vetores v V que são imagens de vetores u U ImT v V Tu v u U Observação 10 1 ImT V 2 ImT pois 0 T0 Imf 3 Se ImT V dizemos que T é sobrejetora Exemplo 11 Determinar a imagem da transformação linear denida por T R3 R3 Tx y z x y 0 Propriedades do Núcleo e da Imagem de uma Transformação Linear Seja T U V uma transformação linear Então 1 NT é um subespaço vetorial de U 2 ImT é um subespaço vetorial de V 3 T é injetora see somente se TT 0 O seu melhor requer o seu tempo 2