Espaços Vetoriais com Produto Interno

444 Universidade Estadual de Santa Cruz UESC DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Exatas DCEX Disciplina Algebra Linear I Prof Liliane Xavier Neves war ESPACOS VETORIAIS COM PRODUTO INTERNO Definigao 1 Um produto interno no espago vetorial V é uma fungado de V x V em R que a todo par de vetores uv V x V associa um nimero real indicado por uv ou uv tal que os seguintes axiomas sejam verificados Pl uvvu P2 uuwuvuw P3 auvauv para todo real alpha P4 uu0euu0 se e somente se u 0 O ntimero real uv é chamado produto interno dos vetores u ev Exemplo 2 Séo exemplos de produto interno as fungées a No espago vetorial R a fungdo que associa a cada par de vetores u 1 y1 Vv 2y2 0 ntimero real UV 321 2 4y1y2 b Seja V PoR e p aor a12a9 g box bi x bo vetores de P2R A formula p gq azb2 abi aobo define um produto interno em P2R b c O espago vetorial V tal que V f ab R f é continua com o produto fg fx gxdz a d O produto interno usual de R é definido por uv xy tayo LnYn para U 12n v Y1Y2Yn vetores de R Proposigao 3 Dos quatro Axiomas da definigao 1 decorrem as propriedades a seguir I 0uu 0 0V weV II utvwuwtovw III u av auv IV w vy vo n Suv urvot Un Definigao 4 Um espaco vetorial real de dimensao finita no qual esté definido um produto interno é um espaco vetorial euclidiano Queremos definir nocdes de comprimento distancia e 4ngulos nesses espacos vetoriais Médulo de um vetor Dado um vetor v de um espaco vetorial euclidiano V chamase médulo norma ou compri mento de V o ntimero real nao negativo v v v Exemplo 5 Considere o seguinte produto interno em P2R p q a2b2 a1b1 a0b0 sendo p a2x2 a1x a0 e q b2x2 b1x b0 vetores de P2R Então Calcule p se p 1 x2 Exercício 6 Dena uma fórmula para o cálculo da norma de um vetor considerando o produto interno usual de vetores de Rn Distância entre dois vetores A distância entre dois vetores u e v é o número real representado por du v e denido por du v u v Exercício 7 Com o produto interno usual calcule a distância de dois vetores de R3 Observação 8 Se v 1 o vetor v é chamado vetor unitário e dizemos que ele está normalizado Para normalizar um vetor não nulo v V fazemos u v v Exemplo 9 Consideremos o espaço vetorial R3 com o produto interno v1 v2 3x1x2 2y1y2 z1z2 sendo v1 x1 y1 z1 e v2 x2 y2 z2 Com relação a este produto interno verique se v 2 1 2 é unitário Caso não seja normalizeo Proposição 10 Seja V um espaço vetorial euclidiano 1 v 0 v V e v 0 se e somente se v 0 2 αv αv v V α R 3 u v u v u v V 4 u v u v u v V Ângulo entre dois vetores Sejam u e v vetores nãonulos de um espaço vetorial eucliano V denimos cos θ u v uv 0 θ π onde θ é o ângulo dos vetores u e v Exemplo 11 Considerando o produto interno usual determinar o ângulo entre os vetores a u 2 1 5 e v 5 0 2 b u 1 1 2 3 e v 2 0 1 2 Vetores Ortogonais Seja V um espaço vetorial euclidiano Dois vetores u e v são ortogonais e denotamos u v se e só se u v 0 Exemplo 12 Os vetores u 3 2 e v 4 3 de R2 não são ortogonais considerando o produto interno x1 y1 x2 y2 x1x2 y1y2 Observação 13 1 O vetor nulo é ortogonal a qualquer outro vetor 2 Se u v então αu v α R 3 Se u1 v e u2 v então u1 u2 v 2 Conjunto Ortogonal de vetores Seja V um espaço vetorial euclidiano Dizemos que um conjunto de vetores v1 v2 vn V é ortogonal se vi vj 0 para todo i j Exemplo 14 No R3 o conjunto 1 2 3 3 0 1 1 5 3 é ortogonal em relação ao produto interno usual Exercício 15 Determinar os vetores a b c para que o conjunto B 1 3 2 2 2 2 a b c seja uma base ortogonal do R3 em relação ao produto interno usual Exercício 16 Sendo V R4 munido do produto interno usual determinar um vetor não nulo v R4 que seja ortogonal a v1 1 1 1 1 v2 1 2 0 1 e v3 4 1 5 2 Teorema 17 Um conjunto ortonormal de vetores nãonulos A v1 v2 vn é linearmente independente 3