Matriz de uma Transformação Linear

dé Universidade Estadual de Santa Cruz UESC DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Exatas DCEX Brus Disciplina Algebra Linear I Prof Liliane X Neves MATRIZ DE UMA TRANSFORMACAO LINEAR Sejam U e V espacos vetoriais de dimensaéo n e m respectivamente sobre R Consideremos uma transformagao Linear T U V Dadas as bases B uyUn de Ue C v1Um de V entao cada um dos vetores Tu1Tun esté em V e consequentemente combinagaéo linear da base C Tu1 Q11U1 21UV2 Am1Um T uz Q12U1 QA22V2 wee Am2Um T tn QinVy A2nVq AmnVm Definigao 1 A matrizm x n sobre R 11 12 ut Qin 21 O22 ute A2n Am1 Am2 te Amn que se obtém das consideragées anteriores chamada matriz da transformagao Linear T em relacao as bases B e C TBc Exemplo 2 Determinar a matriz de T R R dada por Tx y z 2a y 2 32 y2z em relacao as bases A 111 011 001 e B 21 53 Se v 342 coordenadas em relagaéo a base canénica do R calcular Tvp utilizando a matriz encontrada Exemplo 3 Determinar a matriz de T R R dada por Tzyz x yy4 2 em relacao as bases B 100 0 10 001 e 10 1 1 Observagao 4 Sejam U e V espagos vetoriais sobre R de dimensées n e m respectivamente Uma vez fixadas bases de U e V a cada trasformagao linear T LUV estdé associada uma tinica matriz T realm x n 1 2 8 3 m2 Exemplo 5 Dada a matriz M 010 ache T LRR de maneira que sendo B 100 01 0 01 2 e 10 11 se tenha M Tpc 1 3 5 Exercicio 6 Dada a matriz A 4 1 e as bases B 1001 e 6 100 01 0 001 do R e R respectivamente determine a transformagéo linear associada matriz A nas bases 8 e B Teorema 7 Seja TV W uma transformagao linear e a e 6 bases de V e W respectivamente Entao dim ImT posto de Ta dim NT nulidade de Tas numero de colunas posto de Tas Teorema 8 Sejam TV W eT2W U transformagoes lineares e ab bases de V W eU respectivamente Entéo a composta de T com Tz T20T VU linear e T2 TiJa7 Te 67 Lilay 1 O 1 2 1 1 Exercicio 9 Sejam R S eT transformagées lineares de R emR SeR 2 1 1efSJ 3 1 2 0 1 1 1 2 0O ache T tal que R S oT Exemplo 10 Sejam as transformacées lineares T R R e Tz R R cujas matrizes séo 1 0 0 1 1 dees Plea 0 1 O 0 1 1 em relagao as bases a 1002 6 50 3 11 15 205 e y 2011 Determinar a transformacdao linear composta Ty 0 T1 R R Corolario 11 Se TV W é uma transformacdéo linear inversivel e a e B séo as bases de V e W entéo T W V um operador linear e Tg4 To8 Corolario 12 SejaTV W uma transformagao linear e a e 8 bases de V e W entao T é inversivel se e somente se detTa3 0 oe 2 2 3 4 A 2 Exercicio 13 Seja T R R uma transformagao linear dada pela matriz T 2 3 na base candnica de R Verifique se T é inversivel Caso seja determine T O seu melhor requer o seu tempo 2