Teorema do Núcleo e da Imagem em Álgebra Linear

Universidade Estadual de Santa Cruz UESC Departamento de Ciências Exatas DCEX Disciplina Álgebra Linear I Profª Liliane X Neves TEOREMA DO NÚCLEO E DA IMAGEM Teorema 1 Teorema do Núcleo e da Imagem Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão nita sobre R Dada uma transformação linear T U V temos dimU dimNT dimImT Exemplo 2 Aplique o teorema na transformação f R3 R3 tal que Tx y z x y 0 1 Aplique o teorema na transformação identidade 2 Aplique o teorema na transformação nula Exercício 3 Dado o operador linear T R3 R3 tal que Tx y z x 2y z y 2z x 3y z a determinar o núcleo de T a dimensão do núcleo e uma de suas bases b determinar a imagem de T e uma de suas bases c Vericar o teorema do núcleo e da imagem Corolário 4 Seja T V W uma transformação linear Se dimV dimW então T é injetora se e somente se é sobrejetora Corolário 5 Seja T V W uma transformação linear Se dimV dimW e T é injetora então T transforma base em base Ou seja se β v1 v2 vn é base de V então Tβ Tv1 Tv2 Tvn é base de W Denição 6 Chamase Isomorsmo uma transformação linear T U V bijetora Se o Isomorsmo é do espaço vetorial U em U então temos um Automorsmo Exemplo 7 1 A transformação identidade é um automorsmo 2 O operador T R3 R3 denido por Tx y z x z x z y é um automorsmo Proposição 8 Se T U V é um isomorsmo então T 1 V U também é um isomorsmo Exemplo 9 O operador T R3 R3 denido por Tx y z x z x z y é um automorsmo Determine T 1 R3 R3 Teorema 10 Os espaços vetoriais de dimensão nita sobre R U e V são isomorfos se e somente se dimU dimV O seu melhor requer o seu tempo