Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt em Espaços Vetoriais

Universidade Estadual de Santa Cruz UESC Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas DCET Disciplina Álgebra Linear I Prof Liliane X Neves PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAMSCHMIDT Denição 1 Dizse que uma base β v1 vn de V é ortogonal se seus vetores são dois a dois ortogonais Exemplo 2 O conjunto β 1 2 3 3 0 1 1 5 3 é uma base ortogonal de R3 Denição 3 Uma base β v1 vn deum espaço vetorial euclidiano V é ortonormal se β é ortogonal e todos os seus vetores são unitários Exemplo 4 São exemplos de bases ortonormais com o produto interno usual a β 1 0 0 1 b β 1 3 1 3 1 3 2 6 1 6 1 6 0 1 2 1 2 Processo de Ortogonalização de GramSchmidt Dado um espaço vetorial euclidiano V e uma base qualquer β v1 vn desse espaço é possível a partir dessa base determinar uma base ortogonal de V Para obter uma base ortonormal basta normalizar cada vetor obtido no processo de GramSchmidt Exemplo 5 Usar o processo de GramSchmidt para obter uma base ortornormal do R3 a partir da base β 1 1 1 0 1 1 0 0 1 Exercício 6 Usar o processo de GramSchmidt para obter uma base ortornormal do R2 e do R3 a partir da base a β 3 4 1 2 b β 1 0 0 0 1 1 0 1 2 c β 1 0 1 1 0 1 0 3 4 Denição 7 Se S1 e S2 são subconjuntos nãovazios de um espaço vetorial euclidiano V dizse que S1 é ortogonal a S2 e se representa por S1 S2 se qualquer vetor v1 S1 é ortogonal a qualquer vetor v2 S2 Exemplo 8 Os conjuntos S1 0 1 2 0 2 4 e S2 1 2 1 2 2 1 4 6 3 são ortogonais relativa mente ao produto interno usual no R3 Teorema 9 Seja V um espaço vetorial euclidiano e β v1 vp uma base de um subespaço S de V gerado por B Se um vetor u V é ortogonal a todos os vetores da base β então u é ortogonal a qualquer vetor do subespaço S gerado por β Dizse nesse caso que u é ortogonal a S e se representa por u S Denição 10 Seja V um espaço vetorial euclidiano e S um subespaço vetorial de V Consideremos o subconjunto de V formado pelos vetores que são ortogonais a S S v V v S Esse subconjunto S de V é chamado complemento ortogonal de S Propriedades 11 Considerando o produto interno usual determinar o ângulo entre os vetores a S é subespaço de V b Se S é subespaço vetorial de V então V S S Exemplo 12 1 Seja V R3 com o produto interno usual e S 0 0 cc R Então S a b 0a b R 2 Seja V R2 com o produto interno usual e S x xx R Então S x xx R Exemplo 13 Seja o produto usual no R4 e 0 subespaço de dimensão 2 S 1 1 0 1 1 2 1 0 Determinar S e uma base ortonormal de S O seu melhor requer o seu tempo 2