Integrais Triplas

um trabalho único com um item de definição teórica um item de aplicação de Integrais Triplas e 3 três exercícios resolvidos com a seguinte distribuição I 25 pontos Item de definição Teórica II 25 pontos Aplicação da Integral Tripla III 10 ponto Escolher um item entre as questões 1 a 5 IV 20 pontos Um item da 6 V 20 pontos Um item da 7 Todos os esboços das regiões de integração e desenvolvimento das contas devem estar nas respostas Os esboços poderão ser feitos usando Geogebra ou outro software de gráficos Respostas sem esboço ou sem desenvolvimento das contas não serão considerados I 25 pontos Pesquisa de Material Bibliográfico I Defina o conceito de Integral Tripla Por Somas de Riemann em paralelepípedos Defina e esboce os tipos de região Tipo I II e III de integração no espaço conforme apresentado nos textos de apoio Nesse item vocês poderão utilizar o material disponibilizado e também aplicativos e softwares para os esboços se acharem pertinente II 25 pontos Pesquisa de Material Bibliográfico II Apresente uma aplicação em Matemática Física Química ou Engenharia da Integral Tripla Nesse item vocês poderão simplesmente apresentar um exemplo de aplicação interessante que encontrarem da Integral Tripla III 10 ponto Escolher um item entre as questões 1 a 5 1 Calcule D xy y² dV onde D xyz R³ 1 x 10 y 20 z 1 utilizando 3 ordens diferentes de integração 2 Calcule D s²y x³ dV onde D xyz R³ 1 x 10 y 20 z 1 utilizando 3 ordens diferentes de integração 3 Calcule D x²z³ y dV onde D xyz R³ 1 x 10 y 20 z 1 utilizando 3 ordens diferentes de integração 4 Calcule D x²z y² dV onde D xyz R³ 1 x 10 y 20 z 1 utilizando 3 ordens diferentes de integração 5 Calcule D xy yz³ dV onde D xyz R³ 1 x 10 y 20 z 1 utilizando 3 ordens diferentes de integração IV 20 ponto Um item da 6 6 Calcule as seguintes integrais triplas a E 6xry dzdydz onde E está abaixo do plano z 1 x y e acima da região do plano xy limitada pelas curvas y x y 0 e x 1 b E z dzdydz onde E é a região no primeiro octante limitada pelos planos y 0 z 0 x y 2 2y x 6 e o cilindro y² x² 4 c E xy²z³ dzdydz onde E é a região do primeiro octante limitada pela superfície z xy e os planos y x x 1 e z 0 d E y dzdydz onde E xyz x² y² x 1 e E x dzdydz onde E é limitado por z x² y² z 2 no primeiro octante f E x³ y³ z³ dzdydz onde E é o sólido limitado pela esfera de centro na origem e raio 2 g E z x² y² dzdydz onde E é limitado pelo cilindro x² y² 2x e os planos y 0 z 0 e z 2 V 20 ponto Um item da 7 7 Calcule as integrais triplas abaixo usando uma mudança de variáveis conveniente a W z dzdydz onde W xyz R³x² y² z² 1 z 0 e x² y² 14 b W 1z² dzdydz onde W é o sólido limitado pelas superfícies z x² y² z 1 x² y² e z 4 x² y² c W x² y² z²32 dzdydz onde W xyz R³x² y² z² 4 d W x² y² dzdydz onde W é a região limitada por 2x x² y² e z 2 e W ex² y² z² dzdydz onde W xyz R³x² y² z² 1 f W x² y² z²32 dzdydz onde W é o sólido limitado inferiormente por z x² y² e superiormente por x² y² z 12² 14 g W x dzdydz onde W xyz R³x² y² z² 1 x 0 Cálculo 3 1 A integral tripla estende o conceito de integral para funções de três variáveis e permite calcular volumes e outras grandezas No contexto de somas de Riemann dividimos a região de integração em paralelepípedos de dimensões Δx Δy e Δz Estas dimensões são obtidas subdividindo o intervalo de x em l subintervalos de tamanho iguais a Δx subdividindo o intervalo de y em m subintervalos de tamanho Δy e por fim dividindo o intervalo de z em n subintervalos de tamanho Δz Dessa forma considerando ΔV ΔxΔyΔz a soma de Riemann será Σ from i1 to l Σ from j1 to m Σ from k1 to n fxi yj zkΔ V Por fim definimos a integral tripla como over B fxyzdV lim lmn Σ from i1 to l Σ from j1 to m Σ from k1 to n fxiyj zkΔV Agora vamos estudar os tipos de região de integração Uma região é do tipo I se estiver contida entre os gráficos de duas funções contínuas de x e y ou seja E xyz xy D e u1xy z u2xy Uma região é do tipo II se estiver contida entre os gráficos de duas funções contínuas de x e z isto é E xyz xz D e u1xz y u2xz Uma região é do tipo III se estiver contida entre os gráficos de duas funções contínuas de y e z ou seja E xyz yz D e u1yz x u2yz II Uma aplicação clássica da integral tripla na física é o cálculo da massa de um sólido Se um sólido ocupa uma região E R³ e a densidade do sólido em cada ponto é dada por ρxyz então a massa total do sólido pode ser encontrada usando integral tripla M over E ρxyzdV Outro exemplo que podemos citar é a determinação das coordenadas do centro de massa de um objeto Considere por exemplo um objeto de densidade ρxyz Então as coordenadas do centro de massa serão xm 1M over E x ρxyzdV ym 1M over E y ρxyzdV zm 1M over E z ρxyzdV onde M é a massa total do sólido III Primeiro vamos utilizar a ordem dx dy dz from 0 to 1 x³z y³dV from 0 to 1 from 0 to 2 from 1 to 1 x³z y³ dx dy dz from 0 to 1 from 0 to 2 x⁴z4 y³x from x1 to 1 dy dz from 0 to 1 from 0 to 2 14 y³ 1⁴4 y³ dy dz from 0 to 1 from 0 to 2 2y³ dy dz from 0 to 1 2y⁴4 from 0 to 2 dz from 0 to 1 23 2³ 0³ dz 163 from 0 to 1 dz 163 Agora vamos usar a ordem dy dz dx D x³z y³ dV 11 0¹ 0² x³z y³ dy dz dx 11 0¹ x³z y y⁴40² dz dx 11 0¹ 2 x³ z 83 dz dx 11 x³ z² 83 z0¹ dx 11 x³ 83 dx x⁴4 8x31¹ 14 83 1 14 83 1 163 Por fim vamos usar a ordem dz dx dy D x³ z y³ dV 0² 11 0¹ x³ z y³ dz dx dy 0² 11 x³ z²2 z y³0¹ dx dy 0² 11 x³2 y³ dx dy 0² x⁴8 x y³11 dy 0² 78 y³ 78 1 y³ dy 0² 2 y³ dy 2 y³3 0² 2 83 0 163 IV Observe que a região do plano xy limitada por y x y 0 e x 1 pode ser representada graficamente da seguinte forma Essa região tem como limites 0 x 1 e 0 y x Por fim temos que 0 z 1 x z Em vista disso podemos mudar a ordem de integrações E 6 x y dz dy dz 0¹ 0x 0¹ 6 x y dz dy dx 0¹ 0x 6 x y 1 x y dy dx 0¹ 0x 6 x y 6 x² y 6 x y² dy dx 0¹ 6 x y²2 6 x² y²2 6 x y³30x dx 0¹ 3 x x² 3 x² x² 2 x x³ dx 0¹ 3 x² 3 x³ 2 x52 dx 3 x³3 3 x⁴4 4 x7270¹ 1 34 47 2828 2128 1628 6528 V Vamos resolver a integral utilizando coordenadas cilíndricas x r cosθ y r senθ z z dv r dr dθ dz Assim 2z x² y² 2z r² z r²2 Observe que a interseção das superficies é z 2 r²2 r² 4 r 2 pois r 0 Logo 0 θ 2π 0 r 2 e r²2 z 2 Portanto w x² y² dx dy dz 0²π 0² r²22 r² r dz dr dθ 0²π 0² r²22 r³ dz dr dθ 0²π 0² 2r³ r⁵2 dr dθ 0²π 2r⁴4 r⁶260² dθ 0²π 2⁴2 2612 0 dθ 8 163 θ0²π 243 2π 0 16π3