Atividade Cálculo 3

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ UESC PRÓREITORIA DE GRADUAÇÃO PROGRAD Departamento de Ciências Exatas DCEX CDI III 20252 Cálculo Diferencial e Integral III Curso Nota Professor Dr Afonso Henriques Estudante1 Data 10112025 Unidade III Atividade Avaliativa para o Terceiro Crédito de Cálculo Diferencial e Integral III Observação Antes de começar a resolver cada tarefa leiaa atentamente Comece a resolução identificando a tarefa t com o seu Gerador GT Exemplo Resolução da t1 do GT1 Resolução da t1 do GT2 e assim por diante Seja descritivo na realização de cada tarefa proposta Isto é você precisa explicar na língua materna cada etapa de resolução que apresentar Pois não basta apenas fazer as contas Utilizar apenas uma caneta de tinta azul ou preta em cada realização Assinar cada folha de resposta que for entregar ao Professor juntamente com essa avaliação que também deve ser assinada no local reservada para Estudante Boa sorte Gerador de Tarefas GT1 90 Considerar as superfícies de equações dadas por z 2 x y e z x2 y2 definidas em um subconjunto D do planoxy assim como a curva C determinada pela interseção das duas superfícies para realizar as seguintes tarefas t1 Representar as duas superfícies no registro gráfico em um mesmo sistema de coordenadasS2 t2 Fornecer as equações paramétricas da curva C que consiste na trajetória de uma partícula P em movimento que descreve essa curva indicando o intervalo I de variação do parâmetro escolhido t3 Fornecer a curva C no registro gráfico t4 Fornecer a função vetorial cuja a extremidade descreve a curva C nos registros algébrico e gráfico t5 Calcular o limite da função vetorial fornecida na realização da t4 quando o parâmetro escolhido tende para zero e a derivada dessa função é igual a zero t6 Calcular a integral da função vetorial fornecida na realização da t4 quando um ponto xyz da curva C varia do ponto P 12 52 12 3 52 ao Q 12 12 52 3 52 t7 Fornecer a velocidade vetorial de um ponto xyz da curva C no instante em que o parâmetro escolhido é zero t8 Fornecer a velocidade no instante em que o parâmetro escolhido é zero t9 Calcular a aceleração de um ponto xyz da curva C no instante em que o parâmetro escolhido é zero t10 Fornecer o comprimento de arco da curva C definido pelos pontos P 12 52 12 3 52 ao Q 12 12 52 3 52 Boa sorte 1 Essa atividade domiciliar computa 9 pontos do terceiro crédito que serão acrecidos por 1 ponte de presença e participação em aula 1 2 x y x2 y2 x2 x y2 y 2 x 122 14 y 122 14 2 x 122 y 122 52 x 12 52 cost y 12 52 sint z 12 52 cost2 12 52 sint2 z 14 52 cost 52 cos2t 14 52 sint 52 sin2t z 12 52 52 cost sint z 3 52 cost sint xt 12 52 cost yt 12 52 sint zt 3 52 cost sint 2 x y x2 y2 x2 x y2 y 2 x 122 14 y 122 14 2 x 122 y 122 52 x 12 52 cost y 12 52 sint z 12 52 cost2 12 52 sint2 z 14 52 cost 52 cos2t 14 52 sint 52 sin2t z 12 52 52cost sint z 3 52cost sint 2 x y x2 y2 x2 x y2 y 2 x 122 14 y 122 14 2 x 122 y 122 2 12 52 x 12 52 cost y 12 52 sint z 2 x y 2 12 52 cost 12 52 sint z 3 52cost sint limt0 r t 12 52 cos0 î 12 52 sin0 ĵ 3 52cos0 sin0 k limt0 r t 12 52 î 12 ĵ 3 52 k r t ddt r t 52 sint î 52 cost ĵ 52sint cost k limt0 r t 12 52 cos0 î 12 52 sin0 ĵ 3 52cos0 sin0 k limt0 r t 12 52 î 12 ĵ 3 52 k r t ddt r t 52 sint î 52 cost ĵ 52sint cost k r 0 0 î 52 ĵ 52 k rt 12 Rcost 12 Rsent xt2 yt2 onde R sqrt52 sqrt10 2 Derivando a função vetorial rt Rsent Rcost 2xtxt 2ytyt A integral pedida é pQ rtdr rtrt dt que pode ser simplificada usando a relação ddt ½rt2 rtrt Logo pQ rtdr ½ rQ2 rP2 Como P corresponde a t 0 e Q a t π temos r0 12 R 12 R2 R 12 rπ 12 R 12 R2 R 12 Calculando os módulos ao quadrado r02 12 R2 122 R2 R 122 rπ2 12 R2 122 R2 R 122 Simplificando r02 R4 2R3 3R2 2R 34 rπ2 R4 2R3 3R2 2R 34 z2xy e zx2 y2 x2 x y2 y 2 0 x 122 14 y 122 14 2 0 a sqrt52 sqrt102 xt 12 a cos t yt 12 a sin t a sqrt52 zt xt2 yt2 12 a2 acos t sin t zt 3 aP12 a 12 3 a rt 12 v0 0 a a 0 sqrt102 sqrt102 rt a sin t a cos t asin t cos t r0 0 a a P12 a 12 3 a v0 0 a a 0 sqrt102 sqrt102 Diferença rπ2 r02 4R3 4R Logo pQ rtdr ½ 4R3 4R 2RR2 1 Substituindo R sqrt52 R2 52 pQ rtdr 2sqrt5252 1 2sqrt5272 7sqrt52 Simplificando pQ rtdr 7sqrt10 2 1107 pQ rtdr 7sqrt10 2 A velocidade no instante t 0 é a magnitude do vetor velocidade v0 v0 02 522 522 0 52 52 5 at vt 52 cost 52 sint 52 cost sint a0 52 cos0 52 sin0 52 cos0 sin0 a0 52 0 52 L t1 to t2 rt dt rt2 a2 sin2 t cos2 t sin t cos t2 a2 2 sin 2t rt a 2 sin 2t L a t1 to t2 2 sin 2t dt