Cálculo 3 Estudo Dirigido

UESC Universidade Estadual de Santa Cruz Profa Maria Margarete do R Farias Curso Engenharia de Produção Disciplina Cálculo III Nomes ATENÇÃO o Essa avaliação pode ser feita em grupo de até cinco pessoas o Leia as questões com calma e atenção o Justifique suas respostas com cálculo ou argumentos válidos o Essa avaliação vale 100 pts o Entrega da Atividade 09072025 quartafeira presencialmente 𝐀𝐯𝐚𝐥𝐢𝐚çã𝐨 𝐝𝐨 𝟓º 𝐂𝐫é𝐝𝐢𝐭𝐨 Questão 1 Enuncie e ilustre o Teorema de Green Apresente um exemplo Vale 10 pt Questão 2 Quais são as versões estendidas do Teorema de Green apresente dois exemplos Vale 10 pt Questão 3 Calcule a integral de linha 𝑦𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑦 𝐶 por dois métodos onde 𝐶 é o círculo com centro na origem e raio 1 Vale 15 pt a Diretamente b Utilizando o Teorema de Green Questão 4 Calcule a integral de linha 𝑥𝑑𝑥 𝑦𝑑𝑦 𝐶 por dois métodos onde 𝐶 consiste nos segmentos de reta de 01 a 00 e de 00 a 10 e na parábola 𝑦 1 𝑥2 de 10 a 01 Vale 15 pt c Diretamente d Utilizando o Teorema de Green Questão 5 Enuncie o Teorema de Stokes Apresente um exemplo Vale 10 pt Questão 6 Use o teorema de Stokes para calcular 𝐹 𝑑𝑟 𝐶 em cada caso 𝐶 é orientado no sentido antihorário quando visto de cima a 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑒𝑥𝑖 𝑒𝑥𝑗 𝑒𝑧𝑘 𝐶 é a fronteira da parte 2𝑥 𝑦 2𝑧 2 no primeiro octante Vale 15 pt b 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑖 𝑦𝑗 𝑥2 𝑦2𝑘 𝐶 é a fronteira da parte do paraboloide 𝑧 1 𝑥2 𝑦2no primeiro octante Vale 15 pt Questão 7 Qual a semelhança entre os teoremas de Integral de linha de Green e Stokes Vale 10 pt Questão 4 Calcule a integral de linha c x dx y dy por dois métodos onde C consiste nos segmentos de reta de 01 à 00 e de 00 à 10 e na parábola y 1 x2 de 10 à 01 Solução Consideremos na imagem a seguir um esboço da curva C a Diretamente sejam c1 o segmento de reta de 01 à 00 c2 o segmento de reta 00 à 10 e c3 a parábola de 10 a 01 e consideremos suas respectivas parametrizações c1 r1t x1t y1t 0t 1 t 0 c2 r2t x2t y2t t0 0 t 1 c3 r3t x3t y3t t 1t2 1 t 0 Então temos que r1t x1t y1t 01 r2t x2t y2t 10 e r3t x3 t y3 t 1 2t e sendo C C1 C2 C3 obtemos que c x dx y dy c1 x dx y dy c2 x dx y dy c3 x dx y dy 10 t dt 01 t dt 10 t 2t3 dt 0 0 t22 2 t4410 0 12 12 0 b Teorema de Green sejam Pxy x e Qxy y Como C dada por C C1 C2 C3 é uma curva plana simples fechada e orientada positivamente podemos aplicar o teorema sendo D rθ 0 r 1 0 θ π2 a região delimitada por C Logo c x dx y dy d Qx Py dA d 0 dA 0 Questão 5 Enuncie o Teorema de Stokes Apresente um exemplo Solução Teorema de Stokes Seja S uma superfície orientada lisa por partes cuja fronteira é formada por uma curva C fechada simples lisa por partes com orientação positiva Seja F um campo vetorial cujas componentes têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta de IR3 que contém S Então c F dr s rotF ds Exemplo Vamos usar o Teorema de Stokes para calcular c F dr onde Fxyz zxy e C é o círculo centrado na origem e de raio 1 Solução sejam Pxyz z Qxyz x e Rxyz y Então o rotacional de F é rotF Ry Qz i Pz Rx j Qx Py k 111 Embora a superfície mais óbvia a se considerar que tenha como fronteira o círculo unitário centrado na origem seja o disco unitário D para fins de aplicação do teorema vamos tomar S o paraboloide z 1 x² y² com a normal para fora dado por vecn gx gy 1 2x 2y 1 já que S é da forma z gxy 1 x² y² Portanto c vecF dvecr S rotvecF dS D rotvecF vecn dA D 111 2x 2y 1 dx dy D 2x 2y 1 dx dy Usando coordenadas polares temos Drθ r θ 0 r 1 0 θ 2π Logo c vecF dvecr ₀²π ₀¹ 2r cos θ 2r sen θ 1 r dr dθ ₀²π ₀¹ 2r² cos θ 2r² sin θ r dr dθ ₀²π 23 r³ cos θ 23 r³ sin θ r²2 ₀¹ dθ ₀²π 23 cos θ 23 sin θ 12 dθ 23 sin θ ₀²π 23 cos θ ₀²π θ2 ₀²π 0 0 2π2 π Questão 6 Use o Teorema de Stokes para calcular c vecF dvecr em cada caso c é orientado no sentido antihorário quando visto de cima a vecFxyz ex veci ex vecj ez veck c é a fronteira da parte 2x y 2z 2 no primeiro octante Solução sejam Pxyz ex Qxyz ex e Rxyz ez Então o rotacional de vecF é rotvecF Ry Qz i Pz Rx j Qx Py k ex 0 k 0 0 ex Temos que a superfície S é a parte do plano 2x y 2z 2 no primeiro octante xyz 0 ou seja S é o gráfico de uma função de duas variáveis gxy dada por gxy 1 x y2 Logo o vetor normal vecn a S é vecn gx gy 1 1 12 1 de modo que S fica orientada positivamente e sua projeção no plano xy é a região triangular D xy 0 x 1 0 y 22x Portanto c Fdr s rotFds d rotFn dA d 00ex 1½1 dy dx 01 022x ex dy dx 01 yex 022x dx 01 22xex dx 2 01 1xex dx 2ex 2x 01 2e 2 b Fxyz xi yj x2 y2k c é a fronteira da parte do paraboloide z 1 x2 y2 no primeiro octante Solução sejam Pxyz x Qxyz y e Rxyz x2 y2 Então o rotacional de F é dado por rotF Ry Qz i Pz Rx j Qx Py k 2y 0i 0 2xj 0 0k 2y 2x 0 Temos que a superfície S é a parte do paraboloide z 1 x2 y2 no primeiro octante xyz0 ou seja S é o gráfico de uma função de duas variáveis gxy dada por gxy 1 x2 y2 Logo o vetor normal n à S é n gx gy 1 2x 2y 1 de modo que S fica positivamente orientada e sua projeção no plano xy é o disco D xy x2 y2 1 Portanto c Fdr s rotFds d rotFn dA d 2y2x0 2x 2y 1 dx dy d 4xy 4xy 0 dx dy 0 Questão 7 Qual a semelhança entre os teoremas de Integral de linha de Green e Stokes Solução A principal semelhança entre os teoremas é que os três podem ser vistos como uma generalização do Teorema Fundamental do Cálculo para contextos mais gerais Teorema Fundamental das Integrais de linha sendo o gradiente de uma função uma espécie de derivada este teorema pode ser considerado uma versão do TFC para integrais de linha Ele estabelece uma igualdade entre a integral da derivada de uma função com seus valores apenas nos pontos extremos Teorema de Green Podemos considerar este teorema como uma versão do TFC para integrais duplas Ele estabelece uma igualdade entre a integral dupla de derivadas de uma função derivadas parciais sobre uma região no plano com o valor dessa função apenas na fronteira da região Teorema de Stokes É uma generalização do Teorema de Green consequentemente uma generalização do TFC já que ele relaciona uma integral de superfície com uma integral apenas na fronteira dessa superfície Mais especificamente ele estabelece uma igualdade entre a integral dupla do rotacional uma espécie de derivada de um campo vetorial com a integral de linha desse campo apenas sobre a fronteira da superfície Exercício 1 Enuncie e ilustre o Teorema de Green Apresente um exemplo Solução Teorema de Green Seja F ℝ² ℝ² um campo de vetores dado por Fxy Pxy Qxy de classe C⁴ Seja ainda C uma curva plana simples fechada contínua por partes e orientada positivamente Se D é a região do plano delimitada pela curva C então C P dx Q dy D Qx Py dA Exemplo Calcule a integral de linha C xy dx xy dy onde a curva C é o círculo com centro na origem e raio 2 Solução Como a curva C é um círculo ela é simples fechada continua por partes e orientada positivamente podemos aplicar o Teorema de Green Denotando por D a região delimitada por C ie o disco D xy IR² x² y² 4 e por Pxy xy e Qxy xy note que P e Q possuem derivadas parciais contínuas temos Qx Py 1 1 2 e portanto aplicando o Teorema obtemos C xy dx xy dy D Qx Py dA D 2 dA 2AD 2π2² 8π Questão 2 Quais são as versões estendidas do Teorema de Green Apresente dois exemplos Solução Versão 1 É a versão do Teorema de Green para o caso mais geral em que a região D é a união finita de regiões simples Por exemplo uma região como na figura a seguir Temos que a região D é a união das regiões simples D₁ e D₂ cujas fronteiras são C₁ C₃ e C₂ C₃ respectivamente Versão 2 É a versão do Teorema de Green para o caso mais geral em que a região D possui furos ou seja em que D não é simplesmente conexa Neste caso a curva C que limita a região D é formada por duas curvas simples e fechadas C₁ e C₂ Exemplo VERSÃO 1 Calcule C x e2x dx x⁴ 2y² dy onde C é a fronteira da região entre os círculos x² y² 1 e x² y² 4 orientada positivamente com y 0 Solução Note que C é a fronteira da região semicircular D contida no semiplano superior y 0 entre os círculos x² y² 1 e x² y² 4 como ilustrado abaixo É fácil ver que a reta x 0 divide a região D em duas regiões simples D₁ e D₂ orientadas D₁ r θ 1 r 2 0 θ π2 e D₂ r θ 2 r 1 π2 θ π Ux Px y x e2x e Qx y x⁴ 2y² então Qx Py 4x³ 0 4x³ e aplicando o Teorema de Green obtemos c x e2x dx x⁴ 2y² dy c₁ x e2x dx x⁴ 2y² dy c₂ x e2x dx x⁴ 2y² dy D₁ 4x³ dA D₂ 4x³ dA ₀π2 ₁² 4r³ cos³θ r dr dθ π2π 21 4r³ cos³θ r dr dθ ₀π2 ₁² 4r⁴ cos³θ dr dθ π2π 21 4r⁴ cos³θ dr dθ ₀π2 45 r⁵ cos³θ₁² dθ π2π 45 r⁵ cos³θ21 dθ ₀π2 1245 cos³θ dθ π2π 1245 cos³θ dθ 1245 ₀π2 cos³θ dθ 1245 π2π cos³θ dθ 1245 23 1245 23 0 Exemplo VERSÃO 2 Calcule c F d r onde o campo F é dado por F xy yx²y² xx²y² e C é qualquer curva fechada simples contínua por partes orientada positivamente e que circunda a origem onde a é escolhido de tal modo que C esteja sempre inteiramente contido em C Seja D a região limitada por C e C A fronteira de D orientada de modo que a região fique sempre à esquerda é formada pelas curvas C C Se Pxy yx²y² e Qxy xx²y² então Qx x² y²x² y²² e Py x² y²x² y²² e Qx Py Qx Py 0 logo aplicando o Teorema de Green obtemos 0 D 0dA D Qx Py dA C C yx2 y2 dx xx2 y2 dy C yx2 y2 dx xx2 y2 dy C yx2 y2 dx xx2 y2 dy C yx2 y2 dx xx2 y2 dy C yx2 y2 dx xx2 y2 dy C yx2 y2 dx xx2 y2 dy C yx2 y2 dx xx2 y2 dy Para resolver a integral de linha sobre C do lado esquerdo seja rt a cos t a sin t 0 t 2π uma parametrização de C Então temos que rt a sin t a cos t e portanto C yx2 y2 dx xx2 y2 dy 02π a2 sin2 ta2 dt 02π a2 cos2 ta2 dt 02π sin2 t cos2 t dt 02π dt 2π Longa C y dx x dy D Qx Py dA D 1 1 dA 2 D dA 2 área D 2 π a2 2π Questão 3 Calcule a integral de linha C ydx xdy por dois métodos onde C é o círculo com centro na origem e raio 1 a Diretamente seja rt xt yt cos t sin t com 0 t 2π uma parametrização do círculo C Então rt xt yt sin t cos t e C ydx xdy 02π sin tsin t cos tcos t dt 02π sin2 t cos2 t dt 02π sin2 t cos2 t 02π dt 2π b Teorema de Green sejam Pxy y e Qxy x Como C é uma curva plana simples fechada e contínua e orientada positivamente podemos aplicar o teorema sendo a região delimitada por C o disco D xy x2 y2 1