Atividade 3

Atividade 3 1 a Dê exemplo de um sistema homogêneo de três equações e cinco incógnitas tal que as três condições abaixo sejam satisfeitas i 1 0 0 1 0 seja solução do sistema ii O conjuntosolução seja um subespaço vetorial do R5 de dimensão 3 iii A matriz dos coeficientes tenha todos os termos não nulos b Encontre a solução do seu sistema c Considere a transformação linear T R5 R3 naturalmente associada ao seu sistema o núcleo de T é a solução do sistema c1 Encontre bases para o núcleo e para a imagem desta transformação c2 Dê também uma base ortonormal para a imagem de T 2 Considere as afirmações abaixo Demonstre duas das verdadeiras e dê um contra exemplo para todas as falsas a Para k número real B matriz n x n Det kB k Det B b O espaço vetorial das matrizes 3 x 3 simétricas tem dimensão 6 c Não existe uma base no espaço vetorial dos polinômios com grau menor ou igual a 2 formada apenas por polinômios de grau 2 d Dadas A m x n e B n x m com mn então o determinante de AB é zero e Uma matriz simétrica 2x2 é diagonalizável 3 Considere a transformação linear T R3 R3 Tx y z 8 x 2 y 2 x 8 y 10 z a i Que direções são preservadas por esta transformação ii O que pode dizer sobre a imagem de uma superfície esférica de raio 1 centrada na origem por esta transformação b Considere a matriz A naturalmente associada a esta transformação bases canônicas indique A10 como um produto de três matrizes Dê os autovalores e autovetores de A10 e de A1 c Classifique e identifique a quádtrica dada por 17 x2 16 xy 17 y2 9 z2 900 e verifique que esta é exatamente a imagem descrita em aii 4 Em três distritos A B e C com populações de 50000 30000 e 20000 habitantes encontrouse os seguintes percentuais para as taxas de desemprego D e pouca escolaridade PE menos do que 5 anos da população adulta Encontre a correlação entre estas variáveis e interprete A B C D 10 6 15 PE 30 20 40 Atividade 3 1 a O sistema homogêneo x y z w t 0 𝜃 61 𝜃 24 y 2z 0 z x x y z w t 0 Em 0 x 3y 3z w t 0 Logo β xyzwt 1w t z w t w10011 t10100 𝑙 𝑤𝑤 𝑡𝑡 11011 𝑡𝑡 10100 𝑤𝑤 𝑡𝑡 ℝ 2 dimensão do conjunto solução 3 b Cs xyzw kU10010 L 10010 c Definamos Txyzwt x y z w t x 2y 2z w t x 3y 3z w t 0 y w t z x xyzwt NT y w t c Se xyzwt NT X W t de thema β 10001 01000 de base de NullT c Também dim R5 dim Null T dim Im T 2 3 e TaTT x w t x w t 111 xz012 β 111 012 é base de Im T e VERDADEIRO A a b PA ka b 0 K c b kc Δ K2 ac x K2 a c ac b2 Δ a c2 4ac b2 a c2 4B2 então existem 2 autovatores reais ie A é diagonalizável Só b 0 Δ 0 existem 2 autovetores Só b 0 Δ ac2 e A 8 0 diagonalmente 𝑐𝑙 3 Txyz 8x 2y 2x 8y 10z a Seja u uma dirensão preservada Tu kv j 8x 2y kx 2x 8y ky 10z kz Uvxyz xyz x y x y 8x 2y 10x y 𝑘𝑘 10 então y x z 0 Lógico T110 10100 b então xyz NT x y z t cx e Txyz é preservadas por T ii TavaT 8 20 x 50 ℎ 12 80 0 0 012 5 logio 1 1 0 0 0 1 1 1 0 são preservadas p T ii ii 6252y2 00002 𝒆 1012 01ð 0 10 0 0 0 0 0 0 6x 6y 10x 10y 10z c b C Logo a matriz de covariâncias S S 12 13 13 0 13 13 0 0 10 10 61 45 100 45 100 E como Rij Sij sqrtSiiSjj R 1 0998 0998 1 Isso confirma que a correlação entre as taxas de desemprego D e pouca escolaridade PE é aproximadamente 0998 indicando uma forte correlação positiva entre esses valores nos distritos A B e C Fernão X sqrt25 x x sqrt25 y y sqrt25 z z Substituindo na cônica 17 xsqrt22 y2 sqrt2 2 9 z2 900 17 2 x2 y22 16 xsqrt22 y2 sqrt22 9z2 900 25 x2 9 y2 4 z2 900 x 1 b y c z 1sqrt22 1102 C 1 elipsoide Vamos a calcular a correlação entre taxas do desemprego D e pouca escolaridade PE D A B C 10 6 15 PE 30 20 40 Vamos a calcular a correlação entre taxas do desemprego D e pouca escolaridade PE Xbarra 10 6 15 30 20 40 X D PE Xbarra 313 303 coluna de medias x bar r bar xbar 13 13 0 10 10 x x bar Logo a matriz de Covariâncias S S 12 xx barxx barT Logo 12 xxbarxxbarT X x y z X T 3 1 sqrt25 15 1 sqrt25 sqrt25 1 sqrt25 sqrt25 17 1 16 16 1 12 972 2 972 900 Px Px 17 x2 16xy 17 y2 2 z2 900 A 17 8 0 8 17 0 0 0 9 pλ A λI 900 se k 9 k 25 são autovalores AλI 17λ 8 0 8 17λ 0 0 0 9λ autovetores de A são autovetores de A D 6 0 0 0 1 0 0 0 10 A10 PD10 P1 onde D10 D10 T A1 P D1 P1 onde D1 são os autovetores de A são 10 1 D1 10 0 00 1 0 1 0 0 0 0 1 0 x y xy z01 autovetores x y z0 x y y x y y x y y y autovetores c μ1111 μ11²1²7²3 μ2012 11012 101012012 111011 μ3111 μ4111 μ5012 012 111 101 3111 μ212 3 111 e μ2μ2101 2 Portanto uma base ortonormal para Λ imagem β 13111 12101 2 FALSO A0 1 2 1 e detA 4 3A6 26 3 det3A 36 Logo det3A 36 3⁴detA b VERDADEIRO dmA μ411 2 dImA 3341 33011 6 λx3 c FALSO Jf que temos a base de IR² βx²xx1 x3 x x² d VERDADEIRO Amxn Bnxm m Atém m filas em IRⁿ e B tem m colunas de IRⁿ De m m filas e as colunas são ld já que mndmn dmP Ao fazpar o produto AB das linhas e colunas temos vetores ld em IRⁿ portanto detAB 0