Análise Real 03

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO MATEMÁTICA LICENCIATURA DISCIPLINA ANÁLISE REAL PERÍODO 8º DATA 31082025 PÓLO BARREIRINHAS MA PROFESSOR RAIMUNDO MERVAL 3ª AVALIAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 Calcule os limites abaixo se existirem utilizando as regras de L Hôpital a lim x0 ex ex x² b lim x0 sen x x tg x x 2 Seja a lim x2 4x 2 10 calcule o valor de δ quando ε for menor ou igual a 120 3 Determine L se possível para que a função dada seja contínua no ponto x 4 fx x² 16 x 4 se x 4 L se x 4 4 Avalie se as séries convergem ou divergem a Σ n1 n³ 2n b Σ n1 1 1 ln n 5 Resolva o problema utilizando séries Um empregado de determinada empresa quando recebe o seu pagamento ao final do mês ele deposita uma parte P em uma conta especial para sua aposentadoria Esses depósitos são feitos mensalmente durante t anos e a conta rende r Se os juros são capitadlizados mensalmente e sabendo que P R 10000 e r 5 calcule o saldo desta conta ao final de 10 anos Professor Raimundo Merval 1 a lim x0 ex ex x² Note que e0 e0 0² 2 0 Assim não estamos nas condições para se aplicar a regra de LHôpital Além disso veja que lim x0 ex ex x² tende a infinito ou seja esse limite não existe b lim x0 sen x x tg x x Note que sen 0 0 tg 0 0 0 0 Assim estamos nas condições para se aplica a regra de LHôpital Daí lim x0 sen x x tg x x LH lim x0 cos x 1 sec² x 1 lim x0 cos x 1 tg² x LH lim x0 sen x 2 tg x sec² x lim x0 sen x 2 sen x cos x 1 cos² x lim x0 sen x cos x 2 sen x cos² x 1 lim x0 cos³ x 2 cos³ 0 2 1 2 Logo lim x0 sen x x tg x x 1 2 2 Seja lim x2 4x 2 10 Da definição de limite segue que para dado Ɛ 0 existe δ 0 tal que 0 x2 δ 4x 2 10 Ɛ Note que 4x 2 10 Ɛ 4x 8 Ɛ 4x2 Ɛ 4 x2 Ɛ x 2 Ɛ 4 Assim escolhemos δ Ɛ 4 Daí se 0 x2 δ temos 4x 2 10 4 x2 4 δ 4 Ɛ 4 Ɛ Em particular se Ɛ 120 então δ Ɛ 4 180 3 fx x² 16 x 4 se x 4 L se x 4 Para que a função seja contínua em x 4 devemos ter lim x4 fx f4 Note que lim x4 fx lim x4 x² 16 x 4 lim x4 x 4x 4 x 4 lim x4 x 4 8 Logo devemos ter L 8 4 a Σ m3 m³ 2m Vamos usar o teste de DAlambert Note que m³ 2m 0 para todo m 3 Assim temos m1³ 2m1 m³ 2m m1³ 2m 2m1 m³ m1³ 2m³ lim m m1³ 2m³ 12 Como lim an1 an 12 1 pelo teste de DAlambert que a série Σ m3 m³ 2m é absolutamente convergente logo também é convergente b Σ n3 to 1 3 ln n Vamos usar o teste da comparação Note que para n3 temos que 3 ln n n 1 3 ln n 1 n Como Σ n1 to 1n diverge série harmônica segue por comparação que Σ n1 to 1 3 ln n é divergente 5 P R 10000 r 5 ano 005 12 0004167 ao mês t 10 anos 120 meses A série que modela essa situação é Σ k0 to 119 1001 0004167k ou ainda 100 Σ k0 to 119 1004167k Note que essa é uma série geométrica com 120 termos razão igual a 1004167 e primeiro termo igual a 1 Assim usando a fórmula da soma dos termos da série geométrica temos S 3 1004167120 1 1004167 1 100 S 1004167120 1 0004167 100 S 3552856 100 S 3552856 logo o saldo desta conta será de aproximadamente R 3552856