Prova de Análise de Números Irracionais - Demonstração de 3, 5 e 3,5 como irracionais

ATIVIDADE AVALIATIVA PARCIAL ANÁLISE REAL 50 PONTOS NOME DO ALUNO Mostre que 3 5 e 3 5 são irracionais Suponha que 3 seja racional Isso significa que ele pode ser expresso como uma fração irredutível ab onde a e b são inteiros coprimos ou seja o máximo divisor comum de a e b é 1 e b 0 Então teríamos 3 ab 3 a2b2 a2 3b2 Isso implica que a2 é múltiplo de 3 e portanto a também deve ser múltiplo de 3 Podemos escrever a 3k para algum inteiro k Substituindo de volta temos 3k2 3b2 9k2 3b2 b2 3k2 Isso mostra que b2 e consequentemente b também deve ser múltiplo de 3 o que contradiz o fato de a e b serem coprimos Portanto nossa suposição inicial de que 3 é racional é falsa e 3 deve ser irracional Um argumento semelhante pode ser usado para 5 Se assumirmos que 5 é racional e pode ser escrito como cd com c e d inteiros coprimos então c2 5d2 Seguindo a lógica similar à do caso do 3 chegamos a uma contradição pois tanto c quanto d teriam que ser múltiplos de 5 o que é impossível se eles são coprimos Portanto 5 também é irracional Agora suponha que 3 5 seja racional Então existe uma fração irredutível ef tal que 3 5 ef Elevando ambos os lados ao quadrado obtemos 3 215 5 e2f2 215 e2f2 8 Agora se 215 fosse racional então 15 também seria racional o que não é verdade pode ser mostrado com um argumento semelhante aos anteriores Portanto nossa suposição de que 3 5 é racional leva a uma contradição e consequentemente 3 5 deve ser irracional Prove que para todo x y R temse que ax y x y A desigualdade triangular afirma que para quaisquer números reais x e y a seguinte desigualdade é válida x y x y Pela definição de valor absoluto temos duas possibilidades para cada termo x e y x x ou x x se x 0 ou x 0 respectivamente y y ou y y se y 0 ou y 0 respectivamente Agora vamos considerar x y Novamente pela definição de valor absoluto x y x y se x y 0 ou seja x y x y x y y x se x y 0 ou seja x y Vamos provar a desigualdade em ambos os casos Se x y então x y x y Nós sabemos que y y ou y y Se y y então x y x porque y 0 Se y y então x y x y x y Em ambos os casos x y x y Se x y então x y y x Similarmente x x ou x x Se x x então y x y porque x 0 Se x x então y x y x y x Em ambos os casos y x x y Juntando os casos temos x y x y para todos os valores de x e y reais Essa prova utiliza a definição de valor absoluto e as propriedades de desigualdade para mostrar que a desigualdade triangular é sempre verdadeira não importando os sinais de x e y Isso completa a prova formal da desigualdade triangular no contexto de números reais b x y x y Sejam x e y quaisquer números reais Sem perda de generalidade vamos considerar quatro casos com base nos sinais de x e y 1 x 0 e y 0 2 x 0 e y 0 3 x 0 e y 0 4 x 0 e y 0 Para os casos 1 e 2 x e y têm o mesmo sinal portanto x y x y ou y x y x e x y x y ou y x Assim x y x y Para os casos 3 e 4 x e y têm sinais opostos assim x y x y porque subtrair um número negativo é o mesmo que adicionar o seu valor absoluto Portanto para o caso 3 x y x y x y x y Para o caso 4 x y x y x y x y Em todos os casos x y x y e como x y x y pela desigualdade triangular que já provamos concluímos que x y x y Isso completa a prova da desigualdade dada Para cada subconjunto dos números reais abaixo verifique se existe supremo ínfimo máximo e mínimo a A 1 1n n 1 Supremo ou limite superior O supremo de um conjunto é o menor valor que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto No caso de A à medida que n se torna maior 1n se torna menor aproximandose de 0 fazendo 1 1n aproximarse de 1 Portanto intuitivamente podemos dizer que o supremo de A é 1 pois não existe nenhum elemento em A que seja maior que 1 e qualquer número menor que 1 não seria um limite superior para todos os elementos de A Matematicamente podemos escrever isso como lim n 1 1n 1 o que sugere que 1 é o supremo de A Ínfimo ou limite inferior O ínfimo é o maior valor que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto O menor valor de n que satisfaz a condição n 1 é n 1 o que nos dá o elemento 1 11 0 em A Não há nenhum elemento em A que seja menor que 0 Portanto o ínfimo de A é 0 Máximo O máximo de um conjunto é o maior elemento dentro do conjunto Como 1 1n nunca é igual a 1 para qualquer n finito A não possui um elemento máximo pois não há um único valor em A que seja o maior Mínimo O mínimo é o menor elemento do conjunto Dado que n 1 o menor valor possível para n é 1 o que nos dá 1 11 0 como um elemento de A Assim 0 é o mínimo de A Para resumir o conjunto A tem um supremo de 1 um ínfimo e mínimo de 0 e não possui um elemento máximo b A 1n 1 1n n 1 Supremo O supremo de um conjunto é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto Para os termos positivos de A que ocorrem quando n é par o termo mais alto ocorre quando n 2 que é 15 Não há nenhum outro termo em A maior do que 15 então o supremo de A é 15 Ínfimo O ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto Para os termos negativos de A que ocorrem quando n é ímpar os valores estão se aproximando de 1 à medida que n aumenta Portanto o ínfimo é 1 já que não há nenhum elemento em A que seja menor do que 1 Máximo O máximo é o maior elemento presente no conjunto Analisando os termos que calculamos anteriormente o maior valor que A alcança é quando n 2 que é 15 Logo o máximo de A é 15 Mínimo O mínimo é o menor elemento presente no conjunto Para n 1 temos o termo 2 que é o menor termo que A alcança Portanto o mínimo de A é 2 Para concluir com rigor podemos afirmar que O supremo de A é 15 O ínfimo de A é 1 O máximo de A é 15 O mínimo de A é 2 cₙ11n 21n O intervalo 1n 21n começa em 1n que se aproxima de 0 à medida que n aumenta e termina em 21n que se aproxima de 2 à medida que n aumenta Portanto para um n grande o suficiente qualquer número maior do que 0 e menor do que 2 estará dentro de todos os intervalos A interseção de todos esses conjuntos será o conjunto de números que estão contidos em todos os intervalos para todos os valores de n Isso nos dá o intervalo 02 já que 0 e 2 são os limites que nunca são atingidos mas todos os números entre eles estão incluídos para algum n suficientemente grande Portanto a interseção dos conjuntos é o intervalo aberto 02 Supremo O supremo é o menor valor que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto Neste caso o supremo é 2 porque não existe nenhum elemento no conjunto que seja maior que 2 mas qualquer número menor que 2 pode ser aproximado pelos elementos do conjunto Ínfimo O ínfimo é o maior valor que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto Para este conjunto o ínfimo é 0 pois é o limite inferior que os elementos do conjunto se aproximam mas nunca alcançam Máximo O máximo é o maior elemento que pertence ao conjunto Como estamos lidando com um intervalo aberto o número 2 não está incluído no conjunto portanto não existe um elemento máximo Mínimo O mínimo é o menor elemento que pertence ao conjunto Similarmente como o intervalo é aberto e o 0 não está incluído não existe um elemento mínimo para este conjunto Em resumo O supremo do conjunto é 2 O ínfimo do conjunto é 0 Não existe um elemento máximo para o conjunto Não existe um elemento mínimo para o conjunto d A r Q r² 5 Supremo O supremo é o menor número racional que não pertence ao conjunto mas nenhum número maior do que ele pode pertencer ao conjunto Sabemos que 5 não é um número racional mas é o limite onde r² 5 Portanto qualquer aproximação racional de 5 que seja menor que 5 pode ser considerada como o supremo de A O supremo não é um elemento do conjunto A porque 5 não é racional Ínfimo O ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto Neste caso o ínfimo é 5 pois é o ponto onde r² começa a ser maior que 5 para números negativos Semelhante ao supremo 5 não é racional então o ínfimo seria a maior aproximação racional de 5 que é menor que 5 Máximo e Mínimo Como estamos trabalhando com um conjunto de números racionais que são densos não há um máximo ou mínimo racional mais próximo de 5 ou 5 porque para qualquer número racional que você escolher sempre haverá outro número racional mais próximo de 5 ou 5 Assim A não tem um máximo ou um mínimo pois para qualquer elemento que você escolher sempre haverá outro elemento de A maior ou menor que ele Em resumo O supremo do conjunto A é qualquer número racional que seja a melhor aproximação racional menor do que 5 O ínfimo do conjunto A é qualquer número racional que seja a melhor aproximação racional maior do que 5 O conjunto A não possui um elemento máximo ou mínimo