É uma Atividade de Analise Real

Exercício 14 Obtenha uma decomposição N X₁ X₂ Xₙ tais que X₁ X₂ Xₙ são infinitos e dois a dois disjuntos Exercício 15 Dê exemplo de uma sequência decrescente X₁ X₂ Xₙ de conjuntos infinitos tais que nN Xₙ Exercício 14 Obtenha uma decomposição N X₁ X₂ Xₙ tais que X₁ X₂ Xₙ são infinitos e dois a dois disjuntos Sabese que as classes de restos módulo k onde k N são infinitos e dois a dois disjuntos pois são classes de equivalência Desse modo para cada i N definimos Xi m N m i mod k Daí seja k 4 temos X₀ 4 8 12 16 X₁ 1 5 9 13 X₂ 2 6 10 14 X₃ 3 7 11 15 Note que X₀ X₁ X₂ e X₃ são disjuntos dois a dois e X₀ X₁ X₂ X₃ N Exercício 15 Dê exemplo de uma sequência decrescente X₁ X₂ Xₙ de conjuntos infinitos tais que nN Xₙ Vamos trabalhar com o conjunto infinito mais intuitivo o conjunto dos números naturais Para isso definimos Xₙ k N k n Note que X₁ 1 2 3 4 X₂ 2 3 4 5 X₃ 3 4 5 6 e assim por diante Observe que por definição de Xₙ temos que 1 X₂ 1 nN Xₙ 2 X₃ 2 nN Xₙ e assim por diante Portanto para qualquer m natural existe n m tal que m Xₙ de modo que concluímos que nN Xₙ