Exercícios Resolvidos de Sequências Numéricas e Limites - Demonstrações e Convergência

1 Prove pela definição que a A sequência 1 12 13 14 1n converge para 0 b lim nn1 1 c A sequência 5 cosn 1n 1 converge para 0 2 A sequência onde xn 1n é convergente Justifique sua resposta usando o conteúdo estudado em aula 1 Uma sequência xn dizse periódica quando existe p IN tal que xnp xn para todo n IN Prove que toda sequência periódica convergente é constante 2 Dadas as sequências xn e yn defina zn pondo z2n1 xn e z2n yn Se lim xn lim yn a prove que lim zn a 3 Se lim xn a prove que lim xn a 4 Se o número real a não é o limite da sequência limitada xn prove que alguma subsequência de xn converge para um limite b a 5 Prove que a sequência cos2n2n nIN converge para zero Dica Teorema do Confronto 6 Dado a 0 defina indutivamente a sequência xn pondo x1 a e xn1 a xn Prove que xn é convergente e calcule seu limite L a a a a Dica O valor do limite L acabará resultando em L 12 frac14 a 1 a Dado ε0 qualquer tome n0 1ε n0 IN logo ε 1n0 e se n n0 1n 1n0 ε ε 1n ε 1n 0 ε e assim lim 1n 0 b Dado ε 0 qualquer tome n01 1ε n0 IN logo ε 1n01 daí se n n0 1n1 1n01 ε ε 1n1 ε ε 1n1 1 1 ε 1 ε nn1 1 ε nn1 1 ε lim nn1 1 c Dado ε 0 qualquer tome n0 1 6ε Daí ε 66n01 e se n n0 6n1 6n01 ε e n IN cosn 1 5 cosn 1 6 6 5 cosn 1 6 n 1 ε 5 cosn 1 n 1 ε lim 5 cosn 1 n 1 0 2 Não pois se xn convergisse toda subsequência convergiria para lim xn mas veja que a subsequência dos índices par x2n é constante igual a 1 logo lim x2n 1 e as de índice ímpar x2n3 é constante igual a 1 logo lim x2n3 1 como lim x2n lim x2n3 então xn diverge 1 Seja xn periódica de período p não constante Logo existem ns e n2 com xns xn2 suponha xns xn2 Se xn convergisse para a então xn1pk a e xn2pk a Logo dado ε xn2 xn1 0 existem k0 e k0 tais que k k0 xnspk a ε2 e k k0 xn2pk a ε2 daí k maxk0 k0 ε2 ε2 xn3pk a a xn2pk xn2pk xn3pk ε xn1 xn3 xn0 xn1 o que é um absurdo 2 Dado ε 0 existem nó e ns tais que n ℕ 2n n0 x2n a ε e 2n ns yn a ε Logo sendo n maxn0 ns n ℕ n n então zn xkx ou zn yq e assim zn a ε 3 Dado ε 0 n0 ℕ n ℕ n n0 xn a ε mas xn1 a xn a logo n n0 xn1 a ε lim xn a 4 Se a não é limite de xn então ε 0 tal que n ℕ n n0 com xn a ε logo podemos definir uma subsequência tal que xnk é tal que nk k e xnk a ε Mas xn é limitada logo tem uma subsequência que converge e não é para a pois xnk a ε k ℕ Vejo que cos2n 1 logo é limitado e lim 12n 0 Portanto lim cos2n 12n lim cos2n2n 0 Primeiro note que xn é crescente pois x1 x2 já que sqrta sqrta sqrta pois sqrta 0 e assim a a sqrta e se xn1 xn a xn1 a xn sqrta xn1 sqrta xn xn xn1 Também xn é limitada por 1 sqrt1 4a2 pois 4a 4a 1 sqrta sqrt4a 12 1 sqrt4a 12 e se xn 3 sqrt4a 12 a xn 3 2a sqrt3 4a2 a xn 2 4a 2 sqrt3 4a4 1 sqrt3 4a24 sqrta xn 1 sqrt3 4a2 xn1 1 sqrt3 4a2 Logo xn converge e lim xn1 lim sqrta xn sqrta lim xn lim xn2 lim xn a 0 e como lim xn 0 então lim xn 1 sqrt4a 12