Atividade Computacional

Atividades computacionais 1 Uma metalurgica esta sendo contratada por uma fabrica de papel para projetar e construir um tanque retangular de aco com base quadrada sem tampa e com 500 m3 de volume O tanque sera construıdo soldandose chapas de aco umas as outras ao longo das bordas O desafio e determinar as dimensoes para a base e para a altura que farao o tanque pesar o mınimo possıvel a Descreva como vocˆe ira levar o peso em consideracao para resolver o problema custobenefıcio b Escreva uma formula Sx para a area do tanque em funcao da medida x do lado da base c Construa o grafico dessa funcao no Mathematica sugestao d Faca uma animacao da reta tangente percorrendo cada ponto do grafico em um domınio que faca sentido para o problema e ilustre o momento em que a reta tangente e paralela ao eixo x e Utilizando derivadas encontre o valor de x que torna a area mınima 2 Considere a funcao fx xcosxex Determine os polinˆomios de Taylor de ordens 2 3 e 4 para essa funcao em torno do ponto x 0 Em seguida calcule os erros de aproximacao para cada polinˆomio de Taylor em x 1 π2 Apresente os valores reais da funcao os valores aproximados pelos polinˆomios de Taylor e os respectivos erros de aproximacao para cada ordem 3 Encontre via somas de Riemann uma aproximacao para o valor da integral π 2 0 cosxdx utilizando os pontos medios da particao do intervalo 0 π 2 em 100 subintervalos 4 Considerando fx cosx Existe c 0 π 2 tal que fcπ 2 π 2 0 cosxdx Justifique 11 Atividades computacionais 1 Uma metalúrgica está sendo contratada por uma fábrica de papel para projetar e construir um tanque retangular de aço com base quadrada sem tampa e com 500m 3 de volume O tanque será construído soldandose chapas de aço umas as outras ao longo das bordas O desafio é determinar as dimensões para a base e para a altura que farão o tanque pesar o mínimo possível a Descreva como você irá levar o peso em consideração para resolver o problema custobenefício Solução Notemos que a área é diretamente proporcional ao peso então minimizar o peso é o mesmo que minimizar a área Assim para resolver o problema de minimizar o peso do tanque precisamos minimizar a quantidade de material utilizado Isso significa que precisamos encontrar as dimensões da base e da altura tal que a área da superfície seja mínima b Escreva uma fórmula Sx para a área do tanque em função da medida x do lado da base Solução Como h a altura do tanque então como o volume 500m 3 temos V500 m 3x x h500h500 x 2 Por outro lado Sx é a soma da área lateral e área da base então area4 x hx x area4 x 500 x 2 x 2 Dai que S x 2000 x x 2 c Construa o gráfico dessa função no Mathematica sugestão Solução O código para graficar Sx em Pyton import numpy as np import matplotlibpyplot as plt Definir a função Sx def Sx return 2000 x x2 Criar valores de x no intervalo desejado xvalues nplinspace1 50 100 Escolha do intervalo de x de 1 a 10 Calcular os valores de Sx para cada valor de x yvalues Sxvalues Gráfico de Sx em Pyton d Faça uma animação da reta tangente percorrendo cada ponto do gráfico em um domínio que faça sentido para o problema e ilustre o momento em que a reta tangente é paralela ao eixo x Solução A animação em Pyton import numpy as np import matplotlibpyplot as plt from matplotlibanimation import FuncAnimation Definir a função Sx e sua derivada def Sx return 2000 x x2 def Sprimex return 2000 x2 2 x Criar valores de x no intervalo desejado xvalues nplinspace1 30 400 Escolha do intervalo de x de 1 a 10 yvalues Sxvalues Plotar o gráfico pltfigurefigsize8 6 pltplotxvalues yvalues labelSx frac2000 x x2 plttitleGráfico da função Sx pltxlabelx pltylabelSx pltgridTrue pltlegend pltshow Configurar a figura e os eixos fig ax pltsubplots axsetxlim1 30 axsetylim0 maxyvalues 11 line axplotxvalues yvalues labelSx frac2000x x2 tangentline axplot r labelTangente point axplot bo Ponto de tangência Título e legendas axsettitleAnimação da Reta Tangente em Sx axsetxlabelx axsetylabelSx axlegend Função para inicializar a animação def init tangentlinesetdata pointsetdata return tangentline point Função para atualizar a animação def updateframe x xvaluesframe y Sx slope Sprimex tangentyvalues slope xvalues x y tangentlinesetdataxvalues tangentyvalues pointsetdatax y return tangentline point Criar a animação ani FuncAnimationfig update frameslenxvalues initfuncinit blitTrue interval50 repeatFalse Mostrar o gráfico animado pltshow e Utilizando derivadas encontre o valor de x que torna a área mínima Solução Derivando S x S x 2000 x 2 2 x Então S x 02000 x 2 2 x0 2000 x 2 2 x x10 Calculando a segunda derivada de S x S x 4000 x 3 2 Como S 100 então x10 faz a área mínima Portanto x10 2 Considere a função f xxcosxe x Determine os polinômios de Taylor de ordens 2 3 e 4 para essa função em torno do ponto x 0 Em seguida calcule os erros de aproximação para cada polinômio de Taylor em x 1 π 2 Apresente os valores reais da função os valores aproximados pelos polinômios de Taylor e os respectivos erros de aproximação para cada ordem Solução O código em Pyton import sympy as sp import numpy as np import pandas as pd Definir a função e a variável x spsymbolsx f x spcosx spexpx Calcular as derivadas da função em x 0 fderivatives f for i in range1 5 fderivativesappendspdifffderivativesi1 x Executando podemos observar o polinômio de Taylor os valores aproximados pelos polinômios de Taylor e os respectivos erros de aproximação para cada ordem import sympy as sp import numpy as np import pandas as pd Definir a função e a variável x spsymbolsx f x spcosx spexpx Calcular as derivadas da função em x 0 fderivatives f for i in range1 5 fderivativesappendspdifffderivativesi1 x Avaliar a função e os polinômios de Taylor em x 1π2 xvalue 1 nppi2 freal floatfsubsx xvalue taylorapproximations floattaylorpolysubsx xvalue for taylorpoly in taylorpolynomials Calcular os erros de aproximação errors absfreal taylorapprox for taylorapprox in taylorapproximations Organizar os resultados em uma tabela data Ordem do Polinômio 2 3 4 Valor Aproximado taylorapproximations Erro de Aproximação errors df pdDataFramedata Mostrar as derivadas e os polinômios de Taylor printDerivadas em x0 for i deriv in enumeratefderivatives printffix deriv print Polinômios de Taylor for i poly in enumeratetaylorpolynomials start2 printfOrdem i poly Mostrar a tabela de resultados print Valor real da função em x 1π2 freal print printdf 3 Encontre via somas de Riemann uma aproximação para o valor da integral 0 π 2 cosxdx utilizando os pontos médios da partição do intervalo 0 π 2 em 100 subintervalos Solução O código em Pyton import numpy as np Definir os limites de integração e o número de subintervalos a 0 b nppi 2 n 100 Calcular o tamanho de cada subintervalo deltax b a n Gerar os pontos médios dos subintervalos midpoints a nparangen 05 deltax Avaliar a função cosx nos pontos médios functionvalues npcosmidpoints Calcular a soma de Riemann usando os pontos médios riemannsum npsumfunctionvalues deltax Mostrar o resultado printfA aproximação da integral de cosx de a a b é riemannsum Execução do programa Executando o código em Pyton temos que uma aproximação para o valor da integral é 10000102809119054 4 Considerando f xcosx Existe c 0 π 2 tal que f c π 2 0 π 2 cosxdx Justifique Solução Do item anterior 0 π 2 cosxdx é aproximadamente 1 o que podemos comprovar integrando f c π 2 0 π 2 cosxdxf c 2 π Para mostrar que existe um c no intervalo 0 π 2 tal que cosc2 π vamos a mostrar que os gráficos das funções ycosx e y2π se intersectam Aqui está o código Python que implementa os gráficos import numpy as np import matplotlibpyplot as plt Gerar valores de x xvalues nplinspace0 nppi2 100 Calcular os valores das funções cosvalues npcosxvalues targetvalues 2 nppi nponeslikexvalues Plotar os gráficos pltfigurefigsize8 6 pltplotxvalues cosvalues labely cosx pltplotxvalues targetvalues labely frac2pi linestyle pltxlabelx pltylabely Executando o código notamos que os gráficos das funções ycosx e y2π se intersectam dai que existe c 0 π 2 tal que f c π 2 0 π 2 cosxdx Do grafico também podemos notar que um valor aproximado de c é 088 import numpy as np import matplotlibpyplot as plt Gerar valores de x xvalues nplinspace0 nppi2 100 Calcular os valores das funções cosvalues npcosxvalues targetvalues 2 nppi nponeslikexvalues Plotar os gráficos pltfigurefigsize8 6 pltplotxvalues cosvalues labely cosx pltplotxvalues targetvalues labely frac2pi linestyle pltxlabelx pltylabely