Analise Real - Trabalho Resolvido - Funcoes Injetivas e Sobrejetivas

ANÁLISE REAL TRABALHO APRESENTAÇÃO 1 a f0 0 fx 1x Vamos provar que f é bijetiva Injetividade Sejam x1 x2 0 x1 x2 Então x1 x2 1x1 1x2 fx1 fx2 Sobrejetividade Seja y 0 Queremos mostrar que x 0 tal que fx y De fato tome x 1y 0 Assim fx f1y 11y y f é bijetora Seja g0 0 dado por gy 1y isto é gx fx Vamos mostrar que g f¹ Com efeito g o fx gfx g1x 11x x f o gx fgx f1x 11x x f¹x 1x é a inversa de f b f 0 0 fx x² Injetividade Sejam x1 x2 0 tal que fx1 fx2 Assim fx1 fx2 x1² x2² x1 x2 Mas como x1 x2 0 temos x1 x2 Sobrejetividade Seja y 0 Defina x y 0 Logo fx fy y² y f é bijetora A inversa de fx x² é f¹y y De fato x 0 y 0 f¹ o fx f¹fx f¹x² x² x x x f o f¹y ff¹y fy y² y Obs Em x² x x ℝ NÃO VALE x² x pois se x 0 por exemplo x 1 x² 1 1 1 x c f ℝ 1 1 fx x1 x Injetividade Sejam x1 x2 ℝ x1 x2 Então x1 x2 x11 x1 x21 x2 pois se 1x1 1 x2 então x1 x2 E com isso x1 x2 provando que x11 x1 x21 x2 Caso 1 x1 1 x2 então x1 x2 e consequentemente x11 x1 x21 x2 fx1 fx2 Sobrejetividade Seja y 1 1 Suponha que y 0 Então quememos y1y y1y x y x1y y x xy y xy x y1 x x y x1x x 1 Logo tome x y1y e com isso fx fy1y y Se y 0 y y e y1y y1y x y x1 y y x xy y xy x y1 x x y x1x x 1 Portanto fx fy1y y e f é sobrejetiva Agora usando o que fizemos para a sobrejetividade temos f¹x x1x x 0 xx1 x 0 x 1 1 2 a f¹fE E Seja x f¹fE Logo x f¹y0 para algum y0 fE Sejos y0 fE x E tal que fx y0 Ou seja x f¹y0 Portanto x x E pois f é injetiva E f¹fE Seja x E Então fx fE e f¹fx f¹fE Mas sendo f injetiva e estando sobre a imagem f¹fx x f¹fE E b ff¹D D Seja y ff¹D Então existe x f¹D tal que fx y Como x f¹D fx y D f f¹D D Seja y D Sendo f sobrejetiva existe x A tal que fx y Com isso x f¹D e logo fx y f f¹D ff¹D D 6 f A B a Suponha que A é infinito e f é injetora Como para cada x A fx fx1 x2 x f injetiva então para cada x A existe um elemento fx B Sendo A infinito B será infinito com cardA cardB card cardinalidade número de elementos b Agora suponha que B é infinito e f é sobrejetora Então para cada y B existe x A tal que fx y Como B é infinito e para cada y em B existe um representante x em A então A é infinito e cardA cardB Obs 1 Nessa questão em outras disciplinas mais avançadas você irá aprender sobre homeomorfismos e 2 6 são ótimos exemplos 6 Note que se f A B é bijetora então cardA cardB Isso é muito útil para provar alguns fatos Por exemplo Z é enumerável pois existe bijeção f Z IN